CỦNG CỐ HÌNH HỌC 8 TẬP 1

a Chứng minh trong một tứ giác có hai đường chéo vuông góc, tổng bình phương của hai cạnh đối này bằng tổng các bình phương của hai cạnh đối kia.. Cho hình thang cân ABCD AB//CD có đường

PHẦN B HÌNH HỌC CHUYÊN ĐỀ I TỨ GIÁC CHỦ ĐỀ 1 TỨ GIÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

* Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA; trong đó bất kỳ

hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng.

* Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng

chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác.

* Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.

a) Tứ giác lồi b) Tứ giác không lồi

a) Tứ giác không lồi b) Không phải tứ giác

* Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600.

* Mở rộng: Tổng bốn góc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 3600.

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Tính số đo góc

Phương pháp giải: Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác Kết hợp các

kiến thức đã học về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, toán tổng hiệu để tính ra số đo các góc.

a) Tính các góc của tứ giác ABCD.

b) Các tia phân giác của µC và µD cắt nhau tại E Các đường phân giác của góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau tại F Tính CE · D và CF · D.

µ 2 µ

C = D

Dạng 2 Tìm mối liên hệ giữa các cạnh, đường chéo của tứ giác

Phương pháp giải: Có thể chia tứ giác thành các tam giác để sử dụng bất đẳng thức

tam giác.

2A Cho tứ giác ABCD Chứng minh:

a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;

b) Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

2B Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác Chứng minh:

a) MA + MB + MC + M D ≥ A B + CD;

b) MA + MB + MC + MD ≥ 1

2 (AB + BC + CD + DA).

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

3 Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giác ABCD trong trường hợp

này là tứ giác có hình cánh diêu).

a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.

b) Tính µ µ B D , biết µA = 100°, µC = 60°.

1150 Tính các góc µ µ A B ,

5 a) Chứng minh trong một tứ giác có hai đường chéo vuông góc, tổng bình

phương của hai cạnh đối này bằng tổng các bình phương của hai cạnh đối kia.

b) Tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD Biết AD = 5cm, AB = 2 cm, BC = 10

cm Tính độ dài CD.

a) ∆DAB = ∆CBA, từ đó suy ra BD = AC;

b) · A C BC D = · D;

c) AB // CD.

µF cắt nhau tại I Chứng minh

a) · · · D

; 2

Chú ý hai phân giác trong và ngoài tại mỗi góc

của một tam giác thì vuông góc nhau, cùng với

tổng bốn góc trong tứ giác, ta tính được · 0

2A a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một

tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác

OAB, OBC,OCD và ODA.

b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa

chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).

Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi

tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một

tam giác thì lớn hơn cạnh còn lại cho các tam giác

ABC, ADC, ABD và CBD.

2B a) HS tự chứng minh

b) Tương tự 2A a)

3 a) HS tự chứng minh

b) Sử dụng tổng bốn góc trong tứ giác và chú ý

µ µ

B D =

4 Tính tổng C D µ + µ

5 a) Sử dụng Pytago

b) Áp dụng a)

6 a) HS tự chứng minh

b) HS tự chứng minh

c) Sử dụng a), b) và tổng bốn góc trong tứ giác

7) a) Gọi IF ∩ CD = { } N

Theo định lý về góc ngoài của tam giác

NIE

2

E FIE FNE = + ;

DNF

2

E FNE D = + ;

Vậy · µ µ µ (1)

2

E F FIF = + D + .

∆ ADE có

1

180 ( );

E = − D A +

DFC

1

180 ( );

F = − D C +

1 1

1 1 1 (2 1 1) 1 ;

= + + + − + + = −

Thay vào (1) được · µ µ1 µ µ µ1

b) Áp dụng a).

CHỦ ĐỀ 2 HÌNH THANG

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

* Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hình thang ABCD (AB // CD):

AB: đáy nhỏ CD: đáy lớn

AD, BC: cạnh bên.

* Nhận xét:

- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau.

- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.

Hình thang ABCD (AB // CD):

AD//BC ⇒ AD = BC; AB = CD

AB = CD ⇒ AD // BC; AD = BC.

* Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Tính số đo góc

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn góc

của một tứ giác Kết hợp các kiến thức đã học và tính chất dãy tỉ số bằng nhau, toán tổng hiệu … để tính ra số đo các góc.

Dạng 2 Chứng minh hình thang, hình thang vuông

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang vuông.

là hình thang và chỉ rõ cạnh đáy và cạnh bên của hình thang.

2B Cho tam giác ABC vuông cân tại A Vẽ về phái ngoài tam giác ACD vuông cân

Dạng 3 Chứng minh mối liên hệ giữa các cạnh, tính diện tích của hình thang, hình thang vuông

nhau ở I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt ở E và F.

a) Tìm các hình thang.

b) Chứng minh rằng tam giác BEI cân ở E và tam giác IFC cân ở F.

c) Chứng minh EF = BE + CF.

BH vuông góc với CD tại H.

a) Chứng minh ∆ABD = ∆HDB.

b) Chứng minh tam giác BHC vuông cân tại H.

c) Tính diện tích hình thang ABCD.

