bài giảng môn điều khiển robot

MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VẬN ĐỘNG ROBOT *Đặt vấn đề: Một hệ trục tọa độ có thể biểu diễn bằng ma trận 4*4 trong đó ba cột đầu của ma trận là các vecto đơn vị của ba trục và

Chương I TỔNG QUAN VỀ ROBOT VÀ

CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG ĐIỀU KHIỂN ROBOT

Bài 1 LỊCH SỬ RA ĐỜI VÀ PHÁT TRIỂN CỦA ROBOT

Năm 1920 thuật ngữ Robot xuất phát từ Robota từ một kỹ sư người Tiệp Khắc Đến năm 1950 đã có những nghiên cứu và ứng dụng đơn giản về Robot

Từ năm 1950 đến 1970 là giai đoạn bắt đầu nghiên cứu và từng bước áp dụng Robot trong công nghiệp như ở các nước Mỹ Nhật năm 1954, George C.Devol đã thiết kế một thiết bị có tên là “ Cơ cấu chuyển hàng theo chương trình” Đến năm 1956 Devol cùng với Joseph F.Engelber, một kỹ sư trẻ của công nghiệp hàng không, đã tạo ra loại Robot công nghiệp năm 1959 mang tên là Unimate ở công ty Unimation Và sau gần 20 năm mới bắt đầu có lợi nhuận từ sản phẩm Robot đầu tiên này

Chiếc Robot công nghiệp được đưa vào ứng dụng đầu tiên năm 1961 ở một nhà máy ôtô của General Motors tại Trenton, New Jesey Hoa Kỳ

Năm 1967 Nhật Bản mới nhập chiếc Robot công nghiệp đầu tiên từ công

ty AMF của Hoa Kỳ (American Machine & Foundry Company)

Từ năm 1970 ÷ 1990:nhiều nước Châu Âu và Châu Á đã tập trung nghiên cứu và ứng dụng robot trong công nghiệp

Năm 1990 có hơn 40 công ty Nhật Bản trong đó có những công ty khổng

lồ như công ty Hitachi và công ty Mitsubishi đã đưa ra thị trường quốc tế nhiều loại robot nổi tiếng Và cho đến nay ngày càng có nhiều nghiên cứu và ứng dụng về Robot thông minh, Robot phục vụ

Theo thống kê, tổng số lượng Robot hiện có khoảng một triệu con với tổng số loại là 250 loại khác nhau Số nhà máy sản xuất và liên quan đến sản

xuất có khoảng 200 công ty trong đó có 20 công ty ở Mỹ, ở Châu Âu có 30 công ty, Nhật Bản 40 công ty và các nước khác.

Bài 2 CẤU TRÚC CHUNG VÀ PHÂN LOẠI ROBOT

1, Cấu trúc chung

a Khái niệm Robot công nghiệp

Robot công nghiệp được hiểu là những thiết bị tự động linh hoạt theo nghĩa rộng là một tay máy đa năng có thể lập trình nhằm vụ các công việc, các thao tác, thay thế chức năng lao động công nghiệp của con người

b Về cấu trúc Robot chia làm 3 phần chính

Sơ đồ trên biểu diễn các bộ phận chủ yếu cấu tạo nên một Robot công nghiệp loại thông thường.

HT điều Khiển

Nội tín hiệu Ngoại tín

hiệu

- Hệ thống dẫn động: Có thể là cơ khí, thủy khí hoặc là điện, là bộ phận chủ yếu tạo nên sự chuyển dịch ở các khớp động.

- Hệ thống điều khiển: Đảm bảo sự hoạt động của Robot theo các thông tin đặt trước hoặc nhận biết được trong quá trình làm việc

- Hệ thống cảm biến tín hiệu thực hiện việc nhận biết và biến đổi thông tin

về hoạt động của bản thân Robot (cảm biến nội tín hiệu) và của môi trường

mà Robot phục vụ(cảm biến ngoại tín hiệu)

Các thông tin đặt trước hoặc cảm biến được sẽ đưa vào hệ thống điều khiển sau khi xử lý bằng máy vi tính, rồi tác động vào hệ thống dẫn động của tay máy Trực tiếp liên hệ với bàn kẹp là các dụng cụ (Tool) thao tác với môi trường và đối tượng làm việc

Tại từng khớp có bộ điều khiển biến trục (θ, d) (Robot Scorb)

2, Phân loại Robot.

