bài tập logarit - các hướng dẫn về logarit

các hướng dẫn về logarit

Trang 1

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Phương trình mũ cơ bản cĩ dạng: ax =m, trong đĩ a>0, a≠1 và m là số đã cho.

● Nếu m≤0, thì phương trình ax =m vơ nghiệm

● Nếu m>0, thì phương trình ax =m cĩ nghiệm duy nhất x=log m.a

Bài 1 Giải các phương trình sau:

Bài 3 Bài tập rèn luyện Giải các phương trình sau:

Trang 2

DẠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

Phương pháp đưa về cùng cơ số

5x 5

5log log x 1

log x +3x+ +2 log x +7x 12+ = +3 log 3

Bài 3. Giải phương trình sau: ( ) ( )8 ( )

Trang 3

DẠNG 3 ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH A.B = 0

2x −x−1 2 x −4 ðây là phương trình tích đã biết cách giải

Bài 1. Giải các phương trình sau:

2 log x =log x.log 2x 1 1+ −

Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích

log x 2 log 2x 1 1 log x 0

Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng khơng thể biến đổi để đặt ẩn phụ

được thì ta biến đổi thành tích

Bài 2. Giải phương trình: log x2 +2.log x7 = +2 log x.log x2 7

DẠNG 3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Sử dụng cơng thức về hàm số mũ và lơgarit để biến đổi bài tốn, sau đĩ đặt ẩn số phụ, quy phương trình đã cho về các phương trình đại số (phương trình chứa hoặc khơng chứa căn thức) Sau khi giải phương trình trung gian ta quy về giải tiếp các phương trình mũ hoặc lơgarit cơ bản

● Phương trình α1a2x+α2(ab)x +α3b2x =0 Chia hai vế cho a hoặc 2x b ta được 2x

t , t 0b

 

=  >

Trang 4

log 2x =log 8x

2 xlog x.log (4x ) 12= 4) log x2 =log3( x +2)

B - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 2

PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

Phương pháp: Ý tưởng là sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ só vẫn còn chứa ẩn x Khi ñó thường ta ñược một phương trình bậc 2 theo ẩn phụ có biệt số ∆ là một số chính phương

Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương

Trang 5

Bài 1 Giải phương trình: x 2 ( 2 ) x 2 2

Phương pháp: Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi chuyển phương trình về hệ ñơn giản.

Bài 1 Giải phương trình: 4x2+1+21 x− 2 =2(x 1)+ 2 +1

Bài 2. Giải phương trình: x2 3x 2 x2 6x 5 2x2 3x 7

log x x 1− +log xlog x − − =x 2 0

Bài 2. Giải phương trình: log x22 −log x2 +log x3 −log xlog x2 3 =0

Bài 3. Giải phương trình: ( )log x 2 ( )log x 2

Trang 6

Nhận xét: .u v= +u v Từ ñó ta có hệ:

8 1 18

Bài 2 Giải phương trình: 32 lgx− = −1 lgx 1−

+ ðặt ñiều kiện có nghĩa cho phương trình

+ Biến ñổi phương trình về dạng: f(x; φ(x)) = 0

Trang 7

g x =7 − −6x 5+ Nhẩm nghiệm ta ñược 2 nghiệm: x=1, x=2

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) log x22 + log x 12 + =1 3) 3log x 12 + =4log x 13log x22 + 2 −5

2) lgx 1+ =lg x2 +4lgx+5 4) 3log x 12 + = −4log x 13log x 522 + 2 −

log 2x =log 8x

7)

1 3 3

10) 1.42x 1 21 13.4x 1

2

2log 9 2− = −3 x

Trang 8

t=x −2x 3− , ta có log6( )t 1+ =log t5

Ví dụ 2: Giải phương trình: ( log x 6 )

log x+3 =log x ðặt t=log x6 , phương trình tương ñương

Trang 9

DẠNG 5 PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA

Sử dụng cơng thức lấy logarit hai vế của phương trình với cơ số thích hợp

● Dạng 2: af ( x ) =bg( x ) ⇔ log aa f ( x ) =log ba g( x ) ⇔ f (x)=g(x).log b.a

1log 2log 1 log 1 3log x

Bài 3. Bài tập rèn luyện Giải các phương trình sau:

Trang 10

DẠNG 6 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH

BIẾN CỦA HÀM SỐ

(thường là sử dụng cơng cụ đạo hàm)

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình

f(x) = C cĩ khơng quá một nghiệm trong khoảng (a;b) ( do đĩ nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đĩ là nghiệm duy nhat của phương trình f(x) = C)

Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong

khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) cĩ nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) ( do đĩ nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đĩ là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Tính chất 3 : ðịnh lí Rơn: Nếu hàm số y=f x( ) lồi hoặc lõm trên khoảng ( )a; b thì phương trình f x( )=0 cĩ khơng qua hai nghiệm thuộc khoảng ( )a; b