đường cao AH của hình thang và tính diện tích hình thang.

6 Cho hình thang ABCD (AB//CD ) có CD = AD + BC Gọi K là điểm thuộc đáy CD

sao cho KD = AD Chứng minh rằng:

a) AK là tia phân giác cùa µA ;

b) KC = BC;

c) BK là tia phân giác của µB

7 Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = 4 cm Vẽ về phía ngoài tam giác ACD

vuông cân tại D Tính diện tích tứ giác ABCD.

2A Chú ý tam giác CBD cân tại C Khi đó cùng với DB là phân giác góc S ta chứng

minh được · ADB CBD = ·

2B.HS tự chứng minh tứ giác ABCD là hình thang vuông.

3A.a) HS tự tìm

b) Sử dụng các cặp góc so le trong của hai đường thẳng song song và tính chất tia phân giác.

c) Suy ra từ b)

3B HS tự chứng minh.

45 , 135 , 115 , 65

135 , 90 , 90 , 45

A = B = C = D = , từ đó suy ra ABCD là hình thang vuông ⇒ BC ⊥ DC Vận dụng nhận xét hình thang ABCH

(AB//CH) có hai cạnh bên song song thì hai cạnh đáy bằng nhau, để tính được CH = 3cm, từ đó suy ra DH = 1cm.

Chứng minh được ∆ AHD vuông cân tại H ⇒ AH = 1cm

⇒ diện tích hình thang ABCD là 3,5cm2

6 a) Sử dụng các cặp góc so le trong và tính chất tam giác cân.

b) HS tự chứng minh.

c) Tương tự a).

7 Tương tự 2B Ta chứng minh được ABCD là hình thang vuông Từ đó tính được

diện tích ABCD là:

2

ABCD ABC ACD

S = s + s = AC AB + CA DH = + = cm

(Với DH là đường cao tam giác ACD)

CHỦ ĐỀ 3 HÌNH THANG CÂN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Khái niệm

Hình thang cân là hình thang có

hai góc kề một đáy bằng nhau.

3 Dấu hiệu nhận biết

- Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.

- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau không phải luôn là hình thang cân.

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Tính số đo góc, độ dài cạnh và diện tích hình thang cân

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hình thang cân về cạnh góc, đường chéo và

công thức tính diện tích hình thang để tính toán.

2A Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AH và BK là hai đường cao của hình

cm Tính độ dài đáy CD và diện tích hình thang cân ABCD.

Dạng 2 Chứng minh hình thang cân

Phương pháp giải: Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân

3A Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam

giác Chứng minh BCDE là hình thang cân.

3B Cho tam giác ABC cân tại A có BH và CK là hai đường cao của tam giác.

Chứng minh BCHK là hình thang cân.

Dạng 3 Chứng minh các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau trong hình thang cân 4A Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD ) Gọi O là giao điểm của AD

và BC; Gọi E là giao điểm của AC và BD Chứng minh:

a) Tam giác AOB cân tại O;

b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau;

c) EC = ED;

d) OE là trung trực chung của AB và CD.

A B

4B Cho tam giác ABC cân tại A và điểm M tùy ý nằm trong tam giác Kẻ tia Mx

song song vói BC cắt AB ở D, tia My song song với AC cắt BC ỏ E Chứng minh

5 Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên BC Chứng minh CA là tia

phân giác của BCD · .

6 Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có E và F lần lượt là trung điểm hai đáy AB

và CD Chứng minh EF vuông góc với AB.

7 Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Chứng minh chiều cao của hình thang cân bằng nửa tổng độ dài hai cạnh đáy.

8 Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên

BC và đồng thời DB là tia phân giác của · ADC

a) Tính các góc của hình thang cân ABCD.

b) Biết BC = 6 cm, tính chu vi và diện tích của hình thang cân ABCD.

HƯỚNG DẪN 1A Ta có µ A D + = µ 1800 và µ A = 2 C µ = 2 D µ

Suy ra CK = BH & AK = AH.

Từ đó · 1800 · · / /

2 KAH AKH = − = ABC hay KH BC 4A a) OAB OBA · = · suy ra ∆ OAB cân tại O b) HS tự chứng minh c) · ADB BCA = · , suy ra EDC ECD · = · hay ∆ ECD cân tại E d) ta có: OA = OB, EA = EB, suy ra OE là đường trung trực của đoạn AB Tương tự có OE cũng là đường trung trực của đoạn CD Vậy OE là đường trung trực chung của AB và CD 4B Do MD BC / / ⇒ · DME MEB + · = 1800 Suy ra DME · = 1800− MEB · · µ 0 0 180 90 2 A ACB = − = + 5 Chứng minh: · ACB CAB DCA = · = · Suy ra CA là tia phân giác của ·BCD 6 Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: OE ⊥ AB Tương tự, có OF ⊥ CD Suy ra OF ⊥ AB Vậy EF ⊥ AB 7 Xét hình thang ABCD có các đường cao AH và BK Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD ở E ⇒ AB = ED Chứng minh · ACH = 450 Do ∆ EAC vuông cân ở A nên 2 AB CD AH CH = = EH = + a) ∆ DBC vuông có BCD · = 2 · BDC nên · · 0

60 ADC BCD = = và · · 0

120 DAB CBA = = b) Tính được DC = 2.BC = 12cm, suy ra PABCD = 30cm Hạ đường cao BK, ta có BK = 3 3cm Vậy SABCD = 27 3cm2

CHỦ ĐỀ 4 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đường trung bình của tam giác

* Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh

của tam giác.

* Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với

cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

* Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng

nửa cạnh ấy.

2 Đường trung bình của hình thang

* Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai

cạnh bên của hình thang.

* Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song

song vói hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

* Định lí 4: Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa

tổng hai đáy.

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bìn của tam giác để chứng minh

Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định lí 1, Định lí 2 để suy ra điều cân chứng minh.

1A Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC Kẻ tií Mx song song

với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F Chứng minh:

a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;

b) AM là đường trung trực của EF.

1B Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC Trên cạnh AB lấy điểm D

và E sao cho AD = DE = EB Đoạn CD cắt AM tại I Chứng minh:

a) EM song song vói DC;

b) I là trung điểm của AM;

2B Cho hình thang ABCD (AB//CD) Các đường phân giác ngoài của µA và µD cắt

nhau tại E, các đường phân giác ngoài của µB và µC cắt nhau tại F Chứng minh:

a) EF song song với AB và CD;

b) EF có độ dài bằng nửa chu vi hình thang ABCD.

Dạng 3 Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang đê chứng minh

Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định nghĩa đường trung bình của hình thang và các Định lí : 1, 2, 3, 4 để suy ra điều cần

3B Cho hình thang ABCD (AB//CD) với AB = a, BC = b, CD = c và DA = d Các

tia phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại E, các tia phân giác của µB và µC cắt

nhau tại F Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC.

a) Chứng minh M, E, N, F cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Tính độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d.

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

4 Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Từ H kẻ tia Hx vuông góc với

AB tại P và tia Hy vuông góc vói AC tại Q Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điếm

D và E sao cho PH = PD, QH = QE Chứng minh:

a) A là trung điểm của DE;

6 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.

a) Chứng minh EK song song với CD, FK song song với AB.

7 Cho tứ giác ABCD Có G là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của hai

đường chéo AC và BD Gọi m là một đường thẳng không cắt cạnh nào của hình thang ABCD; Gọi A', B', C’, D’, G' lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, G lên đường thẳng m Chứng minh GG' = 1

2 (AA'+BB'+CC'+DD’).

HƯỚNG DẪN

1a a) Mx đi qua trung điểm M của BC và song

song với AC Suy ra Mx đi qua trung điểm E của

AB (theo Định lí 1).

Tương tự, ta được F cũng là trung điểm của AC.

Khi đó EF trở thành đường trung bình của tam

giác ABC;

b) Do ME và MF cũng là đường trung bình nên

có ME = MF = AE = AF Suy ra AM là đường

trung trực của EF.

1B a) Ta có EM là đường trung bình của tam giác

BCD ⇒ ĐPCM.

b) DC đi qua trung điểm D của AE và song song

với EM ⇒ DC đi qua trung điểm I của AM.

c) Vì DI là đường trung bình của tam giác AEM

Khi đó EF vừa trung tuyến, vừa là đường cao của

tam giác AFD ⇒ ĐPCM.

b) Tam giác AFD cân tại F nên · EAF = EDF ·

· · 900

ADE DAE

⇒ + = , tức là tam giác ADE vuông tại E.

Khi đó, tam giác ADM cân tại D (do có DE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao) và E là trung điểm của AM.

Chứng minh tương tự, ta được F olaf trung điểm của BN.

Từ khó, suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABNM và ta được ĐPCM b) Từ ý a), EF 1 ( )

2 AB BC CD DA

Lưu ý: Có thể sử dụng tính chất đường phân giác để chứng minh.

3A a) Ta có MN là đường trung bình của tam

giác ABD

/ /

MN AB

⇒

Tương tự, ta được MP//CD và MQ//AB, CD.

Như vậy, MN, MP, MQ cùng song song AB ⇒

Vì MF là đường trung bình của hình thang ABQD.

trung điểm DE.

b) PQ là đường trung bình của tam giác DHE

5 a) Theo định lý 1, trong tam giác BDC có:

M là trung điểm của BC, ME//BD ⇒ E là trung

Vậy SAIB= SIBM.

c) Hạ hai đường cao AH và IK của tam giác ABC và IBC

Chứng minh được IK là đường trung bình của tam giác AHM ⇒ IK = 1

thời song song với AB và CD Tức là tứ giác

ABCD là hình thang (AB//CD)

Theo định lý 4, 1 ( ).

2

EF = AB CD +

7 Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD; E' và F' lần lượt là hình chiếu

của E, F trên đường thẳng m.

Khi đó, GG' là đường trung bình của hình thang EE'F'F

1 ' EE' +FF').

CHỦ ĐỀ 5 ĐỐI XỨNG TRỤC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng: Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thảng nối hai điểm ấy.

