Tiếp tuyến tại M của đường tròn O cắt AB, AC tại E, F a C/m: Tứ giác OMCF và ABOC nội tiếp.. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M.[r]
Trang 1CÁC BÀI HÌNH TUYỂN SINH 10
1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) (AB>AC) Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, đường thẳng AD cắt (O) tại I, gọi AK là đường kính (O)
a) C/m: BC là trung trực HI
b) C/m: Tứ giác BCIK là hình thang cân, BHCK là hình bình hành có tâm M là trung điểm BC c) KH cắt (O) tại N C/m: A, H, E, F, N cùng thuộc 1 đường tròn và xác định tâm O’ của đường tròn này
d) C/m: Tứ giác OMIO’ là hình thang cân
e) C/m: OM=1
2AH f) Giả sử AH=R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Tính B ^ A C
g) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC C/m: H, O, G thẳng hàng và OG=1
2GH 2) Cho tam giác ABC nội tiếp (O), 2 đường cao BE, CF cắt nhau tại H
a) C/m: Tứ giác AEHF, BFEC nội tiếp
b) C/m: AH vuông góc BC và BH.BE + CH.CF = BC2
c) Lấy M thuộc cung nhỏ BC Gọi N, K lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB, AC C/m: Tứ giác AHBN nội tiếp
d) C/m: 3 điểm N, H, K thẳng hàng
e) Tìm vị trí của điểm M để NK lớn nhất
3) Cho MA, MB là 2 tiếp tuyến của (O), C là điểm thuộc cung AB nhỏ, vẽ CD vuông góc
AB, CE vuông góc MA, CF vuông góc MB
a) C/m: Tứ giác DAEC và DBFC nội tiếp
b) C/m: CE.CF = CD2
c) AC cắt ED tại H, AB cắt DF tại K C/m: Tứ giác CHDK nội tiếp
d) C/m: HK//AB
e) C/m: HK là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (CKF) và (CHE) C/m: đường thằng CI đi qua trung điểm AB
4) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R) có AD, BE, CF là các đường cao cắt nhau tại H a) Tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp
b) AD cắt (O) tại K C/m: H, K đối xứng nhau qua BC
c) Gọi I là trung điểm AH C/m: BIEK nội tiếp
d) EF cắt AM tại Q C/m: Q là trực tâm tam giác IBC
e) BQ cắt IC tại L, S là trung điểm BC C/m: DMLF nội tiếp
5) Cho (O; R), điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = 3R Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với (O)
a) C/m: MAOB nội tiếp
b) C/m: MO vuông góc OB tại H
c) Tính SMAOB theo R
Trang 2d) Vẽ dây cung BD//MA, MD cắt (O) tại N, K là trung điểm MA C/m: N, B, K thẳng hàng 6) Từ điểm M nằm ngoài (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O và 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), C nằm giữa MD
a) MA2 = MC.MD
b) Gọi I là trung điểm CD C/m: M, A, O, I, B cùng thuộc 1 đường tròn
c) Gọi H là giao điểm AB và MO C/m: CHOD nội tiếp, suy ra AB là phân giác C ^ M D
d) Gọi K là giao điểm các tiếp tuyến tại C, D của (O) C/m: A, B, K thẳng hàng
7) Cho điểm M nằm ngoài (O; R), vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O và 2 tiếp tuyến MA, MB
a) MA2 = MC.MD
b) Phân giác C ^ A Dcắt CD tại E C/m: MA = ME
c) Gọi H là trung điểm CD C/m: HM là phân giác của B ^ H A và BH là phân giác C ^ B D
d) Gọi I là giao điểm của CD và AB C/m: Tứ giác OKCD nội tiếp và MI2 = 1
MC+
1 MD 8) Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường cao AH vuông góc BC, vẽ (A; AH), vẽ các tiếp tuyến BD và CE với (A)
a) C/m: BD + CE = BC và BD.CE=AH2
b) C/m: B ^ A D=B ^ A Hvà suy ra D đối xứng với E qua A C/m: EC//BD rồi suy ra DE là tiếp tuyến của (O) đường kính BC
c) Gọi M, N, K lần lượt là giao điểm các cặp đường thẳng AB và HD, AC và HE, BE và CD C/m: Tứ giác BMNC nội tiếp và KH//AO
d) C/m: M, N, K thẳng hàng
9) Cho (O; R) và điểm A sao cho OA = 3R Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC đến (O), vẽ dây
BD//AC; AD cắt (O) tại E
a) C/m: Tứ giác OBAC nội tiếp và AB2 = AD.AE
b) C/m: BC.EC = AC.BE và BE.DC = BD.EC
c) Gọi F là trung điểm AC C/m: B, E, F thẳng hàng
d) Tính SBCD theo R
10) Từ M ngoài (O; R) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB của (O), vẽ dây AD//MB và MD cắt (O) tại
K Tia AK cắt MB tại I và OM cắt AB tại H
a) C/m: Tứ giác MAOB nội tiếp OM vuông góc AB
b) C/m: MH.MO = MK.MD
c) C/m: I là trung điểm MB
d) C/m: đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn (MKB)
11) Từ điểm M ngoài (O; R) sao cho OM=2R, vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O) và cát tuyến MCD Vẽ dây AE//CD
a) C/m: MA2=MC.MD
b) Gọi I là trung điểm CD C/m: M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn
c) C/m: B, I, E thẳng hàng
d) Tính S ngoài đường tròn (O) theo R
12) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R) (AB<AC) Gọi H là giao điểm các đường cao
AD, BE, CF của tam giác ABC
a) Các tứ giác AEHF, BCEF nội tiếp Xác định tâm I và K
b) C/m: H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF
Trang 3c) Tính IK theo R.
