tứ giác Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn”.. Chỉ chứng minh một trường hợp: có một cạnh của góc đi qua tâm.[r]
Trang 1I ĐẠI SỐ:
1 Lí thuyết:
Câu 1: Nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn có
thể có bao nhiêu nghiệm?
Giải: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax by c
Trong đó a, b và c là các số đã biết ( a 0 hoặc b 0 )
Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm
Câu 2: Nêu dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số.
Giải: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ' ' '
ax by c
a x b y c
trong đó a,b,c là các số đã biết
Câu 3:Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm?
Giải: Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể vô nghiệm, có 1 nghiệm duy nhất
hoặc VSN
Câu 4: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương.
Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai:
a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì luôn tương đương với nhau
(S)
b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau (Đ)
Câu 5: Viết dạng tổng quát của phương trình bậc hai
Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của phương trình 3 x2 3 1 0 x
Giải: SGK trang 40 Áp dụng :
2
3 3 1 0( 3; 3; 1)
x x a b c
Câu 6: Cho phương trình ax2 + bx +c=0 (a 0) Viết công thức tính nghiệm của pt trên
Áp dụng : Giải phương trình x2 3 x 2 0.
Giải : SGK trang44 Áp dụng :
2
2
3 2 0 ( 3) 4.1.2 5
5 0
Vậy phương trình vô nghiệm
Câu 7: Phát biểu hệ thức Viet
Trang 2Áp dụng : 5 x2 4 x 3 0.Tính x1+ x2 và x1 x2
Giải : SGK trang 51 Áp dụng :5x24x 3 0
a = -5< 0 ; c = 3 > 0 Vì a và c trái dấu nên phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt
1 2
4 5 3
5
b
x x
a
c
x x
a
Câu 8: Cho phương trình :ax bx c2 0 (a 0) cĩ hai nghiệm x1 và x2
Chứng minh :
1 2
b
S x x a
c
P x x a
Giải : Ta cĩ :
1
2
x
2
2
2
b a b x
a
x x
x x
ìï - + D
ï = ïï ïí
ï - - D
ïï = ïïỵ
- + D - - D
- + D - - D - - D - +
Câu 9: Lập phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm cĩ tổng là S và cĩ tích là P (khơng cần cm)
Áp dụng : Lập phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm là:2 2 và 2 2
Giải : Phương trình bậc hai cĩ tổng hai nghiệm là S và tích hai nghịêm là P cĩ dạng :
X2 - SX + P = 0
Áp dụng :
2
S 2 2 2 2 4
P (2 2).(2 2) 4 2 2
Vậy 2+ 2 và 2- 2 là hai nghiệm của phương trình
X 4X 2 0
- + =
Câu 10: Nêu tính chất của hàm số y ax a 2( 0)
Giải : SGK trang 29
Trang 32 Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a/
3 2 1
3
x y
x y
b/
3 5 1
x y
x y
4 3 15
3 2 10
x y
x y
d/
e/
1 1 5
8
1 1 3
8
x y
x y
f/
1 2
6 2
x y x y
x y x y
5( 2 ) 3 1
2 4 3( 5 ) 12
Bài 2:
Câu 1: Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình
ax by
ax by
Có nghiệm là (x2;y1)
Câu 2: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình
3 1
2
mx y
x ny
nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm
Bài 3:
Câu 1: Cho hệ phương trình:
3 5
4 6 9
mx y
x y
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Câu 2: Tìm giá trị của a để hệ phương trình
2 5
3
x y
ax y a
a/ Có một nghiệm duy nhất
b/ Vô nghiệm
Câu 3: Cho hệ phương trình
3
2 6 8
x y
Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm
Bài 4:
Trang 4Câu 1: Xác định hàm số y ax b biết rằng đồ thị của nĩ đi qua hai điểm
a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4)
b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)
Câu 2: Xác định đường thẳng y ax b biết rằng đồ thị của nĩ đi qua điểm
A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng yx và y2x1
Bài 5: Cho hàm số y = -x2 cĩ đồ thị (P) và y = -2x +m cĩ đồ thị là (d)
a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) cĩ hồnh độ bằng 1
b/ Trong trường hợp m = -3 Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm của chúng
c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) khơng cắt (P)
Bài 6: Giải phương trình :
2
2
/ 3 75 0
2
/ 384 0
3
/ ( 15) 3(27 5 )
/ (2 7) 12 4(3 )
/(3 2) 2( 1) 2
a x
b x
Bài 7: Giải phương trình sau (dùng thức nghiệm hoặc cơng thức nghiệm thu gọn )
2
2
2
1/ 5 14
2 / 3 10 80 0
3/ 25 20 4 0
Bài 8:Định m để phương trình :
2
2
a/ 3x 2x m 0 vô nghiệm
b/ 2x mx m 0 co ù 2 nghiệm phân biệt
c/ 25x +mx + 2 = 0 có nghiệm kép
Bài 9:Cho phương trình :x2 + (m+1)x + m = 0 (1)
1/ Chứng tỏ rằng phương trình cĩ nghiệm với mọi m
2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm Tính nghiệm cịn lại
3/ Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm đối nhau
4/ Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau
5/ Tìm m sao cho x1 - x2 = 2
6/ Tìm m để x12x22 đạt giá trị nhỏ nhất
7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương
Trang 58/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m.
