BỘ đề có đáp án CHI TIẾT HSG TOÁN 8

Tổng hợp bộ đề thi môn Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án chi tiết dùng ôn luyện học sinh giỏi Toán 8, ôn thi vào lớp 9 trường chuyên lớp chọn. Thích hợp cho giáo viên ôn thi học sinh giỏi, học sinh khá, giỏi ôn tập

UBND HUYỆN …

PHÒNG GIAO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI OLYMPIC CẤP THCS

NĂM HỌC … Môn thi: Toán 8

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 ( 4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng

600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E Chứng minh :

a) BD.CE =

2

BC 4

b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED

c) Chu vi tam giác ADE không đổi

Câu 5: ( 1 điểm )

Cho hình vuông ABCD Dựng phía trong hình vuông tam giác AFB cân tại

F có góc ở đáy là 150 Chứng minh CDF là tam giác đều

… ………… Hết ………

Họ tên thí sinh ……… số báo danh……

Lưu ý : Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD – ĐT … ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI OLYMPIC

NĂM HỌC …MÔN THI : TOÁN 8

b

( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24

3

a

Từ a + b + c = 0  a + b = - c  a2 + b2 –c2 = - 2ab 0,5 đ Tương tự b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac 0,5đ

xy (2)

0,25đ

Từ (1) và (2)  M  8.1 + 5.1 = 13 hay M 13 0,25 đ+ M = 13 khi (1) và (2) xẩy ra dấu “ = ”  a = b = 1

2 1

E D

0,5đ0,5đ

Kết hợp với B M  2 suy ra BMD  MED ( c –g – c) 0,5đ

Từ đó suy ra D 1 D 2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE 0,5đ Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5đ

Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

Ta chứng minh được: DH = DI, EI = EK

0,25đ

0,25đChu vi tam giác ADE = AD +DE + EA = AD +( DI + IE) + AE

= ( AD + DH ) + ( AE + EK) = AH + AK = 2AH ( vì AH = AK) 0,25

Ta có DAK  BAF (theo cách vẽ) nên AK = AF (2)

Từ (1) và (2) suy ra :AKF đều Khi đó DAK  DFK ( c.g.c)  AD = DF = DC ( 3)Mặt khác : ADF  BCF ( c.g.c)  DF = CF ( 4 )

Từ (3) và (4) suy ra :DCF đều

Lưu ý: Nếu HS chứng minh được tam giác DCF cân cho 0,5 đ

0,25đ

0,25đ0,25đ0,25đ

Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa

UBND HUYỆN …… ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP CHẤT LƯỢNG CAO

Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )

x 

c) Tìm giá trị của x để A < 0

d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Câu 3 (2,0 điểm) Một ôtô dự định từ A đến B với vận tốc 60km/h Nhưng sau

khi đi được một giờ , người đó dừng lại nghỉ 15 phút Để đến B kịp thời gian đã định , người đó phải tăng vận tốc thêm 5km/h Tính quãng đường AB

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 16cm , BC = 20cm.

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

b) Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = 4cm Từ D kẻ DE song song

BC

( E AC)

Tính DE , EC ?

c) Tìm vị trí điểm D trên cạnh AB sao cho BD + EC =DE

Câu 5 (0,5 điểm) Tìm các giá trị x, y nguyên dương thỏa mãn:

x2 y22y13

-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM : TOÁN 9

Câu Ý Nội dung Điểm

Với

1 2

x 

( thỏa mãn ĐKXD) Giá trị biểu thức A =

2 3

0,25

Với

1 2

x 

( Thỏa mãn ĐKXD) Giá trị biểu thức A =

2 5

Gọi độ dài quãng đường AB là x(km/h, x>0) 0,25

Thời gian dự định để đi hết quãng đường AB là 60

x

(h)

0,25

Quãng đường ô tô đi được trong 1 giờ đầu là 60km 0,25

Sau khi đi được 1h , quãng đường còn lại là: x – 60(km) 0,25

Thời gian đi hết quãng đường còn lại là :

60 65

x



=

20 12

x 0,25

Vậy D thuộc AB sao cho AD = 7cm

Vì vậy x + y+ 1 và x - y – 1 là 2 số nguyên dương chẵnNên chỉ xảy ra trường hợp

Lưu ý : nếu vẽ hình sai thì không chấm

Môn : TOÁN 8 Năm học : Thời gian : 120 phút Câu 1: ( 2.0 điểm )

a) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 3x3ax b chia hết cho đa thức B x( )x2  3x 4

b) Chøng minh r»ng: Víi mäi a Z, nÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th×