Ví dụ 1: Giải phương trình: log x 2

f 5 =f 2 nên theo định lý lagrange tồn tại c∈( )2;5 sao cho:

f ' c = ⇔0 α c 1+ α− −cα− = ⇔0 α =0, α =1, thử lại ta thấy x=0, x=1 là nghiệm của phương trình

f t = +2 t là hàm đồng biến trên R (???) Vậy phương trình được viết dưới dạng:

Trang 11

f x = + −3 2 3x−2 ⇒ f '' x =3 ln 3 2 ln 2+ >0 ⇒ ðồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm (ðịnh lí Rôn)

y 1x2007

f x <e− −2007<0 suy ra hệ phương trình vô nghiệm

● Nếu x>1 dùng ñịnh lý Rôn và chỉ ra với x0=2 thì f 2( )<0 ñể suy ra ñiều phải chứng minh

Trang 12

DẠNG 7 MỘT VÀI BÀI KHÔNG MẪU MỰC

Bài 1 Giải phương trình: x x ( x ) ( x )

2 cos xy 0cos xy 1

Trang 13

( )

y

2 2

y 0

cos x.0 1cos xy 1

Bài 3 Giải phương trình:

2x 1 3 2x

2 3

3

8

8log 4x 4x 4 ≤

Mặt khác 22x 1+ +23 2x− ≥2 22x 1+.23 2x− =2 22x 1 3 2x+ + − =8 (2) Bài 4 Giải phương trình: ( 2 ) 2

Trang 14

2 2

2 2 2

x -x 2sin x

2 2

2 2 sin x

sin x sin x x -x 2

2 2 sin x

Bài 9 Giải phương trình: 2 log cot x3 =log cos x2

HD: ðặt 2 log cot x3 =log cos x2 =t, ta có

t t

cos x 4

cos x4

3

cos x 0, cot x 0cos x 0, cot x 0

Trang 15

Bài 10 Giải phương trình: 2 3 ( 2 )

3x 2x 1log x 1 log x 1

f t = +2 t, hàm này ñồng biến và liên tục trên ℝ

f u f v u v x 1 x x x 1

Bài 12 Giải phương trình: 2009x +2011x =2.2010x

HD: Gọi x là một nghiệm của phương trình ñã cho Ta ñược 0

Thử lại x0 =0, x0 =1 thấy ñúng Vậy nghiệm của phương trình là x0 =0, x0=1

Nhận xét: Bài toán tương tự

1) 3cos x−2cos x =co sx ⇔ 3cos x−2cos x =3co sx−2 co sx

Trang 16

2) log x 3 log x 3

4 +2 =2x ðặt u=log x 3 ⇒ x=3u Phương trình ⇔ 4u+2u =2.3u

Lưu ý: Bài toán trên ta sử dụng ñịnh lí Lagrange: Nếu hàm số y= f x( ) liên tục trên ñoạn

[ ]a b và có ñạo hàm trên khoảng ; ( )a b thì tồn tại một ñiểm ; c∈( )a b; sao cho

x − + = ⇔ =3x 2 0 x 1, x=2 Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=2

Lưu ý: Với phương trình dạng loga u v u, (u 0, v 0, a 1)

v = − > > > ta thường biến ñổi

loga u−loga v= − ⇔v u loga u+ =u loga v+v Vì hàm số f t( )=loga t+t ñồng biến khi t>0 Suy ra u=v

Bài 14 Giải phương trình: cos x sinx

sinx

2 + −1 2 sinx≤1Suy ra cos x sinx ( )

2 +2 ≤ s inx+cos x +2

2 +2 ≤min s inx+cos x +2=min s inx+cos x +2

Mà: min s inx( +cos x)=1 với x k2π; π k2π

Trang 17

x k2ππ

Trang 18

Ta cĩ thể dùng các phương pháp biến đổi như đối với giải phương trình và sử dụng các cơng thức sau

HÀM SỐ MŨ

● 0< <a 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

Trang 19

Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

1 PHệễNG PHAÙP ẹệA VEÀ CUỉNG Cễ SOÁ

Vớ dụ 1 Giải bất phương trỡnh: 2

x x 1

x 2x 13

- ðiều kiện: x≤0 hoặc x≥2

- Khi đó bất phương trình tương đương với

55

x 1

x 15x 8x 3 x

3 = 3 =x Khi đó bất phương trình tương đương với log x 3 log x 3 log x 3

3

- Vậy phương trình có nghiệm 1 x 3

3≤ ≤

Trang 20

log x 5− +3log x 5− +6 log x 5− −4 log x 50 2− + ≤0

2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Trang 21

- §Ỉt t=log2( )x , bÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi

2 2

3) 32x −8.3x+ x 4+ −9.9 x 4+ >0

3 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 1 Giải bất phương trình: log5(3+ x)>log x4

