Toán học Ai cập cổ đại

Toán học Ai cập cổ đại trong lịch sử toán là một trong những chủ đề quan trọng tạo tiền đề cho những kiến thức Toán học sau này. Đây là một chủ đề toán sớm nhất xuất hiện đặt nền móng cho Toán học hiện đại.

TOÁN H C AI C P C Đ I Ọ Ậ Ổ Ạ

Toán h c c a Ai C p c đ i ra đ i s m (cách đây kho ng 7000 năm) ọ ủ ậ ổ ạ ờ ớ ả là m t n n ộ ề toán h c đọ ược phát tri n và s d ng t iể ử ụ ạ Ai C p c đ iậ ổ ạ , t kho ngử ả 3000

TCN đ nế 300 TCN, từ C u Vự ương tri u Ai C pề ậ cho đ n khiế Hy L p hóaạ do nhu

c u th c t đòi h i Hàng năm, sông Nile dâng nầ ự ế ỏ ướ ừc t tháng 6 đ n tháng 9 đem ế phù sa cho đ ng b ng châu th nh ng c m i khi nồ ằ ổ ư ứ ỗ ước rút đi ranh gi i gi a các ớ ữ

th a ru ng l i b xoá nhoà Chính nhu c u đo đ c l i ru ng đ t, làm thu l i là ử ộ ạ ị ầ ạ ạ ộ ấ ỷ ợ

nh ng ti n đ l ch s s n sinh ra b môn Toán h c, đ c bi t là Hình h cữ ề ề ị ử ả ộ ọ ặ ệ ọ nh ư

vi c đ nh nghĩa vệ ị ề di n tích b m tệ ề ặ và th tíchể c a nh ng v t ba chi u, r t có ủ ữ ậ ề ấ

h u d ng choữ ụ ki n trúc Ai C p c đ iế ậ ổ ạ , và đ i sạ ố như regula falsi và phương trình b c haiậ

Ti p đó là các nhu c u c a ngành xây d ng nhà c a, nh ng ngôi chùa, kim t ế ầ ủ ự ử ữ ự tháp, k toán cũng góp ph n thúc đ y ngành Toán h c phát tri n m nh Toán ế ầ ẩ ọ ể ạ

h c Ai C p b t đ u b ng văn b n trong giai đo n này.ọ ậ ắ ầ ằ ả ở ạ

Trên sông Nile có lo i th c v t thu sinh gi ng nh cây lau Ngạ ự ậ ỷ ố ư ười Ai C p c đ i ậ ổ ạ

đã ch t o ra gi y c lau( do đó ngế ạ ấ ỏ ười ta g i các papyrus là sách c lau, sách ọ ỏ

gi y cói hay ch là th o th ) Nh ng văn b n đ u tiên c a Ai C p đã cho chúng ấ ỉ ả ư ữ ả ầ ủ ậ

ta th y có 2 lo i ch vi t là ch tấ ạ ữ ế ữ ượng hình cho ch kh c tữ ắ ượng đài và ch vi t ữ ế (ho c ch th o) đặ ữ ả ược vi t b ng bút lông và m c trên gi y cói.ế ằ ự ấ

Jean Champollion (1790 – 1832) đã b t đ u quá trình tìm hi u ch vi t c a ắ ầ ể ữ ế ủ

người Ai C p t th k th 19 thông qua các câu kh c đa ngôn ng trên đá ậ ừ ế ỉ ứ ắ ữ

Rosetta b ng ch tằ ữ ượng hình

Nh ng ngữ ười sao chép b n th o th i đó đã thúc đ y s phát tri n c a các ả ả ờ ẩ ự ể ủ

phương pháp toán h c b ng cách vi t trên gi y cói Ngày nay v n còn t n t i 2 ọ ằ ế ấ ẫ ồ ạ văn b n giy cói ch a đ ng s thu th p các v n đ toán h c và cách gi i quy t ả ứ ự ự ậ ấ ề ọ ả ế

c a h Hai văn b n đó là Rhind Mathematical Papyrus và Moscow Mathematicalủ ọ ả Papyrus

Rhind Mathematical Papyrus (kho ng 1650 TCN) là m t văn b n toán h c Ai ả ộ ả ọ

C p quan tr ng Cùng v i vi c đ a ra các công th c di n tích, phậ ọ ớ ệ ư ứ ệ ương pháp nhân, chia và các tính toán v i phân s đ n v , nó cũng ch a các b ng ch ng v ớ ố ơ ị ứ ằ ứ ề các ki n th c toán h c khác bao g m h p s và s nguyên t , trung bình c ng, ế ứ ọ ồ ợ ố ố ố ộ trung bình nhân và s hoàn h o Nó cũng ch ra cácg gi i phố ả ỉ ả ương trình tuy n ế tính b c nh t cũng nh c p s c ng và c p s nhân.ậ ấ ư ấ ố ộ ấ ố