d) C/m: Nếu có tanB.tanC=3 thì OH//BC
e) Các tia BE và CF cắt (O) tại M, N Lấy S trên cung BC nhỏ, SN cắt AB tại P, SM cắt AC tại
Q C/m: B, H, Q thẳng hàng
13) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O; R) Ba đường cao AD, BM, CN cắt nhau tại H
a) C/m: Tứ giác BCNM nội tiếp và AB.AM=AC.AN
b) C/m: AO vuông góc MN và H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MND
c) MN cắt BC tại E và AE cắt (O) tại I C/m: ANMI nội tiếp
d) Cho biết S Δ ABC=3 SΔ BHC C/m: tanB + tanC = 2tanA
e) C/m: OE vuông góc AT (T là trung điểm BC)
14) Từ điểm M ngoài (O; R) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O)
a) C/m: Tứ giác MAOB nội tiếp
b) Gọi K là trung điểm AB C/m: MO là trung trực AB và 3 điểm M, K, O thẳng hàng
c) Trên tia đối của tia BA lấy điểm I Từ M vẽ tia MH vuông góc OI tại H, MH cắt AB tại N C/m: 4 điểm A, H, O, B cùng thuộc một đường tròn và IA.IB = IH.IO
d) C/m: IA.IB = IK.IN
e) Tính KN, KI theo R nếu OM=3R
15) Cho điểm A nằm ngoài (O; R) Từ A vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC Gọi M là giao điểm OA và BC
a) Tính OH.OA theo R
b) Kẻ cát tuyến ADE với (O) C/m: OHDE nội tiếp
c) Qua D kẻ đường thẳng d//BE cắt AB, BC tại M, N C/m: D là trung điểm MN
d) Tiếp tuyến tại E của (O) cắt BC tại S C/m: OS vuông góc DE
16) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) nội tiếp (O; R) Các đường AD, CF cắt nhau tại H
a) C/m: Tứ giác CEFB, FHEA nội tiếp
b) C/m: HE.HB = HF.HC và AE.AC = AF.AB
c) EF cắt (O) tại I, K (E giữa I, F) Từ I, K vẽ 2 tiếp tuyến với đường tròn chúng cắt nhau tại S C/m: O, A, S thẳng hàng
d) Cho B ^ A C=60 ∘ Tính SFAEO theo R
17) Cho (O; R) có dây BC cố định, điểm A thuộc cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn,
AD là đường cao tam giác ABC, gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC
a) C/m: APDQ nội tiếp
b) C/m: AP.AB = AQ.AC, suy ra tứ giác BPQC nội tiếp
c) Cho BC=R√3 Tính B ^ A C
d) Đường tròn (A; AD) cắt (O) tại MN C/m: AO vuông góc với PQ và 4 điểm M, P, Q, N thẳng hàng
e) Tìm vị trí của điểm A trên cung lớn BC để AB + AC đạt giá trị lớn nhất
18) Cho M nằm ngoài (O; R) Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O) Từ A vẽ dây AD//MB,
MD cắt (O) tại C Các tia AC, BC cắt MB, MA lần lượt tại K, I
a) C/m: MO vuông góc AB
b) C/m: MB2 = MD.MC
c) C/m: CI là phân giác của góc MCA
Trang 4d) C/m: K là trung điểm MB.