6 6

a  b chia hÕt cho 9

Câu 2: ( 2.0 điểm )

a) Tìm x, y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất: P5x22y2 2xy 4x2y2013

b) Chứng minh rằng với mọi số thực khác không x, y ta có

\f(x,y + \f(y,x  \f(x,y + \f(y,x

VËy nªn nÕu a kh«ng chia hÕt cho 3 th× a2 chia 3 d 1

T¬ng tù ta còng cã nÕu b kh«ng chia hÕt cho 3 th× b2 chia 3

b Chứng minh rằng với mọi số thực khác không x, y ta có

\f(x,y + \f(y,x  \f(x,y + \f(y,x

Ta có \f(x,y + \f(y,x  \f(x,y + \f(y,x

b Tìm giá trị của x để A > 3

Ta cú 2

3 4 1

Đối chiếu ĐKXĐ ta cú A > 3

4

0 3



 x

0.250.250.25

c Tìm giá trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của A

Ta cú 2

3 4 1

Vậy GTLN của A là 4 khi x = \f(-1,2

B

A

PHÒNG GD & ĐT ĐỀ THI OLIMPIC

Môn: Toán 8

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 + 3x2 - 4 b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

Câu 2: (4,5 điểm) Cho biểu thức:

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P'=

1

P

Câu 3: (4,5 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu x là số tự nhiên lẻ thì A = x2 + 4x – 5 chia hết cho 8

b) Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – q2  24

c) Chøng minh r»ng nÕu a b  1 th×: 2 2

Câu 4: (6 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường

chéo BD Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi

H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c)Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2

Câu 5: (1 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A Các đường thẳng qua đỉnh B,C và

trung điểm O của đường cao tương ứng đỉnh A cắt các cạnh AC, AB tại M và N

Cho diện tích tam giác ABC bằng S Tính diện tích tứ giác AMON

= (y – z)(y + z)(x – z) + (z – x)(z +x)(y – z) (y – z)(x – z)(y + z – z – x) = (x – y)(y – z)(z – x) 0.75

q q

0.5

0.5

Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF

11

Chứng minh : BEODFO g c g(   )

=> BE = DFSuy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành

b

0.51

0.5

Chứng minh : AFD AKC g g(  )AF

O

I

N M

S

0.50.5

PHÒNG GD&ĐT ……

ĐỀ THAM KHẢO

KỲ THI OLYMPIC MÔN: TOÁN 8

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1:(5 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi a,b  Z thì :

M = ( a + b )( a + 2b )( a + 3b )( a + 4b) + b4 là số chính phương b) Tìm số tự nhiên n để :

A =

2010 x+2680

x2 +1

Câu 4: (7điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M

là điểm đối xứng của điểm C qua P

- ĐÁP ÁN

Hết -Câu Nội dung Điể

m1(5đ)

Do n là số tự nhiên nên n2+ 2 là số tự nhiên, để B nguyên khi n2 + 2 là

ước tự nhiên của 2

0,5Với n2 + 2 = 1 ⇒ n2 = -1( không có giá trị n tự nhiên nào thoã mãn) 0,25

⇔ x = 1 (loại) hoặc x = -3 (loại)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x = 1 0,5b(2đ) Phương trình: x4 - 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 (2)

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2) 0,5Chia hai vế của (2) cho x2 ta được

x = 2 ⇒ x = 1(thõa mãn)Vậy phương trình có nghiệm x = 1

3(4đ)

a(2đ) Biến đổi đẳng thức để được

a2+b2−2 ab+b2+c2−2 bc+c2+a2+2 ac=4 a2+4 b2+4 c2−4 ab−4 ac−4 bc

0,25

Biến đổi để có (a2+b2−2 ac )+(b2+c2−2 bc )+(a2+c2−2 ac )=0 0,5

Biến đổi để có (a−b )2+(b−c )2+(a−c )2=0 (*) 0,25

Vì (a−b )2≥0 ; (b−c)2≥0 ; (a−c)2≥0 ; với mọi a, b, c

nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a−b )2=0 ; (b−c )2=0 và

F E

a(2đ) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD 0,5

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA

0,5

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 0,25Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC 0,5

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng 0,25c(1đ) Chứng minh được tam giác MAF và tam giác DBA đồng dạng 0,5

UBND HUYỆN …….

