Viết phương trình song song với AB, vuông góc với mặt phẳng P và cắt mặt cầu S theo một mặt phẳng đường tròn có bán kính bằng 3.. Tính thể tích khối chóp S.[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2
LỚP 12A1, 12 A2, 12A8
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015- LẦN 2
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề
Câu 1 ( 2,0 điểm) Cho hàm số y x 4 2m x2 2 (1).1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1
b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị A B C, , và diện tích tam giác ABC bằng 32.
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình: sin 2x c os2x2sinx 1
b) Giải phương trình: 2 log23 x 5log (9 ) 3 03 x
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân
1
0
1 1
x
e
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp những điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
2 |z i | | z z2 |i b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn luôn có mặt chữ số 1
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x y z: 2 0 , mặt cầu S x: 2y2z2 4x2y2z 3 0 và hai điểm A1; 1; 2 , B4;0; 1
Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn Viết phương trình mặt phẳng song song với AB, vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một
đường tròn có bán kính bằng 3
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông tại A, 2AC BC 2a,
hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC
là trung điểm H của BC , mặt phẳng SAB tạo với đáy một góc bằng 60 Tính thể tích khối chóp S ABC và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AH và SB theo a.
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC
nằm trên đường thẳng d x y: 1 0 Điểm E9; 4
nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, điểm
2; 5
F
nằm trên đường thẳng chứa cạnh AD, AC 2 2 Xác định tọa độ các đỉnh của hình
thoi ABCD biết điểm C có hoành độ âm
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
Trang 2Câu 9 (1,0 điểm) Cho a b c, , là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
-Hết -Họ và tên thí sinh:……….SBD:……….
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
m
1 a.(1,0 điểm)
Vơí m=1 hàm số trở thành : y x 4 2x21
TXĐ: D
3 ' 4 4
y x x, y' 0 x0;x1
0.25
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1
và 0;1
, đồng biến trên khoảng 1;0
và
1;
Hàm số đạt cực đại tại x , 0 y CD , đạt cực tiểu tại 1 x , 1 y CT 0
lim
, xlim y
0.25
* Bảng biến thiên
x – -1 0 1 +
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+ 1 +
0 0
0.25
Đồ thị:
Trang 3b.(1,0 điểm)
y x m x x x m
0 ' 0 x
y
0.25
Đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị m0 *
0.25
Khi đó giả sử 3 điểm cực trị là A0;1 , ( B m ;1 m C m4), ( ;1 m4)
Tam giác ABC có AB=| | 1 m m6 =AC nên là tam giác cân tại đỉnh A Gọi I trung điểm
BC I(0;1 m4)
0.25
1
2
ABC
2 (1,0 điểm)
a) 2sinx(cosx1) 2sin 2x0
sinx 0 sinx(sin cos 1) 0
sin cos 1 0
Với s inx 0 x k 2 , k
Với
2 1
2
x k
Vậy nghiệm của phương trình là x k , x 2 k2
, k
0.25
Trang 4b) 2log23x 5log (9 ) 3 03 x
Đk:x>0
Khi đó pt 2log32x 5(log 9 log ) 3 03 3x 2log32x 5log3x 7 0
0,25
3
3
1
3 (t/m) 7
log
27 3 2
x
x
0,25
3
(1,0 điểm)
0
x
e
Cách 2
Đặt
1 1
1
t
Khi x=0 thì t 2, khi x=1 thì t=e+1.