- Theo số bậc tự do (DOF: degree of freedom)

Robot công nghiệp là thiết bị tự động nhiều công dụng Cơ cấu tay máy của chúng phải được cấu tạo sao cho bàn kẹp giữ vật kẹp theo một hướng

Hàm ĐK DAC

Mã hóa

CB tốc độ

_ +

Counter

_ e

ADC-quang trở

θ Tín hiệu đặt

nhất định nào đó và chỉ di chuyển dễ dàng trong vùng làm việc Muốn vậy

cơ cấu tay máy phải được một số bậc tự do chuyển động

Bậc tự do: Được xác định bởi số vị trí ít nhất cần thiết để xác định hoàn toàn cấu hình của tay máy hay nói cách khác là số chuyển động không phụ thuộc để tay máy đạt được vị trí mong muốn Người ta quy ước số bậc tự do của cơ cấu tay máy là không kể đến các chuyển động đóng mở bàn kẹp, thông thường số bậc tự do bằng số khớp của Robot

- Theo phương pháp điều khiển:

+ Điều khiển điểm (point to point)

+ Điều khiển theo quỹ đạo liên tục(continuos path)

- Theo hệ thống năng lượng:

+ Năng lượng điện

+ Năng lượng thủy lực

Các hệ tọa độ được dùng khi thực hiện chuyển động cơ bản: Robot hoạt động theo tọa độ hình cầu , hình trụ

3 Một số cấu trúc điển hình:

• Robot Decade(Cartesian Robot )

Robot dạng này thường có 3 trục tịnh tiến vuông góc với nhau bằng các chuyển động tịnh tiến đó, Robot dạng này có phạm vi hoạt động dạng hình hộp

• Robot trụ (Cylindrical Robot ).

Robot dạng này bao gồm 2 khớp tịnh tiến và 1 khớp quay Trên thân đế có thân trụ quay góc θ chuyển động thẳng đứng theo chiều Z và chuyển động hướng kính R được thực hiện bằng các bộ truyền vít đai ốc bi

r

θ

z

• Robot hình cầu(Spherical Arm)

Loại Robot này có các chuyển động cơ bản hoạt động trong hệ tọa độ cầu Các chuyển động cơ bản gồm quay trên một góc ϕ, nâng nghiêng góc θ và

tịnh tiến hướng hình

• Robot SCARA(Selective Compliance Assembly Robot Arm)

(trục quay song song với nhau)

Robot này có 3 trục song song với nhau với 3 góc θ 1,θ 2,θ 3

Bài 3 ỨNG DỤNG CỦA ROBOT CÔNG NGHIỆP

1 Các ứng dụng cơ bản.

a, Ứng dụng trong vận chuyển, đóng gói

Dịch chuyển các vật thể từ vị trí này đến vị trí khác theo yêu cầu công việc: Dự trữ, bảo quản, đóng gói và Robot có nhiệm vụ theo quỹ đạo xác định trước con người lập trình

- Hàn cắt kim loại chiếm 33% tổng số Robot đang dùng trên thế giới

- Lắp ráp máy móc điện và các linh kiện điện tử Chiếm 25% tổng số Robot hiện có

- Sơn phun, đánh bóng, đột dập, tán đinh

c, Đo lường, chỉ báo và kiểm định hàng hóa

Robot tham gia vào việc phân loại, kiểm tra các tiêu chuẩn về mặt chất lượng, kích cỡ: Từ kiểm định hàng, đánh dấu hàng hóa đến thống kê, phát hiện và loại trừ hàng kém chất lượng…

2 Ưu, nhược điểm của việc ứng dụng Robot và hướng phát triển Robot hiện nay.

a, Ưu, nhược điểm của việc ứng dụng Robot

- Có thể đạt tới độ chính xác cao mà bàn tay con người không thể làm được.