Moscow Mathematical Papyrus là văn t toán h c c nh t đự ọ ổ ấ ược tìm th y cho ấ

đ n nay Gi y cói này n i ti ng v i m t s v n đ v hình h c, đ c bi t nó đ a ế ấ ổ ế ớ ộ ố ấ ề ề ọ ặ ệ ư

ra phương pháp tìm th tích m t hình c t.ể ộ ụ

1. H th ng s ệ ố ố

Trong h th ng ch tệ ố ữ ượng hình Ai C p, h th p phân đậ ệ ậ ượ ử ục s d ng đ đ m ể ế

H dùng các bi u tọ ể ượng đ th hi n các luỹ th a c a 10.ể ể ệ ừ ủ

Các s khác có th đố ể ược bi u th b ng cách s d ng các kí hi u này m t cách ể ị ằ ử ụ ệ ộ

c ng g p, hộ ộ ướng vi t là t ph i sang trái, v i các đ n v l n h n đế ừ ả ớ ơ ị ớ ơ ược li t kê ệ

đ u tiên, sau đó các đ n v khác đầ ơ ị ược đ t theo các kí t k ti p.ặ ự ế ế

Ví d vi t ụ ế thì nó có nghĩa là

1.100000 + 4.10000 + 2.1000 + 1.100 + 3.10 + 6.1 = 142136

H th ng ch vi t, trái ngệ ố ữ ế ược v i ch tớ ữ ượng hình, là m t ví d v m t h th ngộ ụ ề ộ ệ ố

mã hoá M i s t 1 đ n 9 có m t kí t c th , m i b i s c a 10 t 10 đ n 90 ỗ ố ừ ế ộ ự ụ ể ỗ ộ ố ủ ừ ế

và m i b i s c a 100 t 100 đ n 900, cũng nh v y ỗ ộ ố ủ ừ ế ư ậ

Ví d : S 37 đụ ố ược vi t b ng cách đ t kí t đ i di n cho 7 bên c nh kí t đ i ế ằ ặ ự ạ ệ ạ ự ạ

di n cho 30 Kí t đ i di n cho 7 là ệ ự ạ ệ , kí t đ i di n cho 30 là ự ạ ệ , nên 37 được

vi t là ế

Tương t , kí t đ i di n cho 3 là ự ự ạ ệ , kí t đ i di n cho 40 làự ạ ệ , kí t đ i di n ự ạ ệ cho 200 là nên s 243 đố ược vi t là ế

2.1. Phép c ng và phép trộ ừ

Trong h th ng ch Ai C p, ch c n thu th p các bi u tệ ố ữ ậ ỉ ầ ậ ể ượng và chuy n đ i ể ổ

mười bi u tể ượng gi ng nhau thành bi u tố ể ượng cao h n ti p theo.ơ ế

Ví d : Tính c ng ụ ộ

Sau đó chuy n đ i 10 bi u tể ổ ể ượng gi ng nhau thành bi u tố ể ượng cao h n ti p ơ ế theo:

và cu i cùng là ố

Ví d : ụ

Sau đó chuy n đ i thành ể ổ

Tuy nhiên, trong h th ng ch vi t, m t thu t toán đ n gi n cho phép c ng và ệ ố ữ ế ộ ậ ơ ả ộ phép tr là không th th c hi n đừ ể ự ệ ược

2.2. Phép nhân và phép chia

Thu t toán Ai C p cho phép nhân đậ ậ ược d a trên quá trình nhân đôi liên t c Đ ự ụ ể nhân 2 s a và b, đ u tiên ngố ầ ười ta sẽ vi t c p 1, b Sau đó sẽ tángaps đôi m i s ế ặ ỗ ố trong c p, cho đ n khi nhân s ti p theo gây ra ph n t c a c p đ u tiên vặ ế ố ế ầ ử ủ ặ ầ ượt quá a Sau đó, h xác đ nh đọ ị ược các luỹ th a nào c a 2 c ng l i b ng a, r i h sẽừ ủ ộ ạ ằ ồ ọ

c ng các b i s tộ ộ ố ương ng c a b đ ra đứ ủ ể ược k t qu c a a nhân b ế ả ủ

Ví d : ụ

Vì phép chia là ngh ch đ o c a phép nhân, m t v n đ nh 156 : 12 sẽ đị ả ủ ộ ấ ề ư ược

hi u là s nào nhân 12 đ để ố ể ược 156”

Ví d :ụ

Tuy nhiên, h sẽ ki m tra các dòng c t bên ph i có t ng b ng 156, đây là s ọ ể ở ộ ả ổ ằ ở ố

12, 48 và 96 Sau đó h tính t ng các s tọ ổ ố ương ng bên trái, c th là 1, 4 và 8 ta ứ ụ ể

sẽ được đáp án là 13

2.3. Phân số

Người Ai C p ch x lí các phân s đ n v và ngo i l duy nh t là ậ ỉ ử ố ơ ị ạ ệ ấ Phân s ố (1 trên n) trong ch ữ tượng hình được bi u di n b ng kí t cho s nguyên n v i kí ể ễ ằ ự ố ớ

t ự ở trên Trong ch vi t thì d u ch m đữ ế ấ ấ ượ ử ục s d ng thay th Vì v y, đế ậ ược

kí hi u trong h th ng ch tệ ệ ố ữ ượng hình là và h th ng ch vi t là ệ ố ữ ế là ngo i l duy nh t có m t kí t đ c bi t là ạ ệ ấ ộ ự ặ ệ trong h th ng ch tệ ố ữ ượng hình

và trong h th ng ch vi t, v i các phân s khác phân s đ n v thì ngệ ố ữ ế ớ ố ố ơ ị ười Ai