0.25
Khi đó
1
e
t
0.75
4 (1,0 điểm)
a) Gọi z x yi x y ( , )
Khi đó 2 |z i | | z z2 | |i x(y1) | | (i y1) |i
0.25
2
4
x
Vậy tập hợp đó là parabol có phương trình
2
4
x
y
0,25
Trang 5b) Số phần tử của S là A 74 840 0.25 Các số có bốn chữ số khác nhau mà không có mặt chữ số 1 từ tập S làA 64 360
Do đó xác suất cần tìm là
360 4 1
840 7
0.25
5 (1,0 điểm)
Mặt cầu (S) có tâm I2; 1; 1 , bán kính R 3
Vì d I P( ,( )) 0 3 R nên mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn 0,25
Mặt phẳng (P) có vtpt n11; 1;1 , AB3;1;1 AB n, 1 2; 2; 4
Do mặt phẳng / / AB
và P có vtpt n1; 1; 2
Suy ra phương trình mặt phẳng :x y 2z m 0
0,25
cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3
11 6
d I
m
0,25
Vậy, có hai mặt phẳng thỏa mãn là x y 2z 1 0 và x y 2z11 0 0,25
6 (1,0 điểm)
j
A
S
H K M
Gọi K là trung điểm của AB HK AB(1)
Vì SH ABC
nên SH AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra ABSK
Do đó góc giữa SABvới đáy bằng góc giữa SK và HK và bằng SKH 60
Ta có
tan
2
a
Vậy
3
S ABC ABC
a
Trang 6Qua B kẻ đường thẳng / / AH
Hạ HE (E ) Hạ HF SE F SE( ).
Vì AH / / AH/ /(SBE) d AH SB( , )d AH SBE( ,( ))d H SBE( ,( )).
Do đó, suy ra
0.25
Ta có
.sin 60
2
a
nên
6 4
a
HF
Vậy
6
4
a
d AH SB HF
0,25
7 (1,0 điểm)
Gọi E’ là điểm đối xứng với E qua AC, do AC là phân giác của góc BAD nên E’ thuộc AD.
EE’ vuông góc với AC và qua điểm E9;4
nên có phương trình x y 5 0
Gọi I là giao của AC và EE’, tọa độ I là nghiệm hệ 5 0 3 3; 2
I
Vì I là trung điểm của EE’ nên E '( 3; 8) 0,25
Đường thẳng AD qua E '( 3; 8) và F ( 2; 5) có VTCP là E F' (1;3)
nên phương trình là:
3(x3) ( y8) 0 3x y 1 0 Điểm A AC AD A(0;1). 0,25
Giả sử C c( ;1 c)
Theo bài ra AC2 2 c2 4 c2;c2
Do hoành độ điểm C âm nên C ( 2;3)
0,25
Trang 7Gọi J là trung điểm AC suy ra J ( 1; 2), đường thẳng BD qua J và vuông góc với AC có
phương trình x y 3 0 Do DADBD D(1;4) B( 3;0)
Vậy A(0;1), B( 3;0), ( 2;3), (1; 4). C D
0,25
8.
(1,0 điểm)
2
Đk
x
x
Khi đó (2) 4(y 2)3(y 2) 4(14 x3)314 x3 (3)
0.25
Xét hàm số f t( ) 4 t3 , ta có t f t'( ) 12 t2 1 0, t
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên
Mà (3) có dạng f y( 2)f( 143 x3) y 2314 x3
Thay vào phương trình (1), ta được
Đặt a 2 x b, 314 x3, ta được
3 3
6
a b
Từ (4) suy ra a b , nên ta có
Nếu a b thì vế trái của (4) luôn dương, pt (4) vô nghiệm
Suy ra a b 2 x314 x3 (2 x)3 14 x3
0.25
Đối chiếu điều kiện (*), ta có nghiệm (x;y) của hệ pt đã cho là (1 2;3 2);(1 2;3 2)
0.25
9 (1,0 điểm)
Ta có 8bc 2 b c b.2 2 c Suy ra
2a b 8bc a b c
0,25
Trang 82 2
2 2
3
a b c
Do đó
P
Đặt t=a+b+c, t>0 Xét hàm số
1 8 3( 1)(5 3)
2 (3 ) 2 (3 )
0,25
Lâp bảng biến thiên, ta suy ra
3
2
f t f t
0,25
Do đó suy ra
3 2
P
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
-3
2 khi a = c = 1/4, b=1/2
0,25