De on he so 5

Tìm điểm M thuộc đồ thị C để tiếp tuyến của C tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9.. Giải phương trình:.[r]

TRƯỜNG THPT VĨNH YÊN

NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ THI CHUYÊN ĐỀ LẦN 3 Môn: Toán, Khối A- LỚP 12

Thời gian: 180’ (Không kể thời gian giao đề)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số

1

x y x





 (1)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9

Câu II.(2 điểm)

1 Giải phương trình:

3

2 2 os ( ) 3 osx-sinx=0

4

2 Giải hệ phương trình:

4 1 ln( 2 ) 0







Câu III.( 1 điểm) Tính tích phân

2

2 1

ln ln( 1)

x



Câu IV.( 1 điểm) Cho x y z, , dương và thỏa mãn điều kiện: x y z  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của :

A

Câu V( 1 điểm) Cho khối lăng trụ ABC A B C 1 1 1có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền

2

AB a Cho biết mặt phẳng AA B1 

vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 a 5, góc



1

A AB nhän, góc giữa mặt phẳng (A1AC) vµ mÆt ph¼ng (ABC) b»ng 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C 1 1 1và khoảng cách giữa hai đường thẳng BB1 và AC

Câu VI.( 2 điểm)

1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1) và (C2) có phương trình

và (C) là đường tròn thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với (C1) và tiếp xúc trong với (C2) Chứng minh rằng tâm của đường tròn(C) nằm trên một elip và lập phương trình của elip đó

2.Trong không gian Oxyz cho điểm G(2;3;-4), hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua G cắt

các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC

Câu VII (1 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết: z z. 2(z z ) 8 8  i

-Hết -Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh……… …Số báo danh………… Chữ ký…………

6

4

2

-2

-4

-6

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHUYÊN ĐỀ LẦN 3 MÔN TOÁN- KHỐI A NĂM HỌC 2012-2013

+) Giới hạn, tiệm cận: ( 1) ( 1)

- TC đứng: x = -1; TCN: y = 2

+)  2

3

1

x



Hàm số đồng biến với mọi x    ( ; 1);( 1; )

0.25

+) BBT:

x -  - 1 +

y' + || +

y  2

||

2  

0.25

+) ĐT:-Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại (1/2 ;0)

-Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại (0 ;-1)

- Tâm đối xứng I(-1 ;2)

0.25

2

IM

0.25

+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: 0  0 2

3 '( )

1

M

x



0.25

+) ycbt k k M. IM 9

+) Giải được x0 = 0; x0 = -2 Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5)

0.5

II 2.00

(cosx+sinx)3-3cosx-sinx=0 (1+2sinx.cosx)(sinx+cosx)-3cosx-sinx=0 0.5

 2cos2x(sinx-cosx)=0

osx=0 tgx=1

c



 



hoặc x 4 k



  

0.5

2( 2 1) ( 1) (1)

4 1 ln( 2 ) 0 (2)







1.0

Điều kiện: y22x0

Từ phương trình (1) ta có: 2x x 22 (y1)(x22) y 1 2x

0.25

Thay vào phương trình (2) ta có: y32y 3 ln(y2 y 1) 0 (*)

Nhận xét: y=-1 là nghiệm của phương trình (*)

0.25

Xét hàm số f y( )y32y 3 ln(y2 y 1) 0;  y R

Ta có

2

Nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất: y=-1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(0;-1)

0.5

2 1

ln ln( 1)

x



1.00

2

(1 ln ) ln (ln ln ) | ln 2 ln 2

0.25

2

1

ln(x 1)

x





Đặt

2

1 ln( 1)

1 1

1

x

v













0.25

2 2

1

ln( 1) | ln 3 ln 2 ln





0.25

Vậy

2

2ln 2 ln 2 ln 3 ln

0.25

IV 1.00

A

A

0.5

Ta có

3

3

3

x y z

A

 



Dấu bằng xảy ra khi

1 3

0.5

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A1

xuống AB ta có A1H vuông góc với mặt

phẳng (ABC) Hạ HK vuông góc với AC tại

K, ta có HKA1 600.

Giả sử HK x  A K x  AH x 2

và HA1x 3.

Xét tam giác AA1H:

AA AH HA  x a .

0.25

1

1

2

ABC A B C ABC

(đvtt)

0.25

2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB1 và AC

d(BB1;AC)=d(BB1;(ACC1A1))=d(B;(ACC1A1))

Hạ HI vuông góc với A1K ta có HI là khoảng cách từ H đến mặt phẳng (ACC1A1)

0.25

Xét tam giác HIK ta có:

3 2



HI a

Vậy d(B;(ACC1A1)=

6 2

Vì đường tròn (C2) chứa đường tròn (C1), gọi M là tâm của đường tròn(C)

Ta có: MF1+MF2=R1+R2=10; F1(-3;0), F2(3;0) lần lượt là tâm của đường tròn (C1) và (C2)

R1, R2 lần lượt là tâm của đường tròn (C1) và (C2)

Vậy tập hợp các điểm M là một elip với các tiêu điểm F1 và F2

0.5

Elip cần tìm có phương trình:

1

25 16 

2 1.00

Giả sử A(a;0;0), B(0;b;0) và C(0;0;c)

Theo giả thiết ta có:

6 9 12











 



a b c

Vậy A(6;0;0), B(9;0;0) và C(0;0;-12)

0.5

Phương trình mặt phẳng (ABC):6 9 12 1

VII

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết: z z. 2(z z ) 8 8  i

1.0

Giả sử số phức z x yi x y R  ( ,  )

Theo giả thiết ta có: z z. 2(z z )x2y24yi 8 8i

0.5

2

4 8

x

y y







 Khi z  2 2i;phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2

Khi z  2 2i ; phần thực bằng -2 và phần ảo bằng 2

0.5

Chú ý: Đáp án chỉ trình bày lời giải vắn tắt và một cách giải cho mỗi bài toán, nếu học sinh giải

theo cách khác mà vẫn đúng thì giám khảo căn cứ vào thang điểm để cho điểm câu tương ứng