- Tăng năng suất lao động, giảm giá thành sản phẩm

- Nâng cao cấp tự động hóa trong dây chuyền sản xuất

- Tiết kiệm nguồn nhân lực

* Nhược điểm:

- Giá thành đầu tư cao

- Gây ra dôi dư lực lượng lao động

- Tỷ lệ tải trọng < 1 ( Khối lượng tải/khối lượng Robot < 1)

- Tốc độ hoạt động thường không cao do thời gian để điều khiển tương đối lớn

- Độ chính xác điều khiển phụ thjuộc vào nhiều yếu tố môi trường( nhiệt

độ của Robot < 450C)

b, Xu hướng phát triển

Robot đã trải qua 5 thế hệ:

- Playback Robot : Robot lặp

- Servo controlled Robot : Robot điều khiển dạng servo

- Vision controlled Robot (có sử dụng Camera)

- Adaptively – controlled Robot : Robot thích nghi

Hiện đang nghiên cứu sản xuất:

- Artifical Intelligent Robot : Robot phục vụ

* Hướng phát triển:

- Robot sẽ ngày càng thay thế nhiều lao động hơn để giảm bớt nhân công

- Robot ngày càng trở nên chuyên dụng, modul hóa và độ chính xác cao hơn

- Robot ngày càng đảm nhận nhiều hơn công việc lắp ráp

- Robot di động ngày càng trở nên phổ biến

- Robot ngày càng trở nên tinh khôn hơn.

BÀI 4 MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU

VẬN ĐỘNG ROBOT

*Đặt vấn đề:

Một hệ trục tọa độ có thể biểu diễn bằng ma trận 4*4 trong đó ba cột đầu của ma trận là các vecto đơn vị của ba trục và cột còn lại biểu diễn vị trí của gốc tọa độ Hệ trục tọa độ gắn với vật thể gọi là khung tọa độ Giữa các khung tọa độ có sự biến đổi thông qua các phép biến đổi Hơn nữa, việc xác định động học vị trí Robot, lực và momen trong khi robot chuyển động trong không gian là cần thiết Mặt khác, lực và momen là các đại lượng có thể biểu diễn bằng vectơ Chính vì vậy, vectơ, ma trận và các phép toán của chúng là

cơ sở toán học căn bản và nhất thiết phải được đề cập đến trong nghiên cứu vận động Robot trong không gian

*Kiến thức cần nắm vững

Trong bài này ta cần phải nắm được việc biểu diễn điểm trong không gian, vectơ và các phép toán về vectơ đặc biệt là nắm vững về ma trận, ma trận nghịch đảo và các phép toán về ma trận Đồng thời cũng phải biết được các hệ trục không gian thông qua bài này

1, Vectơ và các phép toán về vectơ:

a, Biểu diễn điểm trong không gian

Một điểm A sẽ dược xác định bởi 3 thông số (3 trục) ax,ay,az.

x

= [ ax ay az] T

Để đồng nhất tương quan giữa các hệ quy chiếu, người ta đưa thêm hệ số tỷ

lệ w Vì vậy véc tơ vA viết dưới dạng ma trận sau:

z y

a a

a

b = b x i+b y j+b z k hay b [ ]T

z y

a

±+ Phép nhân vectơ:

- Phép nhân vô hướng (scalar):

a a j b b

a a i b b

a a c b b b

a a a

k j i

y x

y x z

x

z x z y

z y

z y x

z y

hình hộp có thể tích V= a.(b∧c) =

z y x

z y x

z y x

c c c

b b b

a a a

Hệ trục ngược: là hệ trục có ba trục x, y, z và đứng trên trục z thì chiều quay từ trục x sang trục y theo chiều thuận chiều kim đồng hồ

Hệ trục này có bốn yếu tố: vị trí của gốc tọa độ, hướng của ba trục x,

y, z Hệ quy chiếu gốc (hệ quy chiếu tuyệt đối) được ký hiệu: Oxyz và ký hiệu này là cố định Hệ quy chiếu tương đối là hệ trục nằm trong không gian của hệ quy chiếu gốc, ta thường ký hiệu là Ox1y1z1, Ox2y2z2 …

Điểm A nằm trong hệ trục Decac được biểu diễn như sau:

Một điểm A nằm trong hệ trục tọa độ trụ được biểu diễn như sau:A(φ,r,h) trong đó: φ: Là góc quay với trục x.

r: Là bán kính trụh: Là chiều cao trụ

O

A

Y A

* Hệ tọa độ cực(không gian biến trục).