Trang 22

- Vậy bất phương trình có nghiệm là: 0 x 4< <

1. Với bất phương trình dạng loga u<logb v, ta thường giải như sau:

Đặt t=loga u (hoặc t=logb v ) đưa về bất phương trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của hàm số

2. Với bất phương trình dạng loga u v u loga u u loga v v

v < ư ⇔ + < + Ta xét hàm số ( ) loga

f t = t+t đồng biến khi t>0, suy ra f u( )< f v( ) ⇔ <u v

- Do đó hệ (I) có nghiệm 1< <x 3

Trang 23

3 9 9log 3x 9 x

Trang 24

x 0;12

+ TH1: Với 1 x 0 ư < < thì VT<0, VP>0 suy ra bất phương trình vô nghiệm

+ TH2: Với 0 x 1< < thì VT>0, VP>0 Khi đó bất phương trình tương đương với

Trang 25

Lưu ý: Với bất phương trình dạng 1 1

loga u >logb v, ta thường giải như sau:

+ Lập bảng xét dấu của loga u và logb v trong tập xác định của bất phương trình

+ Trong tập xác định đó nếu loga u và logb v cùng dấu thì bất phương trình tương đương với loga u<logb v

Vớ dụ 6. Trong các nghiệm (x; y của bất phương trình ) logx 2+2 y 2(2x+y)≥1, chỉ ra các

Trang 26

- VËy trong c¸c nghiƯm cđa bÊt ph−¬ng tr×nh th× nghiƯm 2; 1

2

  lµ nghiƯm cã tỉng (2x + y)lín nhÊt b»ng 9

a

log 35 x

3log 5 x

1 1

3 3

log x 1log 2x 3x 1>

+

4) Trong c¸c nghiƯm (x; y cđa bÊt ph−¬ng tr×nh ) logx 2+y 2(x+y)≥1 T×m nghiƯm cã tỉng

(x + 2y) lín nhÊt

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Giải các bất phương trình sau:

1 1

3 3

log x 1log 2x 3x 1>

+

− + (ðH Quốc gia TPHCM 1999)

1+ log 2x +3x+2 >log 2x +3x+2 (ðH Thuỷ lợi 1999)

4) log x2 +log x3 < +1 log x.log x2 3 (ðH NT 1998)

log x 9x 8

2log 3 x

Trang 27

( )

3log a 35 x

3log a 5 x

25) ( ( x ) )

x 9log log 3 −9 ≤1

log x 1log 2x 3x 1

log x 9x 8

2log 3 x

Trang 28

3 1

2 3

x log log 2 3

21

13

3 x+ 2 >6x

- HẾT -

Trang 29

1 PHệễNG PHAÙP BIEÁN ẹOÅI TệễNG ẹệễNG

- Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa

- Sử dụng các phép thế để nhận được từ hệ một phương trình theo ẩn x hoặc y (đôi khi là theo cả hai ẩn x và y)

Vớ dụ 1 Giải hệ phương trỡnh: 1( ) 4

4

2 2

1log y x log 1

Trang 30

- Suy ra hÖ cã nghiÖm

x y

D

DD

2 log y log x 1log y

log x 1log 3

2 log y log x 1 log x 3 x 9

( ) ( ) ( )

Trang 31

Từ bảng biến thiên ta suy ra k≥ −5

3log x y log x y 4

4 2

y

2 2+

3 2 1152log x y 2

2 PHệễNG PHAÙP ẹAậT AÅN PHUẽ

- Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa

- Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số đã biết cách giải

- Ta thường ủặt cỏc biến:

(x ) ( y)

u a

v b

f g

Trang 32

- Lấy logarit theo cơ số 10 cả hai vế ta đ−ợc

(l og 7 log x log 7log x.log 5) log y.log 7(log 5 log y log 5)

- Đặt u logx, v logy= = Khi đó hệ có dạng u.log 5 v.log 72 0 2

u.log 7 v.log 5 log 5 log 7

log 5 log 7 log 5

log 7 log 5 log 7

−

- Dễ thấy D 0≠ nên hệ có nghiệm duy nhất

u v

D

DD

Trang 33

- Nhận xét log c b log a b

a =c , phương trình (1) tương đương với ( ) 3

3

log xy log xy2

- Với t=2 thì log xy3 =1 hay xy=3

- Biến đổi phương trỡnh (2) thành ( )2 ( ) ( (x y) ) 6

3

log xy 3log x.log y

3log xx

x log 3 log y y log x

x log 12 log x y log y

log log 4y 10 (2)2

Trang 34

+ Nếu xy<0. thì vế trái của (2) luôn dương Phương trình không thoả mãn

+ Nếu x =y, thay vào phương trỡnh (2), ta được nghiệm của hệ là x= =y 0

Hướng 1: Phương trỡnh ( )1 ⇔ f( ) ( )x ư f y =0 và tìm cách đưa về phương trỡnh tích