C p ch đ n gi n vi t chúng thành t ng các phân s đ n v ậ ỉ ơ ả ế ổ ố ơ ị

Ví d : ụ Bài toán s 3 c a Rhind Mathematical Papyrus h i làm cách nào đ chia 6 ố ủ ỏ ể bánh mì cho 10 ng i đàn ông K t qu đ a ra là m i ng i sẽ nh n đ c 2

10 bánh mì (t c là ổ ứ ) Người sao chép b n th o sẽ ki m tra b ng cách nhân giá ả ả ể ằ

tr này v i 10 ị ớ

Trong th c t , ph n đ u tiên c a ự ế ầ ầ ủ Rhind Mathematical Papyrus là m t b ng chia ộ ả

2 c a m i s nguyên l t 3 đ n 101 nh sau:ủ ỗ ố ẻ ừ ế ư

Ta có b ng phép c ng m r ng c a ngả ộ ở ộ ủ ười Ai C p, Methematical Leather Roll có ậ niên đ i kho ng năm 1600 TCN, nó ch a 26 t ng c a các phân s đ n v b ng ạ ả ứ ổ ủ ố ơ ị ằ

m t phân s đ n v khác nh sau:ộ ố ơ ị ư

T các b ng trên, vi c th c hi n nhân, chia 2 phân s cũng tr nên d dàng ừ ả ệ ự ệ ố ở ễ

Ví d : ụ

Ví d : ụ

Theo ngôn ng toán h c hi n đ i, đi u c n thi t là x sao cho ữ ọ ệ ạ ề ầ ế + x = 1

ho c tìm y sao cho = 1 và tìm đặ ược y = 4 Do đó ph n còn l i đầ ạ ược thêm vào là

Bước ti p theo chúng ta tìm z sao cho z( Nhân c 2 v v i 42 ta đế ả ế ớ ược 97z = 2, khi đó Khi đó người sao chép đã tìm ra được (t c ứ )

Ví d :ụ

3.1. Kĩ thu t bình thậ ường

Đ u tiên, bài toán s 19 c a ầ ố ủ Moscow Mathematical Papyrus s d ng kĩ thu t ử ụ ậ bình thường đ tìm con s mà n u l y đi ể ố ế ấ l n s đó và c ng thêm 4 thì sẽ có ầ ố ộ

t ng b ng 10 Theo ngôn ngũe toán h c hi n đ i, phổ ằ ọ ệ ạ ương trình ch đ n gi n là xỉ ơ ả + 4 = 10 Nh ng ngữ ười sao chép b n th o đã ti n hành nh sau: “ L y 10 tr 4 ả ả ế ư ấ ừ

được k t qu là 6 Sau đó tìm s nào nhân v i ra 1 thì ta tìm đế ả ố ớ ược k t qu là ế ả Sau đó l y c a 6 sẽ đấ ủ ược k t qu là 4 B n đã tìm đế ả ạ ược đáp án chính xác.” C ụ

th là, sau khi tr đi 4, ngể ừ ười sao chép b n th o chú ý r ng ngh ch đ o c a là ả ả ằ ị ả ủ

và sau đó nhân 6 v i lớ ượng này

3.2. Phương pháp đ t sai và t l th cặ ỉ ệ ứ

Phương pháp gi i phả ương trình tuy n tính ph bi n nh t c a ngế ổ ế ấ ủ ười Ai C p ậ

thường đượ ọc g i là phương pháp đ t sai, phặ ương pháp này gi đ nh m t câu trả ị ộ ả

l i thu n ti n nh ng có lẽ không chính xác và sau đó đi u ch nh b ng cách s ờ ậ ệ ư ề ỉ ằ ử

d ng t l th c Ví d : Bài toán s 26 c a Rhind Mathematical Papyrus yêu c u ụ ỉ ệ ứ ụ ố ủ ầ tìm m t s lộ ố ượng mà khi c ng thêm c a chính nó thì độ ủ ược k t qu là 15 Cách ế ả

gi i c a ngả ủ ười sao chép b n th o nh sau: “ Gi s câu tr l i là 4 Sau đó ả ả ư ả ử ả ờ c a 4ủ

là 5 Nhân 5 đ để ược 15 thì đáp án là 3 Nhân 3 và 4 thì đáp án là 12.” Theo ngôn

ng toán h c hi n đ i, v n đ gi i phữ ọ ệ ạ ấ ề ả ương trình

4. Hình h c ọ

4.1. Di n tích hình ch nh t, hình tam giác và hình thangệ ữ ậ

4.2. X p x di n tích hình trònấ ỉ ệ

4.3. Hình chóp