e) Cho OM = 3R Tính diện tích tam giác ABD
19) Cho tam giác ABC nhọn (O; R) có các đường cao BD, CE
a) C/m: BDCE nội tiếp Xác định tâm I đường tròn này
b) C/m: OA vuông góc với DE
c) Cho ^A=60 ∘ C/m: S Δ ADE= 1
4S Δ ABC d) Xác định vị trí của điểm A trên cung lớn BC sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị đó theo R
20) Cho điểm M nằm ngoài (O; R) Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD
a) C/m: OM vuông góc AB tại H
b) C/m: MB2 = MC.MD
c) C/m: Tứ giác OHCD nội tiếp
d) C/m: Tiếp tuyến tại C, D của (O) và đường thẳng AB đồng qui
e) Xác định vị trí cát tuyến MCD để MC + MD đạt giá trị lớn nhất
21) Cho đường tròn (O; R), từ điểm M ngoài (O) sao cho OM = 2R Kẻ 2 tiếp tuyến MA,
MB, cát tuyến MCD đến (O) (C giữa MD) Kẻ tia phân giác của góc CAD cắt CD tại E, cắt (O) tại N
a) C/m: Tứ giác OAMB nội tiếp Tính diện tích tứ giác này theo R
b) C/m: MA = ME
c) C/m: BE là phân giác của góc DBC
d) C/m: CD2 = 1
MD+
1 FD 22) Cho nửa (O), đường kính AB = 2R và C thuộc (O) (AB<AC) Kẻ CH vuông góc AB tại
H Đường tròn (K), đường kính CH cắt AC, BC lần lượt tại D, E và cắt (O) tại F
a) C/m: CH = DE
b) C/m: CA.CD = CB.CE và tứ giác ABED nội tiếp
c) CF cắt AB tại Q C/m: QK vuông góc OC
d) Tính khoảng cách từ (O) đến DE theo R biết AC=R√3
23) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a) C/m: Tứ giác BFEC nội tiếp Xác định tâm O của đường tròn này và c/m: AB.AF = AC.AE b) Tia ED cắt (O) tại K C/m: FK//AD
c) Tiếp tuyến tại F của (O) cắt AH tại S C/m: S là trung điểm AH và SE là tiếp tuyến của (O) d) Kẻ tiếp tuyến AM của (O) Gọi I là tâm (MHD) C/m: M I, O thẳng hàng
24) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R) Ba đường cao AD, BM, CE giao nhau tại H AH cắt (O) tại I
a) C/m: B ^ M D=B ^ C I
b) C/m: H và I đối xứng với nhau qua BC
c) C/m: OA vuông góc EM
d) Giả sử K và Q lần lượt là điểm đối xứng với I qua AB, AC C/m: K, H, Q thẳng hàng
25) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O; R) Từ điểm M bất kì trên cung nhỏ BC kẻ
MI vuông góc BC, MF vuông góc AB, ME vuông góc AC
a) C/m: tứ giác BFMI và IMCE nôi tiếp
b) C/m: F, I, E thẳng hàng và MB.ME = MF.MC
Trang 5c) Gọi N là điểm đối xứng với M qua AB, K là điểm đối xứng với M qua AC C/m: NK luôn qua 1 điểm cố định
d) Tìm vị trí điểm M thuộc cung nhỏ BC để S Δ ANK lớn nhất
26) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R), kẻ đường cao AH; gọi D, E là chân đường vuông góc từ H đến AB, AC
a) C/m: Tứ giác BDEC nội tiếp
b) Vẽ đường kính AK của (O) C/m: Δ HBA ~ ΔCKAvà AB.CK + AC.BK = BC.2R
c) Giả sử AH=R√2 C/m: S Δ ABC=2 SΔ ADE
d) Vẽ đường tròn (A; AH) cắt (O) tại M, N C/m: 4 điểm M, D, E, N thẳng hàng
27) Cho (O) dây AB không qua tâm Vẽ đường kính CD vuông góc với AB tại K (D thuộc cung nhỏ AB) Trên cung nhỏ BC lấy điểm N, 2 đường thẳng DN và KB cắt nhau tại F, CN và AB kéo dài cắt nhau tại E
a) C/m: Tứ giác KFNC nội tiếp
b) C/m: AD2 = DF.DN
c) Tiếp tuyến tại N của (O) cắt KE tại I C/m: IE = IF
d) C/m: BEBF= KE
KA 28) Cho điểm A ngoài (O; R) sao cho OA = 2R Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC đến (O) M di động trên cung nhỏ BC Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt AB, AC tại E, F
a) C/m: Tứ giác OMCF và ABOC nội tiếp
b) Tính chu vi tam giác AEF theo R
c) Gọi H là hình chiếu của F trên OE, K là hình chiếu của E trên OF C/m: S Δ OEF=4 S Δ OHK
d) C/m: 4 điểm B, H, K, C thẳng hàng
29) Cho (O), 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên cung nhỏ BC lấy điểm M
MA cắt CD tại E MD cắt AB tại N Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB tại I
a) C/m: Tứ giác OEMB nội tiếp và IM2 = IA.IB
b) C/m: IM = IN
c) Phân giác của góc MOB cắt MD tại S Tính số đo góc OSB
d) Biết AD=4√3 cm, MN = 2cm Tính DM.
30) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) M thuộc cung nhỏ BC Vẽ MD, ME , MF lần lượt vuông góc với AB, BC, AC tại D, E, F
a) C/m: các tứ giác MEFC và MDAF nội tiếp
b) C/m: MB.MF = MD.MC và 3 điểm D, E, F thẳng hàng
c) Gọi I là trung điểm AB và K là trung điểm EF C/m: MK vuông góc KI
d) C/m: BCME= AB
MD+
AC MF e) Xác định M trên cung nhỏ BC để DF đạt giá trị lớn nhất
31) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC tại F, E
BE cắt CF tại H, AH cắt BC tại D
a) C/m: AD vuông góc BC
b) C/m: DA là phân giác của góc FDE
c) Gọi K là giao điểm của EF và AD, I là trung điểm AH C/m: IK.ID = IE2
d) C/m: K là trực tâm của tam giác IBC
Trang 632) Từ điểm A ngoài (O; R), vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AEF đến (O).
a) C/m: AO vuông góc BC tại D
b) C/m: AB2 = AE.AF
c) C/m: Tứ giác ODEF nội tiếp
d) Gọi I, V lần lượt trung điểm AB, AC C/m: tiếp tuyến của (O) tại E và trung trực của AE cắt nhau tại H C/m: 3 điểm H, I, V thẳng hàng
33) Qua điểm A ngoài (O; R) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến (O) (AE cắt OB)
a) C/m: AD2 = AE.AB
b) Gọi H là giao điểm OA và BC C/m: Tứ giác DEOH nội tiếp
c) C/m: HB là tia phân giác của góc EHD
d) Trên đoạn BC lấy điểm P sao cho PD//BE, AP cắt BE tại V C/m: E là trung điểm VB
34) Cho (O; R), dây AB<2R Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M Gọi I là trung điểm MA,
BI cắt (O) tại K, OM cắt AB tại H, KH cắt (O) tại F
a) C/m: MO là phân giác của góc KMF
b) MK cắt (O) tại C C/m: tam giác ABC cân
c) C/m: FC//AB
d) Giả sử 1
OB2+
1
BM2=
1
64 Tính AB
e) Gọi J là giao điểm OM và cung nhỏ AB C/m: KJ là phân giác của góc HKM
35) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O) Các đường cao AD, BD, CF cắt nhau tại
H Gọi M là trung điểm BC, đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) tại 2 điểm A, N
Đường thẳng AM cắt (I) tại 2 điểm A, K
a) C/m: AE.AC = AF.AB
b) C/m: 3 điểm H, N, M thẳng hàng
c) C/m: N ^ D E=F ^ D K
d) C/m: Tứ giác BHCK nội tiếp
36) Cho (O) đường kính AB, trên tiếp tuyến tại A lấy điểm C Từ C vẽ cát tuyến CDE đến (O) BD cắt OC tại M AM cắt đường tròn (O) tại F
a) Vẽ dây AN vuông góc OC C/m: Tứ giác CAON nội tiếp
b) C/m: CD.CE = OC2 – OA2
c) C/m: Tứ giác CNMD nội tiếp
d) C/m: 3 điểm E, O ,F thẳng hàng
37) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R) có ^A=60 ∘và AB<AC Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H
a) C/m: A ^F E=A ^ C B và 2EF = BC
b) Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC C/m: đường tròn ngoại tiếp tứ giác BHOC có tâm D c) Gọi I là giao điểm đoạn AD với (D, DB) C/m: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và
IH = IO
d) C/m: OI2 = R2 –2Rr (r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)