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI OLYMPIC CẤP THCS

Môn thi: Toán 8

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 ( 4 điểm)

a) Phân tích đa thức x4 + x3 - 8x – 8 thành nhân tử

b) Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp

Chứng minh rằng: ab – a – b + 1 chia hết cho 192

Câu 2 ( 5 điểm) Giải các phương trình sau :

12x 3 3

A x







Câu 4 : (5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC Từ C

vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắttia BA tại E

a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC

b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng

BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi

c) KẻDH BC H BC  Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng

Vì k(k + 1)(k – 1) luôn chia hết cho 3 với mọi k thuộc Z

Và k2(k + 1)(k – 1) luôn chia hết cho 4, với mọi k thuộc Z 0,5đKết hợp với (3,4) = 1

nên ab – a – b + 1 chia hết cho 16.12 = 192 (đpcm) 0,5đ

t t

x z a

x 

a) Chứng minh EA.EB = ED.EC

- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g) 0,5đ

GTLN của S là 1, đạt được khi a b  1 0,25đ

Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa

MÔN THI: TOÁN 8

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 ( 5,0 điểm)

Cho biểu thức: P =

2 x2−3 x −2

x3−2 x2+2 x −4

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn P

b) Tính giá trị biểu thức P, biết giá trị của x thỏa mãn: | x−1|=4

c) Tìm giá trị giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

BC Kẻ từ A đường thẳng vuông góc với AM cắt hai tia Bx và Cy lần lượt tại P và Q

a Chứng minh : AP = BP và AQ = CQ

b Gọi AH là đường cao của tam giác ABC Chứng minh PC đi qua trung điểm của đoạn thẳng AH

Câu 5 ( 1,0 điểm)

Cho một tam giác đều có cạnh 3cm, lấy 19 điểm nằm trong tam giác

đó Chứng minh rằng có ít nhất 3 điểm có khoảng cách từng đôi một nhỏ hơn 1cm

… ………… Hết ………

Họ tên thí sinh ……… số báo danh……

Lưu ý : Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 8

Ta có: | x−1|=4 khi [ [ x=5 x=-3 [

Khi x = 5 thì P =

11 27 Khi x = -3 thì P =

-5 11

1,0đ0,5đ0,5đ

Vậy GTNN của P = -1/2 khi x = -2

0,5đ

0,25 0,25đ

0,5đ1,0đ0,25đ

0,25đ

B

Xét hiệu: A = (2xyz + 1)– (xy + yz + zx) (1)

= (xyz – z) + (1– xy) + (z – yz) + (xyz – zx)

= (xy – 1)(z– 1) + (zx – 1)(y – 1)

Do: x > 1, y > 1, z > 1 nên A > 0

Vậy 2xyz + 1 > xy + yz + zx

0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ

Từ đó các cặp tam giác vuông sau bằng nhau:

Δ PBM = Δ PAM và Δ QAM = Δ QCM ( canh huyền-cạnh

góc vuông) ⇒ PA = PB, QA = QC

1,0đ

1,0đ1,0đ

0,25đ0,25đ0,25đ

Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa

NĂM HỌC Môn thi: Toán 8

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 ( 5,0 điểm) Cho biểu thức

P

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1

Câu 2 ( 6 điểm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

a) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x  2dư

22, f(x) chia cho x 2 4 được thương là 5x và còn dư

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a3 5a chia hết cho 6

c) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2xy 2012x 2013y 2014 0

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC

(M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM

a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân

( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm )

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC

Môn thi: Toán 8 Năm học:

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

x x x

 

( TM ĐKXĐ)Hoặc x = - 1 ( không TM ĐKXĐ)