A đối xứng với A' qua d

⇔ d là trung trực của AA'

Khi đó ta còn nói:

A' đối xứng với A qua d

Hoặc

A và A' đối xứng nhau qua d.

* Quy ước Một điểm nằm trên trục đối xứng thì điểm đối xứng với nó qua trục đối

xứng là chính nó.

* Hai hình đối xứng qua một đường thẳng: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.

* Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường

thắng thì bằng nhau.

* Hình có trục đối xứng: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xúng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H

* Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối

xứng của hình thang cân đó.

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xúng hoặc hai hình đối xứng

với nhau qua một đường thẳng.

1A Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH Lấy các đi K theo thứ tự trên

AB, AC sao cho AI = AK Chứng minh hai điếm I, K đối xứng với nhau qua AH.

1B Cho tam giác cân ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC Chứng minh rằng

cạnh AB đối xứng vói AC qua AM.

Dạng 2 Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán

Phương pháp giải: Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng (góc, giác) đối xứng vói nhau

qua một đường thẳng thì bằng nhau.

điếm đối xứng với M qua AB và AC Chứng minh: A là trung điểm của EF.

2B Cho đường thẳng d và hai điểm A, B (như hình vẽ) Tìm vị điểm C trên d để chu

vi tam giác ABC nhỏ nhất.

6 Cho tam giác nhọn ABC Lấy M bất kì trên cạnh BC Gọi E, F lần lượt là các

điểm đối xứng vói M qua AB và AC Gọi I, K là giao điểm của EF với AB và AC.

a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của ·IMK

b) Khi M cố định, tìm vị trí điểm P ∈ AB và Q ∈ AC để chu vi tam giác MPQ

đạt giá trị nhỏ nhất.

HƯỚNG DẪN

1A Sử dụng tính chất của tam giác cân chỉ ra được AH là

phân giác của góc ·IAK Tiếp tục chỉ ra được AH là đường

trung trực của IK Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

1B Chứng minh được B đối xứng với C qua AM, A đối

xứng với chính A qua AM Từ đó suy ra điều phải chứng

minh.

2A Sử dụng tính chất đối xứng trục ⇒ AE = AF (=AM) (1).

Sử dụng tính chất của tam giác cân ⇒ ¶ A1= A A ¶ µ2; 3 = ¶ A4 Từ

đó chỉ ra được EAF · = 1800 ⇒ A E F , , thằng hàng (2).

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

2B Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d ⇒ A' cố định.

Vì C ∈ d ⇒ CA = CA' (tính chất đối xứng trục) Ta có:

P∆ABC = AB + AC + BC

= AB + (CA' + CB) ≥ AB + BA' (không đổi Dấu "=" xảy ra

tức là chu vi tam giác nhỏ nhất khi C là giao điểm của d và

BA'.

3 a) Đoạn thẳng đối xứng với AB, AC qua đường thẳng d

lần lượt là KC, KB

b) ta có AK//BC (vì cùng vuông góc với d) và AC = KB

(tính chất đối xứng trục) ⇒ tứ giác AKCB là hình thang

cân.

4 a) Chứng minh được ∆ BHC = ∆ BMC (c.c.c).

b) Gọi {C'} = CH ∩ AB Sử dụng định lý tổng 4 góc trong

tứ giác AB'HC' ta tính được B HC · ' ' 120 = 0

Ta có · B HC ' ' = BHC · (đối đỉnh) và

BCH = BMC do BHC V = V BMC ⇒ BMC =

5 Trên tia đối của tia CB lấy điểm A' sao cho CA' = CA.

Sử dụng tính chất của tam giác cân ta có được CM là đường

trung trực của AA' ⇒ MA = MA' Sử dụng bất đẳng thức

trong tam giác A'MB ta có: CA + CB = CA' + CB = BA'

<MA' + MB ⇒ CA + CB < MA + MB.

6 a) Sử dụng tính chất đối xứng trục kết hợp với chứng

minh tam giác bằng nhau ta có được µ E1 = M ¶ 1 và F µ1= M ¶ 2, mà

µ µ

1 1

E = F (Tính chất tam giác cân)

1 2

b) Sử dụng tính chất đối xứng trục ta có PM = PE; QM =

QF Theo bất đẳng thức trong tam giacs MPQ, ta có:

P∆MPQ = MP + PQ + QM= (PE + PQ) + QF ≥ EQ + QF ≥

EF.

Do M cố định, tam giác ABC cố định ⇒ E, F, I, K cố định.

Vậy (P∆MPQ)min = EF ⇔ P ≡ I, Q ≡ K.

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

* Dấu hiệu nhận biết:

- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

1B Cho hình bình hành ABCD Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và

CD Gọi M v à N lần lượt là giao điểm của AI và CK với BD Chứng minh:

2A Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở

H và ở K Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

2B Cho hình bình hành ABCD Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Qua

điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F Qua O vẽ

đưòng thẳng b cắt hai cạnh AB, CD lần lượt tại K, H Chứng minh tứ giác EKFH là

hình bình hành.

Dạng 3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành.

3A Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác Gọi D, E, F

lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC Chứng minh rằng các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng quy.

3B Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo Trên AB lấy điểm

K, trên CD lấy điểm I sao cho AK = CI Chứng minh ba điểm K, O, I thẳng hàng.

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

4 Cho hình bình hành ABCD (AB > BC) Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia

phân giác của góc B cắt CD ở F.

a) Chứng minh DE//BE.

b) Tứ giác DEBF là hình gì?

5 Cho tam giác ABC Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với

BC cắt AB tại F và đường thăng song song vói AB cắt BC tại D Giả sử AE = BF,

chứng minh:

a) Tam giác AED cân;

b) AD là phân giác của góc A.

6 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,

CD, DA và I, K là trung điểm các đường chéo AC, BD Chứng minh:

a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.

b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.

7 Cho tam giác ABC và H là trực tâm Các đường thẳng vuông góc với AB tại B,

vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D.

a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.

b) Tính số đo góc ·BDC , biết ·BAC = 60°.

8 Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Từ C vẽ CE vuông góc với AB Nối E

với trung điểm M của AD Từ M vẽ MF vuông góc với CE cắt BC tại N.

a) Tứ giác MNCD là hình gì?

b) Tam giác EMC là tam giác gì?

c) Chứng minh · BAD = 2 · AEM

của đường trung bình), từ đó suy ra ĐPCM.

2A Ta chứng minh AH//CK, AH = CK ( ∆ AHD = ∆ CKB)

⇒ AHCK là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và

2 OB ⇒ DENL là hình bình hành Tương tự chứng minh

LMEF là hình bình hành Từ đó suy ra EL,FM, DN đồng

quy tại I.

3B Chứng minh được AKCI là hình bình hành ⇒ ĐPCM.

4.a) Ta có · AED EDC = · và · ABF = · EDC ⇒ DE BF / / (có góc ở

vị trí đồng vị bằng nhau).

b) Từ câu a) suy ra DEBF là hình bình hành.

5.a) Chứng minh BDEF là hình bình hành ⇒ ED= BF = AE

⇒ ∆ AED cân ở E.

b) Ta có BAD DAC · = · (vì cùng bằng ·ADE ) ⇒ AD là phân

giác Â.

6 Tương tự bài 3A.

7 a) Vì BHCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình

b) Chứng minh được F trung điểm CE ⇒ ∆ EMC cân tại M.

c) Chứng minh được · AEM = FME FMC CMD DCM · = · = · = · = MCB ·

mà AE//MF nên BAD FMD · = · = 2 CMD · = 2 · AEM

CHỦ ĐỀ 7 ĐỐI XỨNG TÂM

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Hai điểm đối xứng qua một điểm: Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua

điểm o nếu o là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

A đối xứng với A' qua O

⇔ O là trung điểm của AA’.

Khi đó ta còn nói:

A' đối xứng với A qua O hoặc A và A’ đối xứng nhau qua O.

* Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O chính là điểm O.

* Hai hình đối xứng qua một điểm: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O

nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng vói một điểm thuộc hình kia qua điểm

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một điểm

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xứng hoặc hai hình đối xứng

với nhau qua một điểm.

1A Cho tam giác ABC Gọi các điểm D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.

Lấy P đối xứng vói B qua tâm E và Q đối xứng với qua tâm D Chứng minh rằng hai điểm P, Q đối xứng với nhau qua tâm A.

1B Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,

BC, CD, DA Gọi E là điểm bất kì nằm ngoài tứ giác, E là điểm đối xứng với E qua

M, G là điểm đối xứng với E qua Q, H là điểm đối xứng với G qua P Chứng minh rằng E là điểm đối xứng với H qua điểm N.

Dạng 2 Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán

Phương pháp giải: Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng vói

nhau qua một đuờng thẳng thì bằng nhau

2A Cho tam giác ABC Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB và AC.

Một điểm M bất kì thuộc cạnh BC, có điểm đối xứng vói M qua điểm F là Q và điểm đối xứng của M qua điểm F là Q Chứng minh:

a) A thuộc đường thẳng PQ;

b) BCQP là hình bình hành.

2B Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AD lấy điểm E và trên cạnh CB lấy điểm

E sao cho AE = CF Chứng minh rằng hai điểm E, F đối xứng với nhau qua giao điểm của các đường chéo AC, BD.

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

3 Cho tam giác ABC điểm D thuộc cạnh BC Từ D kẻ đường thẳng song song với

cạnh AB, cắt cạnh AC tại E và đường thẳng qua D song song với AC cắt AB tai F Chứng minh hai điểm E và F đối xứng với nhau qua trung điểm I của đoạn thẳng AD.

4 Cho hình bình hành ABCD Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Một đường

thẳng đi qua O cắt các cạnh AD, BC ở E và F Chứng minh E và F đối xứng với nhau

qua O.

5 Cho góc xOy Điểm A nằm trong góc đó Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm

C đối xứng với A qua Oy Tính số đo góc xOy để B đối xứng với C qua O.

6 Cho tam giác ABC Vẽ điểm D đối xứng với B qua A, vẽ điểm E đối xứng với C qua

A Gọi M là điểm nằm giữa B và C Tia MA cắt DE tại N Chứng minh MC = NE.

Vậy E đối xứng với H qua N.

2A a) Tương tự 1A Ta chứng minh được A thuộc đường

2B Ta có AEFC là hình bình hành (AE//FC; AE= CF) ⇒

đường EF cắt AC tại trung điểm O của AC ⇒ nên E,O, F

thẳng hàng và O cũng là trung điểm của EF (ĐPCM).

3 Ta chứng minh được AEDF là hình bình hành ⇒ AD ∩

È = I I là trung điểm của AD và EF Suy ra E đối xứng với

F qua I.

4 Do E,O, F thẳng hàng mà B, O,D cũng thẳng hàng nên

EOD FOB =

(2 góc đổi đỉnh) ⇒ ∆ DOE = ∆ BOF (g-c-g) ⇒ OE = OF.

Vậy E đối xứng với F qua O.

5 Để B đối xứng với Cqua O thì ·xOy = 900

- Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình thang cân.

- Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

* Dấu hiệu nhận biết:

-Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

* Áp dụng vào tam giác vuông:

- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

- Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết đê chứng minh một tứ giác là

hình chữ nhật.

1A Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau Gọi E, F, G, H theo

thứ tự là trung điẻm của các cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH là hình gì ?

1B Cho tam giác ABC vuông cân tại C Trên các cạnh AC, BC lấy lần lượt các điểm

P, Q sao cho AP = CQ Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M ∈ AB) Chứng minh

tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

Dạng 2 Vận dụng tính chất của hình chữ nhật để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường

chéo của hình chữ nhật.

2A Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD.

Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EF = EC Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và AD tại h và K Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật;

b) AF song song với BD;

c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng.

2B Cho hình chữ nhật ABCD Điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc cạnh AB Gọi

I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm của EF, FD, BE, BD Chứng minh IN = KM.

Dạng 3 Sử dụng định lí thuận và đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng định lí về tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền cả tam giác vuông để chứng minh các hình bằng nhau hoặc chứng minh tam giác vuông…

3A Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi I, K theo thứ tự là trung

điểm của AB, AC Chứng minh:

a) IHK · = 90 0

b) Chu vi ∆ IHK bằng nửa chu vi ∆ ABC.

3B Cho tam giác ABC có đường cao AI Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ

tia By song song với AC Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By Nối M với trung điểm P của AB, đường MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H.

a) Tứ giác AMBQ là hình gì ?

b) Chứng minh rằng CH ⊥ AB.

c) Chứng minh tam giác PIQ cân.

Dạng 4 Tìm điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất và dấu hiệu nhận biết của

hình chữ nhật.

4A Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,

BC, CD, DA Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là hình chữ nhật ?

4B Cho tam giác ABC Gọi O là một điểm thuộc miền trong của tam giác M, N, P,

Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB.

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Xác định vị trí của điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

5 Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi I là trung điểm của AC Lấy E là điểm đối

xứng với H qua I Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE Các đường thẳng

AM, AN cắt HE tại G và K.

a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh HG = GK = KE.

6 Cho tam giác ABC vuông tại A Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác

vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC) Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của DM với AB, và K là giao điểm của EM với AC Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.

c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.

7 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi M, N, P, Q lần lượt là

trung điểm các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC.

a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

b) Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân.

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa AB và CD để ABPN là hình chữ nhật.

cho AE = DF và · BFC = 900 Chứng minh · BEC = 90 0

b) Gọi là giao điểm của AC và BD Chứng minh OE là

đường trung bình của ∆ ACF

H = A H = A = B = A ⇒ KH AC mà KH đi qua trung

điểm I của AF ⇒ KH đi qua trung điểm của FC.

Mà E là trung điểm của FC ⇒ K, H, E thẳng hàng.

3B a) HS tự chứng minh AMBQ là hình chữ nhật (ahi

đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng

nhau)

b) Sử dụng tính chất trực tâm tam giác.

c) Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

của tam giác vuông để chứng minh

1

2

b) O nằm trên đường cao xuất phát từ đỉnh A của ∆ ABC

5.a) Chứng minh: AHCE là hình bình hành; · AHC = 900

⇒ AHCE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh G, K lần lượt là các trọng tâm của tam giác

AHC, AEC và sử dụng tính chất 2 đường chéo của hình chữ

nhật.

6 a) Chứng minh · DEA = 1800

b) Chứng minh

AIM = AKM = IAK =

c) Chứng minh ∆ DME có EDM · = DEM · = 450

⇒ ∆ DME vuông cân ở M.

7 a) HS tự chứng minh hình thang ABPN có hai đường

chéo bằng nhau là hình thang cân.

c) Cần thêm điều kiện NP = AB suy ra DC = 3AB.

8 Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BC, AD.

Chú ý ∆ FEI cân ở I.

Chứng minh: UIE =IB = IC

⇒ ∆ EBC vuông tại E

90

BEC =

CHỦ ĐỀ 9 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

CHO TRƯỚC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

* Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Khoảng cách giữa a và b là độ dài đoạn

AH hoặc độ dài đoạn A’H’.

* Tính chất: Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h.

a // b // a’

a và a’ cách b một khoảng bằng h.

* Nhận xét: Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h.

* Ghi chú: Ngoài ra, còn có các nhận xét sau:

- Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng r không đổi là đường tròn (O, r).

- Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng cố định là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

- Tập hợp các điểm nằm trong góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Phát biểu tập hợp điểm (không chứng minh)

Phương pháp giải: Vận dụng các tính chất để chi ra hình dạng của tập hợp các điểm

cùng thỏa mãn một điều kiện nào đó.

1A Điền vào chỗ trống:

a) Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng a cố định một khoảng bằng 2 cm là

b) Tập hợp đỉnh A các tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC cố định và BC

= 4cm là

c) Tập hợp giao điểm O của hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD có cạnh

BC cố định là

1B Điền vào chỗ trống:

a) Tập hợp các điểm cách điểm A cố định một khoảng bằng 1 cm là

b) Tập hợp các điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng AB cố định là

c) Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh của góc là

Dạng 2 Tìm quỹ tích (tập hợp các điểm)

Phương pháp giải: Vận dụng các nhận xét về tập hợp điểm.

2A Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên cạnh BC Khi điểm M di chuyển

trên cạnh BC thì trung điểm I của đoạn thẳng AM di chuyển trên đường nào?

2B Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên cạnh BC Qua M ta kẻ đường thẳng

song song với cạnh AB, cắt cạnh AC tại điểm E và đường thẳng song song với cạnh

AC, cắt cạnh AB tại điểm D Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì trung điểm I của đoạn thẳng DE di chuyển trên đường nào?

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

3 Cho tam giác ABC cân tại A Các điểm D, E theo thứ tự chuyển động trên cạnh AB,

AC sao cho AD = AE Trung điểm I của đoạn thẳng DE di chuyển trên đường nào?

4 Cho đoạn thẳng AB, điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB Vẽ về cùng về một

phía của nửa mặt phẳng bờ AB các tam giác đều AMC và BMD Trung điểm I của

đoạn CD di chuyển trên đường nào?

5 Cho đoạn thẳng AB, điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB Vẽ về một phía

của nửa mặt phẳng bờ AB các tam giác AMC vuông cân tại C và tam giác BMD vuông cân tại D Trung điểm I của đoạn CD di chuyển trên đường nào?

  với O là trung điểm của BC

c) Đường thẳng trung trực của đoạn BC trừ trung điểm BC.

1B a) Đường tròn (A; 1cm)

b) Đường trung trực của đoạn thẳng AB

c) Tia phân giác trong của ·xOy

2A Khi M ≡ B thì I là trung điểm của AC Vậy khi I di

chuyển trên đoạn AB thì M di chuyển trên đoạn thẳng I''I' là

đường trung bình của ∆ ABC (với I' và I'' lần lượt là trung

điểm của AC và AB)

2B Chứng minh được ADME là hình bình hành ⇒ I là

trung điểm của AM Tương tự 2A I thuộc đường trung bình

của ∆ ABC (đường thẳng đi qua trung điểm của AB và AC)

3 Tương tự 2A.

Cho D ≡ B, E ≡ C ⇒ Vị trí điểm I.

CHo D ≡ A, E ≡ A ⇒ Vị trí điểm I.

Kết luận: I thuộc trung trực của BC.

4 Tương tự 2B Gợi ý: Kéo dài AC và BD cắt nhau tại E.

Xét các trường hợp khi M ≡ A ⇒ C ≡ A, D ≡ E và khi M

≡ B ⇒ D ≡ B, C ≡ E.

Từ đó chứng minh được I thuộc đường trung bình của

∆ ABE.

5 Tương tự bài 4 kéo dài AC và BD cắt nhau tại E Từ đó

chứng minh được I thuộc đường trung bình của ∆ ABE.

+ Hai đường chéo vuông góc vói nhau.

+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi.

* Dấu hiệu nhận biết:

- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.

- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.

- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi.

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Chứng minh tứ giác là hình thoi

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là

hình thoi.

1A Cho tứ giác ABCD có AC = BD Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của

các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi.

1B Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD Gọi E, F theo thứ tự là

trung điểm của các cạnh AB, CD Chứng minh tứ giác AECF là hình thoi.

Dạng 2 Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường

chéo của hình thoi.

a) Chứng minh AE = AF.

b) Chứng minh tam giác AEF đều.

c) Biết BD = 16 cm, tính chu vi tam giác AEF.

2B Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo Trên cạnh AB,

BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ.

Chứng minh:

a) M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng;

b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Dạng 3 Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất và dấu hiệu nhận biết của

hình thoi.

3A Cho hình thang ABCD gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của hai đáy và hai

đường chéo của hình thang.

a) Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành.

b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi?

3B Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song

với AB và AC, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì?

b) Điểm D ở vị trí nào trên BC thì AEDF là hình thoi?

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

4 Cho tam giác ABC, phân giác AD Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt

AB tại E, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F Chứng minh EF là

phân giác của · D AE

5 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) EFGH là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng qui.