- Góc quay: Ký hiệu là θ(ϕ , ψ ) (khớp quay)

- Độ dịch chuyển: a, d, L (khớp tịnh tiến, khớp dịch chuyển)

Cách ký hiệu 2 loại khớp quay và khớp tịnh tiến này đã trình bày ở bài trước

Khớp quay Khớp tịnh tiến

θ

3, Ma trận

+ Khái niệm về ma trận: Ma trận cỡ m×n là một bảng số chữ nhật có m hàng và n cột

m

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

=I(4)

- Ma trận bằng nhau: hai ma trận A và B gọi là bằng nhau nếu chúng

có cùng kích cỡ và các phần tử cùng vị trí bằng nhau tức là A = B khi

n

a a

a

a a

a

a a

2 22

12

1 21

a c b

• Nếu AT = A thì A được gọi là ma trận đối xứng

• Nếu AT = -A thì A là ma trận đối xứng nghiêng Ma trận đối xứng nghiêng có tính chất: có một vectơ x thì xT.A.x = 0 ∀x

n

a a

a a

+ Ma trận đảo:

Định nghĩa: A∈tập hợp ma trận vuông cấp n

Nếu A-1.A = I = A.A-1 thì A-1 được gọi là ma trận nghịch đảo của A.Cách tính ma trận nghịch đảo:

n

n

n t

C C

C

C C

C

C C

C A

C A

1

) det(

1

2 1

2 22

12

1 21

11

- Cij= (-1)i+jDij là phần phụ đại số của phần tử aij

- Dij = det(Mij ) là định thức con ứng với phần tử aij ; trong đó ma trận Mij suy từ A bằng cách bỏ đi hàng i cột j là ma trận con ứng phần tử a

−

+ +

7 3 5 2 3 2

7 5 4

b, Nhân ma trận: A.B = C

Điều kiện phép nhân hai ma trận A và B:

- Số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B

- Thứ tự nhân A.B ≠ B.A

Lưu ý trong phép nhân ma trận:

- Thứ tự nhân: Nhân phía trước :T.A (premultiply)

Nhân phía sau : A.T (postmultiply)

- Cách thực hiện phép nhân: có T = A1.A2

Nhân trước: Nhân 2 vế với A1-1

A1-1.T= I.A2 ⇒A2= A1-1.TNhân sau: Nhân 2 vế với A2-1

2 1

a a

a a

5 3 1

c c c

c c c

+

+ +

+

=

⇒

6 4 5 3 4 4 3 3 2 4 1 3

6 2 5 1 4 2 3 1 2 2 1 1

.

c a c a c a c a c a c a

c a c a c a c a c a c a C A

c, Chia ma trận: = nhân với 1 =A−1

A là ma trận đảo của A

A-1 là ma trận thỏa mãn A− 1.A = I (I là ma trận đơn vị có kích thước = A)

Chương II PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Bài 1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT

1, Phép biến đổi đồng nhất và không đồng nhất

- Khái niệm phép biến đổi đồng nhất trong không gian:

Phép biến đổi trong không gian được hiểu là sự thay đổi về mặt vị trí,

về hướng, về hình dạng, kích thước hoặc một số đặc tính của các vật thể Ví

dụ như thay đổi từ khối hình hộp chữ nhật thành khối hình vuông

Trong phép biến đổi chia thành hai dạng sau:

- Phép biến đổi đồng nhất: là phép biến đổi chỉ khảo sát các chuyển động thay đổi về vị trí, về hướng trong không gian mà không thay đổi về hình dạng kích thước của vật thể.

- Phép biến đổi không đồng nhất: là phép biến đổi ngoài sự thay đổi về mặt vị trí và hướng còn có sự thay đổi về mặt hình dạng, kích thước và một số đặc trưng của vật thể

Trong hầu hết các chuyển động liên quan đến robot, chúng ta thường quan tâm đến phép biến đổi đồng nhất (thuần nhất) mà ở phép biến đổi này,

vị trí và hướng của các khớp trục, của các thanh nối, của bàn kẹp được chuyển động trong một không gian mà không có sự biến đổi về hình dạng và kích thước của chúng Các phép biến đổi đồng nhất cơ bản gồm có: phép dịch chuyển, phép quay trong không gian được xem là phép biến đổi quan

hệ giữa các vật thể và sự dịch chuyển

Với các robot có sử dụng các thiết bị cảm biến đặc biệt hay sử dụng các camera điều khiển thì sẽ liên quan đến sự biến đổi không đồng nhất mà tập trung vào ba dạng biến đổi không đồng nhất sau:

- Phép tỉ lệ xích,

- Phép trải,

- Phép đồng dạng phối cảnh

2, Biểu diễn hình học không gian Khái niệm khung tọa độ.

a, Biểu diễn vị trí và hướng của một điểm

Để đồng nhất tương quan giữa các hệ quy chiếu, người ta đưa thêm hệ số

tỷ lệ w Vì vậy véc tơ vA viết dưới dạng ma trận sau:

z y

a a

y w

, , tăng dần và càng xa gốc toạ độ O

- w ≈ 0 →

w

z w

y w

trở thành một véc tơ hướng của trục zo

Gọi i, j,k là 3 vec tơ đơn vị của 3 trục như vậy thì ta sẽ biểu diễn 3 véc tơ

0

là véc tơ vị trí của điểm gốc tọa độ

Tập hợp: Khi có một hệ trục Đecac xo yo zo ta có thể biểu diễn dưới dạng

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Tổng quát:

Một bàn kẹp không gian có vị trí so với gốc Robot có thể mô tả như sau: *Xét vị trí của bàn kẹp H so với hệ quy chiếu xo yo zo

(He quy chieu)

Gắn hệ trục tọa độ noap lên bàn kẹp

Khung tọa độ noap được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau

p a o n

p a o n

p a o n

z z z z

y y y y

x x x x

Trong đó: n,o,a là vectơ đơn vị của trục x,y,z

p biểu diễn vị trí của hệ trục so với hệ quy chiếu nào đónoap = TH = [n o a p]

n: vectơ chuẩn (normal vector)

o: vectơ hướng (orientation vector)

a: vectơ tiệm cận (approach vector)

p: vectơ định vị (position vector)

b, Biểu diễn các vật thể.

Y X

4cm

Z

O 6cm

Nếu vị trí diểm từ (1) → (6) xác định thì ta hoàn toàn xác định được vị trí

và hướng của vectơ trong hệ quy chiếu Oxyz

0 0 2 0 0 2

6 6 0 0 0 0

2 2 2 2 2 2

Với các vật thể có những hình dạng phức tạp hơn, ma trận biểu diễn vật thể sẽ có kích thước lớn hơn và khi đó việc tính toán chuyển động của vật thể trong không gian sẽ phức tạp hơn Để giải quyết vấn đề này, người ta gắn vào vật thể 1 hệ hoàn toàn xác định Như vậy, khi vật thể chuyển động

hệ trục này cũng chuyển động theo và có cùng các đặc tính về mặt vị trí,

hướng, vận tốc và gia tốc Do đó, việc nghiên cứu chuyển động vật thể được thay bằng việc nghiên cứu của chuyển động vật thể này trong hệ trục tọa độ Đecac trong không gian.

Một hệ trục Đecac như vậy được gọi là 1 khung toạ độ Do đó, ta có thể định nghĩa khung tọa độ là 1 hệ trục tọa độ được gắn cứng vào một vật thể và thông qua nghiên cứu hệ trục đó trong không gian để xác định hướng

- Phép biến đổi T (tranformation)

To→1, T1→2 Phép biến đổi từ 0→1, 1→2

VD: 2

1 1

- Vị trí (ma trận) biểu diễn khung toạ độ A trong hệ quy chiếu B

- Phép biến đổi từ khung toạ độ B trở thành khung toạ độ A(từ B→A)

*Một số quy ước về biểu diễn

VD: T.Txyz , T.A, T.v

Trong một chuỗi biến đổi:

- T1,T2,T3 … thì có 2 cách thực hiện phép biến đổi

- Từ phải → trái: Áp dụng khi tính toán với hệ quy chiếu là

hệ quy chiếu gốc

- Từ trái → phải: Là phép biến đổi lần lượt nhưng được thực hiện với hệ quy chiếu tương đối (hệ quy chiếu đã biến đổi)

BÀI 2 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CƠ BẢN

(Homogeneous tranformation)

Đặt vấn đề.

Như ta đã học ở bài trước, bất kỳ một hệ trục Đêcac, một khung toạ

độ nào cũng được xác định bởi một ma trận bốn cột trong đó ba cột đầu theo thứ tự biểu diễn hướng của ba trục x, y, z; cột thứ 4 biểu diễn vị trí của gốc toạ độ so với một không gian quy chiếu nào đó Vì vậy, sự biến đổi của hệ trục này sẽ được quy về sự biến đổi của các thành phần trong ma trận biểu diễn của nó Chúng ta sẽ đi nghiên cứu sự thay đổi của các thành phần này thông qua các phép biến đổi đồng nhất cơ bản gồm có phép tịnh tiến (Translate) và phép quay (Rotate) Nghiên cứu các phép biến đổi này sẽ cho

ta phương pháp điều khiển Robot di chuyển từ một điểm ban đầu đến một điểm cần thực hiện công việc

1, Phép tịnh tiến( phép dịch )

Kí hiệu: Tran (Translate)

- Tran(a, b, c) có nghĩa là dịch hệ trục ban đầu theo vectơ có toạ độ là

u=[a b c]T

- Tran(x, a) có nghĩa dịch dọc theo trục x một đoạn = a.

Đặc trưng của phép dịch chuyển:

Giữ nguyên hướng của các trục mà chỉ thay đổi vị trí của gốc toạ độ

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

c b a

1 0 0

0 1 0

0 0 1

c b

1 0 0

0 1 0

0 0 1

c b

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

c b

1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0

5 1 0 0

3 0 1 0

2 0 0 1

2 1 1 0

0 1 0 0

1 0 0 1

dịch khung toạ độ A theo phép

tran(1,2,5) đến khung toạ độ (KTĐ) B Hãy tìm KTĐ B?

Giải: B = Tran (1,2,5).A = .

1 0 0 0

5 1 0 0

2 0 1 0

1 0 0 1

2 1 1 0

0 1 0 0

1 0 0 1

7 1 1 0

2 1 0 0

1 0 0 1

Thực hiện phép quay quanh trục x, y, z

• Kí hiệu: Rot (x,α ), Rot (y,θ), Rot (z,ϕ)

• Đặc trưng: - Giữ nguyên vị trí của gốc toạ độ (cột 4 của ma trận)

- Thay đổi hướng của các trục x, y, z

• Qui ước: - Chiều quay ϕ ≥0 khi quay ngược chiều kim đồng hồ

- Chiều quay ϕ  0 khi quay thuận chiều kim đồng hồ

a, Quay xung quanh trục x

*i i i [1 0 0 0]T

0 0 0 1

0

0 cos sin

0

0 sin cos

0

0 0 0

1

α α

α

α α

x Rot

b, Quay xung quanh trục y

- Kí hiệu: Rot (y, α ) trong đó y là trục quay, α là góc quay

Rot(Y0, α )

Y 0 ≡Y 1

* O1 ≡O nghĩa là [0 0 0 1]T

1 0 0

cos 0

sin

0

cos

α α

0 cos 0 sin

0 0 1 0

0 sin 0 cos

α α

α

α α

y Rot

c, Quay xung quanh trục z

- Kí hiệu: Rot (z,α ) trong đó z là trục quay, α là góc quay

X 0

X 1

α

j 1

α α

0 1 0 0

0 0 cos sin

0 0 sin cos

α α

α

α α

z Rot

0

0 cos sin

0

0 sin cos

0

0 0 0

1

α α

α α

) , (y α

0 cos 0 sin

0 0 1 0

0 sin 0 cos

α α

α α

) , (z α

0 1 0 0

0 0 cos sin

0 0 sin cos

α α

α α

Nhận xét:

- Khi quay quanh trục nào thì cột biểu diễn hướng của trục đó giữ

0

0 2

3 2

1 0

0 2

1 2

3 0

0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

Bài 3 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT TỔNG QUÁT

1, Khái niệm

Việc kết hợp các phép biến đổi cơ bản (quay, tịnh tiến) sẽ cho phép chúng

ta đưa vị trí của một vật thể đến bất cứ một vị trí hoặc tư thế nào trong không gian Như vậy, phép biến đổi tổng quát sẽ bằng tích của các phép biến đổi cơ bản Do đó, phép biến đổi đồng nhất tổng quát cũng được biểu diễn bằng một ma trận tổng quát như sau:

z z z z

y y y y

x x x x

p a o n

p a o n

p a o n

Trong đó: n, o, a thay đổi theo phép quay

P thay đổi theo phép tịnh tiến

1 0

0

0 1

0

0 0

1

z y x

p p

p

a o n

a o n

a o n

z z z

y y y

x x x

1 0 0 0

0 0

2 2

2

2 2

2

2 2

2

= + +

= + +

= + +

z y x

z y x

z y x

a a

a

o o

o

n n

n

- n⊥o,n⊥a,o⊥a(n.o= 0 ,n.a= 0 ,o.a= 0 )

- n,o,a theo thứ tự tạo thành tam diện thuận:

) ,

a o

0

.

a p a

a

a

o p o

o

o

n p n

n

n

z y x

z y x

z y x

.

a p a

a a

o p o

o o

n p n

n n

z y x

z y x

z y x

z z z z

y y y y

x x x x

p a o n

p a o n

p a o n

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

= I(4)

7 0 1 0

5 1 0 0

1 0 0 1

5 0 1 0

7 1 0 0

1 0 0 1

0

3 0 1

0

2 1 0

0

1 0 0

7 0 0 1

5 0 1 0

2 1 0 0

Có điểm M xác định trong hệ quy chiếu A

k j

i

v

0 3

A A

o o B A A

1 6 2

3 1 0 0 0

2 0 0 1

5 0 1 0

7 1 0 0

1 0 3

2 1 0 0 0

3 0 1 0

2 1 0 0

1 0 0 1 1 0

0

0

2 0

0

1

5 0

1

0

7 1

0

0

VD2:Cho u = 7i+ 3j+ 2k biểu diễn điểm A Tìm vị trí của điểm A khi áp dụng các phép biến đổi sau:

- Quay 900 quanh trục z, rồi

- Quay 900 quanh trục y, rồi

1 2 3

7 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0 ).

90 , (z 0 u Rot

v

1 2 7 3

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0 ).

90 , (y 0 v Rot

1 3 7 2

1 0 0 0

9 1 0 0

7 0 1 0

3 0 0 1 ).

9 , 7 , 3

Tran r

A3(5,14,12)

VD3::

T được hiểu theo hai cách:

- Vị trí của khung toạ độ B trong hệ quy chiếu là khung toạ độ A

- Phép biến đổi đưa khung toạ độ A về vị trí trùng với khung toạ độ BTrên cơ sở hai cách trên,

2 0 0 1

3 0 1 0

2 1 0 0

Cách 2:

1

T

o : Biến đổi từ hệ trục x o y o z o →x1y1z1

- o T1= Rot(z,1800).Rot(y,900).Tran(-2,-3,-2)(Tính theo hệ trục tương đối)

hoặc o T1= Tran(2,3,2).Rot(z,1800).Rot(y,900) (Tính theo hệ trục gốc)

0

0

2 1

0

0

3 0

1

0

2 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0

0

2 1 0

0

3 0 1

0

2 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

0

2 0 0

1

3 0 1

0

2 1 0

0 0 0 0

0 1 cos sin

2 0 sin cos

1 0 0 0

0 0 0 0

0 1 cos sin

0 0 sin cos

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

2 0 0 1 ) , ( ).

2 ,

(

2

α α

α α

α α

α α

α

z Rot x

2

3 sin

( ) 13

2 3

2

2 cos

1

0 2

0 0

2 0 0 1

3 0 1 0

2 1 0 0

0 0 0 0

0 1 cos sin

2 0 sin cos

α α

α α

Bài 4 MỘT SỐ DẠNG PHÉP QUAY ĐẶC BIỆT