Hướng 2: Xét hàm số y= f ( )t ta thường gặp trường hợp hàm số liên tục trong tập xác định của nó

+ Nếu hàm số y= f( )t đơn điệu, thì từ (1), suy ra x=y

+ Nếu hàm số y= f( )t có một cực trị tại t=a thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi qua a Từ (1) suy ra x=y hoặc x, y nằm về hai phía của a

Vớ dụ 3 Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

xlim f x

→+∞ = +∞ nên phương trình f( )x =0 có một nghiệm trong (ư + ∞1; ) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a 0.>

Lưu ý: Học sinh dễ mắc sai lầm khi thấy hàm số đồng biến đã kết luận phương trình f( )x =0

có nghiệm duy nhất Ta chỉ có thể kết luận phương trình có nghiệm duy nhất khi hàm số đơn

điệu, liên tục và trong tập giá trị có cả giá trị âm và dương

Trang 35

- Phương trình (1) tương đương với log2 x+ +3 log 3x3( )=log2 y 3+ +log 3y 33( ) ( )

- Xét hàm số f ( )t =log2 t+ +3 log 3t3( ) liên tục với mọi t 0>

Mặt khác ( ) ( )1 1

2 t 3 t.ln 3

+ do đó f ( )t đồng biến với mọi t>0

Phương trình (3) viết dưới dạng f( )x = f ( )y ⇔ = x y Khi đó hệ tương đương với

2

3 2

y 2y 6z

Trang 36

với x 6< ) còn g( )x =log3(6 xư ) là hàm nghịch biến với x<6

- Nếu (x, y, z là một nghiệm của hệ phương trình ta chứng minh x) = =y z Không mất tổng quát giả sử x=max x, y, z( ) thì có hai trường hợp:

+ x≥ ≥y z (1) suy ra f ( )x ≥ f ( )y ≥ f ( )z nên log3(6ư ≥y) log3(6 zư ≥) log3(6 x ư )Mặt khác g( )x là hàm giảm nên x≥ ≥z y. (2) Từ (1) và (2) ta có x= =y z

2

8 ln 8' t 9 ln 9

t

f = ư Trên (0;+∞),hàm số

1 t

y=8 ln 8 và y 12

t

= là các hàm nghịch biến và chỉ nhận giá trị dương Vì thế, trên khoảng đó,

1 t 2

8 ln 8y

t

= ư là hàm đồng biến trên (0;+∞) Suy ra f ' t( ) là hàm đồng biến trên (0;+∞) Hơn nữa, do 1 ( ) ( 256) ( )

' ' 1 18 ln 9 ln 2 ln 27 ln16 02

f   f

 

sao cho f ' t( )0 =0 Do đó, ta có bảng biến thiên sau của hàm f ( )t trên khoảng (0;+∞)

- Từ đó, với lưu ý rằng f( )1 = ư ≤12 0, suy ra phương trỡnh (3) có đúng 2 nghiệm dương Vì

vậy, hệ có tất cả 2 nghiệm

Trang 37

4 PHệễNG PHAÙP KHAÙC

Ngoài cách giải nói trên, cũng giống như phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit ta có thể

đánh giá hai vế, sử dụng các bất đẳng thức, dùng đồ thị để giải bất phương trình, phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ

+ Nếu x >y thì log y2 <log x2 suy ra VP 0, VT 0.< > Do đó hệ vô nghiệm

+ Nếu x<y thì log y2 >log x2 suy ra VP 0, VT 0.> < Do đó hệ vô nghiệm

+ Vậy x=y là nghiệm của phương trình (1)

x 2y m 2+

Trang 38

- Từ đó suy ra chúng được biểu diễn bằng

miền gạch trong hình bên (trong đó lấy

biên của đường tròn tâm O1 bán kính

2

và không lấy biên của đường tròn tâm O

bán kính 1) Điểm A là giao điểm của

đường thẳng x y 0+ = với đường tròn

- Vậy với m 0= thì hệ có nghiệm duy nhất

Trang 39

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Giải các hệ phương trình sau:

3 2 y

log x 2x 3x 5y 3log y 2y 3y 5x 3

Thầy KHÁNH (GV Tốn) 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN

Tiêu đề	Bài Tập Logarit - Các Hướng Dẫn Về Logarit
Tác giả	GV Huỳnh Đức Khánh
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài tập

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	462,31 KB