6 Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM Qua M kẻ đường thẳng song song

với AC cắt AB tại P và đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q.

a) Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh PQ//BC.

7 Cho hình bình hành ABCD Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm

M v à N sao cho AM = DN Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng

MN và BC tại E và F.

a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB.

b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi

c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.

và ·ACE cắt nhau tại O, và lần lượt cắt AC, AB tại N, M Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H: Chứng minh rằng:

a) BN ⊥ CM;

b) Tứ giác MNFIK là hình thoi.

HƯỚNG DẪN

1A Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta

1B.Chứng minh AECF là hình bình hành có 2đường chéo

vuông góc với nhau có 4 cạnh bằng nhau.

2A.a) Do AC là phân giác của góc ·DBC nên AE = FA

b) Có µB = 600 nên ∆ ABC và ∆ ADC là các tam giác đều ⇒

b) Tương tự ta có QN//MP//AD và QN = MP = 1

2 AD.

Nên để MPNQ là hình thoi thì MN ⊥ PQ khi đó MN ⊥ CD

và trung trực hay trục đối xứng của AB và CD.

⇒ hình thang ABCD là hình thang cân.

3B a) Học suinh tự chứng minh

b) nếu AEDF là hình thoi thì AD là phân giác của ·FAE suy

ra AD là phân giác của ·BAC

4 Chứng minh tứ giác AEDF là hình thoi

⇒ EF là phân giác của ·AED

5 a) Âp dụng tính chất đường trung bình cho ∆ BAC và

b) Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD.

Chứng minh EBGD và BFDH là hình bình hành suy ra AC,

BD,EG, FH đồng quy tại trung điểm mỗi đường (điểm O).

6.a) Vận dụng đinh lý 1 về đường trung bình của tam giác

suy ra APMQ là hình thoi do có 4 cạnh bằng nhau.

b) Vì PQ ⊥ AM mà AM ⊥ BC (tính chất tamgiacs cân) nên

Ta có ∆ MPE = ∆ BPE nên EP = FP Vậy MEBF là hình thoi

và 2 điểm E, F đối xứng nhau qua AB.

b) Tứ giác MEBF có MB ∩ EF = P; Lại có P trung điểm

BM, P là trung điểm EF, MB ⊥ EF.

⇒ MEBF là hình thoi.

c) Để BNCE là hình thang cân thì CNE BEN · = ·

Mà

CNE D MBC EBM = = = nên ∆ MEB có 3 góc bằng nhau, suy

ra điều kiện để BNCE là hình thang cân thì · ABC = 600

8 a) Sử dụng tính chất tổng các góc trong một tam giác

·ACE nên ∆ CNK cân ở C ⇒ O là trung điểm KN (2).

Tương tự chứng minh được là trung điểm MH (3).

Từ (1),(2) và (3) suy ra MNHK là hình thoi.

CHỦ ĐỀ 11 HÌNH VUÔNG

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Tứ giác ABCD là hình vuông

Tứ giác ABCD là hình vuông

90 D

- Hình vuông là hình thoi có bốn góc bằng nhau.

⇒ Như vậy, hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

* Tính chất:

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

* Dấu hiệu nhận biết:

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

* Nhận xét: Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Chứng minh tứ giác là hình vuông

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là

hình vuông.

1A Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lươttj lấy các điểm

1B Cho tam giác ABC Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và

ACFG Gọi Q, N lần lượt là giao điểm các đường chéo của hình vuông ABDE và hình vuông ACFG; gọi M, P lần lượt là trung điểm BC và EG Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Dạng 2 Vận dụng tính chất của hình vuông để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình vuông.

2A Cho hình vuông ABCD Trên cạnh các AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao

cho AE = DF Chứng minh:

a) Các tam giác ADF và BAE bằng nhau;

b) BE vuông góc với AF.

2B Cho hình vuông ABCD Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia

CB lấy điểm F sao cho AE = CF.

a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân.

b) Gọi I là trung điểm của EF Chứng minh BI = DI.

c) Chứng minh A, C, I thẳng hàng.

Dạng 3 Tìm điều kiện để tứ giác là hình vuông

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất và dấu hiệu nhận biết của

hình vuông.

3A Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh BC Qua M vẽ các

đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC, AB theo thứ tự tại E

và F.

a) Tứ giác AFME là hình gì ?

b) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để tứ giác AFME là hình vuông.

3B Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,

BC, CD, DA Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là:

a) Hình chữ nhật;

b) Hình thoi;

c) Hình vuông.

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

4 Cho hình bình hành ABCD Vẽ về phía ngoài hình bình hành, hai hình vuông

ABEF và ADGH Chứng minh:

a) AC = FH và AC ⊥ FH;

b) Tam giác CEG là tam giác vuông cân.

CD tại I Kẻ IK vuông góc với AM tại H Tia IH cắt BC tại K Chứng minh:

a) ∆ ABK = ∆ AHK; b) IAK · = 450.

6 Cho đoạn thẳng AB và điểm M thuộc đoạn thẳng đó Vẽ về một phía của AB, các

hình vuông AMCD, BMEF.

a) Chứng minh AE vuông góc với BC.

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.