9/ Tính x13x23
Bài 10: Giải phương trình :
15
/ 2
a x
x
1 1
b
x x c/ 2x4 7x2 4 0 d x/ 5 x3 x2 1 0
II HÌNH HỌC :
1 Lí thuyết:
Câu 1 : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn
bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau”
O A
B
C
D
GT
Cho đường tròn (O)
AB CD
KL AB = CD
Ta có: AB CD ( GT) AOB COD ( 2 góc ở tâm chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau) Nên : AOBCOD ( c.g.c) AB = CD (đpcm)
Câu 2: Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong một đường tròn Áp dụng:Cho đường tròn (O),
đường kính AB Vẽ dây AM sao choAMO 400 Tính số đo cung BM ?
GT
Cho đường tròn (O) AB: Đường kính Dây AM sao cho:AMO 400
KL Tính BOM ?
Ta có: OA = OB ( bán kính)
AOM cân tại O
BOM = 2AMO 2.400=800 ( định lí góc ngoài của tam giác AOM)
Câu 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì
bằng nhau (Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, có một dây đi qua tâm cuả đường tròn)
GT
Cho đường tròn (O) CD: dây cung , AB: đường kính
O
M
O
Trang 6AB // CD
KL AC BD
Ta có: AOC OCD ( So le trong)
BOD ODC ( So le trong)
Mà OCD ODC ( OCD cân tại O)
AOC BOD
AC BD ( 2 góc ở tâm bằng nhau thì chắn 2 cung bằng nhau)
Câu 4: Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong một
đường tròn để giải bài toán sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bán kính OM,
ON sao cho:AOM 40 ,0 BON 800 So sánh: AM, MN và NB ?
GT
Cho đường tròn (O), M,N (O):
AOM 40 ,0 BON 800
KL So sánh: AM, MN, BN?
Ta có:
0
180
180 40 80
MON
( vì AOB 1800) AOM MON NOB
AM MN NB ( góc ở tâm nhỏ hơn thì chắn cung nhỏ hơn)
AM < MN < NB ( cung nhỏ hơn thì căng dây nhỏ hơn)
Câu 5: Chứng minh định lí: “ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 ”
GT Cho đường tròn (O)
ABCD nội tiếp (O)
KL
0 0
180 180
A C
B D
Ta có: A
1
2sđBCD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)
C
1
2sđBAD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)
O
A
B
O A
M
B N
Trang 7
1
2
A C
sđ(BCD BAD ) =
1
2.3600=1800 Tương tự: B D 1800 ( hoặc B D 36001800 1800: tính chất tổng 4 góc của
tứ giác)
Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của
cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: có một cạnh của góc đi qua tâm )
Học sinh xem SGK trang 74
Câu 7: Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo
của cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của đường tròn nằm ở ngoài của góc)
Học sinh xem SGK trang 78
Câu 8: Chứng minh định lí: “ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số
đo hai cung bị chắn”
n
E O D
C A
B m
GT
Cho đường tròn (O)
BEC: góc có đỉnh bên trong (O)
KL BEC=
1
2sđ(BnC AmD )
Xét tam giác BDE, ta có:
BEC= B D ( định lí góc ngoài của tam giác BDE)
Mà
1 2
B
sđAmD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)
1 2
D
sđBnC ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)
Nên: BEC=
1
2sđ(AmD+BnC)
Câu 9: Nêu cách tính độ dài cung n0của hình quạt tròn bán kính R Áp dụng: Cho đường tròn ( O; R = 3 cm) Tính độ dài cung AB có số đo bằng 600?
GT
Cho đường tròn (O; R = 3cm)
Sđ AB 600
Trang 8O A
Ta có: AB 180
Rn
l
Với : R = 3cm và n = sđAB 600 ( giả thiết)
Vậy:
.3.60
( ) 180
AB
l cm
Câu 10: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn (O) Chứng minh:
AB + CD = AD + BC
O A
D
B
C
M
N
P
Cho đường tròn (O) ABCD ngoại tiếp đường tròn (O)
KL AB+CD = AD+BC
Ta có: AM = AQ ( Tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau)
BM = BN (…nt…)
DP = DQ (…nt…)
CP = CN (…nt…)
Cộng từng vế, ta có: AM+BM+DP+CP = AQ+BN+DQ+CN
Hay: AB + CD = AD + BC ( đpcm)
2 Bài tập:
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên
đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là
N Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P Chứng minh :
a/ Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn
b/ Tứ giác CMPO là hình bình hành
c/ Tích CM.CN không đổi
Trang 9Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường
tròn ấy sao cho BA = R Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I Tia BA cắt tia
CM tại D
a/ Chứng minh: DI BC
b/ Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn
c/ Giả sử AMB 450.Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM
Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là một điểm trên đường tròn sao
cho CA > CB Vẽ hình vuông ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F ( khác điểm C)
a/ Chứng minh : OF AB
b/ Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F
c/ CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng hàng
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H, M cạnh BC ) Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB tại P và AC tại Q
a/ Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng
b/ Chứng minh: MA PQ
c/ Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn
Bài 5: Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây AE
đi qua trung điểm P của OC, ED cắt CB tại Q
a/ Chứng minh tứ giác CPQE nội tiếp được một đường tròn
b/ Chứng minh : PQ // AB
c/ So sánh diện tích tam giác CPQ với diện tích tam giác ABC