0,5đ

Vậy

1 2

P

1 2

x  > 0 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2

số dương x – 1 và

1 1

b

đ

* (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 2

* (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 3

x y x y

a b c abc

3 2 1 E

N H

M O

D

C B A

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

a) Chứng minh rằng OM = ON

b) Chứng minh rằng AB CD MN

2 1 1





c) Biết SAOB= 20112 (đơn vị diện tích); SCOD= 20122 (đơn vị diện tích)

ab(a + b) – bc(b + c) + ac(a – c) = a 2 b + ab 2 – b 2 c – bc 2 + ac(a – c) =

= b(a 2 – c 2 ) + b 2 (a – c) + ac(a – c) = (a – c)(ab + bc + b 2 + ac)

a

Lập luận để có BD

OD AB

OM



, AC

OC AB

ON

Lập luận để có AC

OC DB

OD

ON AB

OM



(1), xét ADC để có AD

AM DC

OM



(2)

Từ (1) và (2)  OM.( AB CD

1 1

DM AM

0,5

Chứng minh tương tự ON. ) 1

1 1

CD AB

0,25

từ đó có (OM + ON). ) 2

1 1

CD

2 1 1

S AOD

AOB



OB S

S DOC

S

DOC

BOC S

S



AOD BOC DOC

 S AOB.S DOC  (S AOD)2 0,25 Thay số để có 2011 2 2012 2 = (S AOD ) 2  S AOD = 2011.2012

Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề.

Câu 1(2.5 điểm): Cho biểu thức :

a) Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A tại x =

3

2.c) Tìm giá trị của x để A < 0

Câu 2(1.5 điểm): Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 13 Nếu tăng tử số

lên 7 đơn vị và bớt mẫu số đi 16 đơn vị thì được phân số mới bằng nghịchđảo của phân số đã cho Tìm phân số đã cho

a b c 

Câu 4(4.0 điểm): Cho hình thang ABCD( AB // CD) có 2 đường chéo cắt

nhau tại O Kẻ đường thẳng qua O và song song với AB cắt các cạnh bên

S = 2011 ( đơn vị diện tích); S COD = 20122( đơn vị diện tích) Tính S ABCD

UBND HUYỆN

PHÒNG GD & ĐT

ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP CHẤT

LƯỢNG CAO NĂM HỌC MÔN TOÁN 9

Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề.

a - 3 a

<=> a2 + 7a = a2 + 10a - 39 <=> 3a = 39

<=> a = 13(TMĐK)Vậy phân số cần tìm là

0.25

b)

(1.0đ) Chứng minh:

1 1 1 + + 9

a b c 

VT =

1 1 1 a + b + c a + b + c a + b + c + + = + +

=

a a b b c c 1+ + +1+ + +1+ +

b c a c a b =

a b b c a c 3+( + )+( + )+( + )

0.250.25

OF 1

OD ) suy ra S AOB.S DOC S BOC.S AOD

Chứng minh được S AOD S BOC

Suy ra S AOB.S DOC (S AOD)2 suy ra S AOD= 2011.2012Dođó:

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 8

Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng

600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt

tại D và E Chứng minh :

a) BD.CE =

2

BC 4

b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED

c) Chu vi tam giác ADE không đổi

-Hết -HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8

1a (1 đ)

x - x - 42 (x  7 ) (6x  x  42)x x(  7) 6( x  7) 0,5

(x 6)(x 7)

(4điểm)

1b ( 1 đ)

Ta có : A =(x + x + 1)(x - x + 1)2 3 2 ( câu 1b) 0,25Nếu x > 1 thì x + x + 1 > 32 ;x - x + 1 > 13 2

x x

c (2,5đ)

64)(

1x16x

+ Với k = - 8,5 thì phương trình vô nghiệm 0,25

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = - 1/4 và x = 1/2 0,5

Do x2  0 với mọi x , nên ta có:

b ( 2 đ)

Do x2 và x2 +1 là hai số tự nhiên liên tiếp từ ( *) suy ra:

 

 x + y + z => P 

x y z2

0,25Hình vẽ:

y

x

3 2 1

2 1

E D

(4điểm)

a ( 1 đ)

0,25

b (1,5đ)

Kết hợp với B M  2 suy ra BMD ∽ MED ( c –g – c) 0,5

Từ đó suy ra D 1 D 2, do đó DM là tia phân giác của góc BDE

Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

Ta chứng minh được: DH = DI, EI = EK

0,25

Chu vi tam giác ADE = AD +DE + EA = AD +( DI + IE) +AE

= ( AD + DH ) + ( AE + EK) = AH + AK = 2AH ( vì AH =AK)

0,5

Vậy chu vi tam giác ADE bằng 2AH không đổi 0,25

- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa