Xây dựng chương trình giải phương trình poisson với điều kiện biên dirichlet trên miền 2d có hình học phức tạp bởi nội suy RBF

27 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET SỬ DỤNG NỘI SUY HÀM RBF TRÊN MIỀN 2D ..... Đặng Thị Oanh, em đã tiến hành nghiên cứu và thực hiện đồ án tốt nghiệp, với nội dung

LỜI CAM ĐOAN

Để hoàn thành đồ án tốt nghiệp đúng thời gian quy định và đáp ứng được yêu cầu của đề tài, bản thân em đã cố gắng tìm hiểu và nghiên cứu, học tập và làm việc trong thời gian dài Nội dung đồ án hoàn toàn không sao chép

từ các đồ án khác Toàn bộ đồ án là do bản thân em nghiên cứu và xây dựng dưới sự hướng dẫn của cô giáo

Em xin cam đoan những lời trên là đúng, nếu có thông tin sai lệch em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng

Thái Nguyên, ngày 11 tháng 06 năm 2012

Lê Đình Dương

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình thực hiện đồ án tốt nghiệp ngoài sự cố gắng hết mình của bản thân, em đã nhận được sự giúp đỡ tận tình từ phía nhà trường, thầy cô gia đình và bạn bè

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy – cô trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông đã truyền đạt những kiến thức quý báu cho em trong suốt quá trình học tập

Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo khoa Công nghệ thông tin và

bộ môn Khoa học máy tính đã tạo điều kiện để em có thể hoàn thành đồ án này

Em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến TS Đặng Thị Oanh mặc dù bận nhiều công việc nhưng đã dành thời gian hướng dẫn và giúp đỡ em tận tình trong quá trình làm đồ án tốt nghiệp

Em cũng xin cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em để em có được điều kiện tốt nhất để hoàn thành đồ án này

Em xin chân thành cảm ơn!

Thái nguyên, ngày 11 tháng 06 năm 2012

Sinh viên thực hiện

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN 2

Bảng danh mục các từ viết tắt 5

Bảng danh mục các hình 6

Bảng danh mục các bảng 7

LỜI NÓI ĐẦU 8

Chương 1 9

CƠ SỞ LÝ THUYẾT 9

1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng 9

1.2 Một số bài toán từ thực tế dẫn đến phương trình đạo hàm riêng 10

1.2.1 Mở đầu 10

1.2.2 Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất 10

1.2.3 Bài toán truyền nhiệt trong môi trường phẳng 13

1.2.4 Phương trình truyền nhiệt dừng 14

1.3 Phân loại phương trình cấp hai tuyến tính 16

1.4 Khái niệm bài toán biên 19

1.4.1 Mở đầu 19

1.4.2 Thí dụ 19

1.5 Nội suy hàm cơ sở bán kính RBF (Radial Basic Function) 22

1.5.1 Một số định nghĩa và khái niệm 22

1.5.2 Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian d  24

Chương 2 27

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET SỬ DỤNG NỘI SUY HÀM RBF TRÊN MIỀN 2D 27

2.1 Phát biểu bài toán 27

2.2 Rời rạc phương trình poisson trên các tâm phân bố không đều 27

2.2.1 Phương pháp sai phân hữu hạn 27

2.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn 29

2.3 Phương pháp sử dụng nội suy hàm RBF ( Radial Basic Function ) 31

2.4 Rời rạc hóa miền khảo sát 33

2.5 Xác định tâm và các điểm lân cận 34

2.6 Tính véc tơ trọng số 34

2.6.1 Véc tơ trọng số từ vi phân số trên các tâm phân bố không đều 34

2.6.2 Véc tơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính 36

2.6.3 Véc tơ trọng số đơn điểm 38

2.7 Tính nghiệm sai số của phương trình 40

2.8 Tính A vế trái của phương trình Aui = F 40

Chương 3 41

3.1 Giới thiệu về Matlab 41

3.2 Các bước giải bài toán 46

3.3 Thử nghiệm 49

KẾT LUẬN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN 63

Bảng danh mục các từ viết tắt

RBF Radial Basis Function (hàm cơ sở bán kính)

MQ MultiquadricIMQ Inverse multiquadricGauss Gaussian

W33 Wendland’C6 SPHH Sai phân hữu hạn

HCN Hình chữ nhật PTHH Phần tử hữu hạn

API Matlab application program

ảnh hưởng của phương pháp sai phân hữu hạn

Hình 2.2 Bộ tâm rời rạc, bộ tâm trùng khớp và các bộ tâm

ảnh hưởng của phương pháp PTHH với quy tắc cầu

Hình 2.3 Miền khảo sát

37

Hình 2.4 Bộ tâm rời rạc, bộ tâm trùng khớp và các bộ tâm

ảnh hưởng của phương pháp PTHH với quy tắc cầu

phương cho điểm giữa

38

Hình 2.5 Bộ tâm rời rạc trùng khớp và ảnh hưởng của

phương pháp đơn điểm

Bảng danh mục các bảng

Tên bảng Diễn giải

Trang Bảng1.1 Một số hàm cơ sở bán kính dùng trong báo cáo,

LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay, công nghệ thông tin phát triển, con người đã ứng dụng

nó vào nhiều lĩnh vực khác nhau Nhiều hiện tượng khoa họa kỹ thuật dẫn đến bài toán biên của phương trình vật lý Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn Có rất nhiều bài toán phức tạp, xử lý trên không gian nhiều chiều và miền bất kỳ như: khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D, mạng nơ-ron, khôi phục

và nhận dạng ảnh… cần độ sai số thấp Do đó kỹ thuật nội suy mới có

độ chính xác cao hơn, đó là nội suy hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Functions) viết tắt là RBF

Dưới sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của TS Đặng Thị Oanh, em đã

tiến hành nghiên cứu và thực hiện đồ án tốt nghiệp, với nội dung: “Sử dụng matlab giải phương trình poisson với điều kiện biên Dirichlet bởi nội suy hàm RBF trên miền 2D”

Nội dung đề tài gồm có 3 chương:

 Chương 1: Cơ sở lý thuyết

 Chương 2: Giải phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet sử dụng nội suy hàm RBF trên miền 2D

 Chương 3: Chương trình thử nghiệm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng

Với hàm số một biến số y  y x  ta có khái niệm đạo hàm y’(x):

'

y = f x y , , x0< x   , y x 0 

trong đó f x y ,  là hàm số cho trước x0, , là những số cho trước

Với hàm số nhiều biến số ta cũng gặp những khái niệm và những bài toán tường tự

Xét hàm số hai biến số u x y, , ta có đạo hàm riêng cấp 1 đối với x:

1.2 Một số bài toán từ thực tế dẫn đến phương trình đạo hàm riêng

1.2.1 Mở đầu

Nhiều hiện tượng thay đổi tùy thuộc hoặc nhiều biến không gian, hoặc

cả biến không gian và biến thời gian, được mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng Sau đây là một vài thí dụ

1.2.2 Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất

Xét một thanh vật chất đồng chất, độ dài Lcm, có thiết diện thẳng nhỏ không đổi là  2

S cm , có khối lượng riêng là  2

u C và nhiệt lượng H cal  của nó liên hệ với nhau bở công thức:

H  u CV  (1.1)

Người ta quan sát thấy khi thanh vật chất có vùng nóng vùng lạnh thì nhiệt lượng có khả năng khuếch tán từ vùng nóng sang vùng lạnh Ta gọi suất khuếch tán nhiệt là  2 

Ta tưởng tượng thanh vật chất đặt trên trục Ox từ xa đến xaL

như

hình 1.1

Hình 1.1 Bài toán thanh vật chất

Gọi u x t( , ) là nhiệt độ của thanh tại điểm x ở thời điểm t

Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp hơn Sự lan truyền nhiệt diễn ra dọc theo thanh vật chất tức là theo phương x Nó tuân theo định luật truyền nhiệt thực nghiệm của Fourier:

Luồng nhiệt   2  

q cal cm s theo phương x (tức là nhiệt lượng khuếch tán qua một đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ trrong một đơn vị thời gian ) tỉ lệ với vận tốc biến thiên của nhiệt độ dọc theo phương x , tức là tỉ lệ

Do có luật bảo toàn nhiệt lượng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗi phân

tố nhỏ S x của thanh từ x đến x x trong thời gian l Sự cân bằng này diễn đạt bằng công thức:

Nhiệt truyền vào phân tố - Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích lũy trong phân tố

Nhiệt truyền vào phân tố là q x t S t ,  

Nhiệt ra khỏi phân tố là q x  x t S t,  

Nhiệt tích lũy trong phân tố là S x C u  

Trong đó là biến thiên của nhiệt độ trong thời gian t Vậy có:

 , 

q x t S t - q x  x t S t,   = S x C u  

Chia cho S x t  ta được:

đồng chất, gọi là phương trình truyền nhiệt của thanh Còn gọi là phương trình truyền nhiệt một chiều

 hạng mô tả hiện tượng đối lưu

1.2.3 Bài toán truyền nhiệt trong môi trường phẳng

Nay ta thay thanh vật chất bằng một “bản mỏng” vật chất  Có đường biên là một đường cong khép kín  Đặt trong mặt phẳng (hình 1.2)

Hình 1.2 bài toán truyền nhiệt trong môi trường phẳng

Khi đó ta có phương trình truyền nhiệt trong môi trường phẳng đồng chất:

Các phương trình (1.9), (1.10), (1.11) còn được gọi là phương trình truyền nhiệt hai chiều

1.2.4 Phương trình truyền nhiệt dừng

Nếu đến một lúc nào đó phân bố nhiệt độ trên thanh vật chất, bản mỏng vật chất, khối vật chất đã ổn định không thay đổi theo thời gian nữa thì ta nói hiện tượng truyền nhiệt đã dừng Từ lúc đó nhiệt độ không thay đổi theo thời

gian nên u 0

t





 , và do đó ta có các phương trình truyền nhiệt dừng như sau:

Trong trường hợp một chiều ta có:

2

2 0,

d u

d x  a  x  b (1.12) hay:

Trong trường hợp hai chiều ta có:

Khi vế phải của (1.18) và (1.21) khác 0 ta có các phương trình:

Người ta gọi chúng là phương trình Poisson hai chiều và ba chiều

1.3 Phân loại phương trình cấp hai tuyến tính

Giả sử u u p q( , ) là hàm số của hai biến đọc lập p q,

Kí hiệu:

p

u u

qq

u u

0 0

của phương trình đạo hàm riêng (1.23)

Như vậy đường đặc trưng xác định bởi điều kiện det(M ) 0 Điều kiện này viết như sau:

det(M) A dq( ) 2 d dB p qC dp( ) 0 (1.24) hay:

gọi dq dp/ là phương trình đặc trưng tại điểm p q,  Vậy phương trình (1.25) xác định các phương đặc trưng Nó là phương trình vi phân của đường đặc trưng

Phương trình (1.25) là một phương trình bậc hai đối với dq dp/

Khi đó tại mỗi p q,   không có phương đặc trưng thực nào mà chỉ

có hai phương đặc trưng ảo liên hợp, ta nói phương trình (1.23) thuộc loại elip trong 

c

x x





Có A = c2, C = B = 0, do đó B2 AC  0 tại mọi ( , )x y nên là phương trình

loại parabol trong cả mặt phẳng ( , )x y

Chú ý 3

Phân loại trên rất quan trọng Ba loại phương trình khác nhau có những tính chất rất khác nhau Cho nên người ta phải áp dụng những phương pháp giải cũng rất khác nhau trong nghiên cứu lý thuyết cũng như trong cách tìm nghiệm gần đúng

1.4 Khái niệm bài toán biên

y a  , ( )y b  gọi là điều kiện biên (loại một)

Đối với phương trình đạo hàm riêng cũng tương tự Muốn nó có nghiệm duy nhất thì phương trình đạo hàm riêng phải kèm theo một số điều kiện phụ Mỗi cách cho điều kiện phụ xác định một lớp bài toán biên riêng

Điều kiện phụ: k a u a( ) '( ) a u a( )g a , ( ) '( )k b u b  b u b( ) g b (1.27)

gọi là điều kiện biên loại ba Nó ấn định quan hệ giữa luồng nhiệt và nhiệt độ

ở hai đầu mút của thanh

Bài toán tìm hàm u u x( ) thỏa mãn phương trình (1.17) và điều kiện

biên (1.30) gọi là bài toán biên loại một đối với phương trình truyền nhiệt dừng (1.17)

b Đối với phương trình truyền nhiệt không dừng một chiều (1.17):

Bài toán tìm hàm nhiệt độ u  u x t ( , ) thỏa mãn phương trình (1.7) cũng với điều kiện ban đầu (1.29) và điều kiện biên (1.32) gọi là bài toán biên loại một đối với phương trình truyền nhiệt không dừng (1.7)

Nó là mô hình toán học của hiện tượng truyền nhiệt trong một thanh vật chất dài từ x  a đến x  b có suất truyền nhiệt là k Có phân bố nhiệu độ ban đầu tại thời điểm t  0 là g x( ), đặt cô lập với môi trường nhiệt bên

ngoài trừ tại hai đầu mút ở đó nhiệt độ thay đổi phụ thuộc theo thời gian theo những qui luật định trước g t a( ) và g t b( )

Bài toán tìm hàm nhiệt độ u  u x t ( , ) thỏa mãn phương trình (1.7)

cùng với điều kiện ban đầu (1.34) và điều kiện biên (1.33) gọi là bài toán biên loại ba đối với phương trình truyền nhiệt không dừng (1.7)

Nó là mô hình toán học của hiện tượng truyền nhiệt trong một thanh vật chất dài từ x  a đến x  b có suất truyền nhiệt là k Có phân bố nhiệt độ ban đầu tại thời điểm t  0 là g x ( ), đặt cô lập với môi trường nhiệt bên

ngoài trừ tại hai đầu mút ở đó có quan hệ giữa luồng nhiệt và nhiệt độ thay đổi phụ thuộc thời gian theo những qui luật định trước

c Đối với phương trình Poisson hai chiều (1.24):

gọi là điều kiện biên loại một hay điều kiện biên Dirichlet

Bài toán tìm hàm số u x y( , ) thỏa mãn phương trình (1.24) và điều kiện biên (1.35) gọi là bài toán biên loại một hay bài toán biên Dirichlet đối với phương trình Poisson (1.24)

Một ý nghĩa vật lý của bài toán này là:

Nó mô tả sự phân bố nhiệt độ đã ổn định trong miền phẳng  khi phân

bố nhiệt độ tại biên  của miền  ấn định là ( , )g x y

Bài toán tìm u  u x y ( , ) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng (1.24)

và điều kiện biên (1.36) gọi là bài toán biên loại ba đối với phương trình Poisson

d Đối với phương trình truyền nhiệt không dừng trong mặt phẳng (1.11):

Điều kiện phụ: u x y t , ,  g x y t( , , ) ( , )x y  , t 0 (1.32) gọi là điều kiện biên loại một Nó ấn định qui luật thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại biên  của miền 

Điều kiện phụ: u x y t , , ( , )x y

, ( , )x y   (1.26) gọi là điều kiện ban đầu Nó ấn định tình trạng phân bố nhiệt độ lúc ban đầu 0

t 

Bài toán tìm hàm số u x y t , ,  thỏa mãn phương trình (1.11) và các điều kiện

(1.37) (1.39) gọi là bài toán biên loại một đối với phương trình (1.11)

Bài toán tìm hàm số u x y t , ,  thỏa mãn phương trình (1.11) và các điều kiện

(1.38) (1.39) gọi là bài toán biên loại ba đối với phương trình (1.11)

1.5 Nội suy hàm cơ sở bán kính RBF (Radial Basic Function)

1.5.1 Một số định nghĩa và khái niệm

Cho miền  trong không gian Ơcơlit d với biên  Ta sẽ dùng thuật ngữ “Tâm” như là một điểm thuộc miền

Định nghĩa 1.1 (Véc tơ trọng số (Stencil)) Cho D là toán tử vi phân tuyến

tính và X x x1 , 2 ,x n là bộ tâm phân tán đã được chọn trong không gian d

 Một xấp xỉ vi phân tuyến tính đối với toán tử D

Định nghĩa 1.2 (Bộ tâm trùng khớp) Trong cách tiếp cận địa phương, với

mỗi  , ta chọn được một bộ tâm  mà dựa vào bộ tâm này có thể tính được véc tơ trọng số Ta có hai cách chọn bộ tâm  tương ứng với các phương pháp cụ thể như sau:

Phương pháp đơn điểm hoặc SPHH:    

Phương pháp đa điểm hoặc PTHH: Tập  là bộ trọng tâm của các tam giác, trong đó quy tắc xây dựng các tam giác dựa vào  như sau: đặt  là

“tâm”, các điểm còn lại xung quanh  được xếp theo chiều ngược kim đồng

hồ và tạo thành các tam giác có chung đỉnh 

Khi đó, ta gọi  là bộ tâm trùng khớp và được xác định bởi:

Và công thức (1.30) là đẳng thức khi và chỉ khi c và véc tơ 0

Định nghĩa 1.5 hàm một biến : 0,     được gọi là xác định dương trên d

 nếu hàm nhiều biến tương ứng  x  x , d

x   là xác định dương

1.5.2 Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian 

det A với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một 0 x x1, 2., ,x n trong , trong

đó ma trân A được định nghĩa bởi (1.34)

Định lý 1.1 (Mairhuber Curtis) [24, trang 19] Giả sử rằng   d,d 2,

chứa một điểm trong Khi đó không tồn tại không gian Haar của các hàm liên tục trên 

Định lý Mairhuber Curtis cho thấy rằng nếu muốn giải được bài toán nội suy dữ liệu phân tán nhiều biến thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu Để thu được các không gian xấp xỉ phụ thuộc dữ liệu, chúng ta cần xét các hàm xác định dương và ma trận xác định dương

1.5.2.1 Nội suy với hàm cơ sở bán kính

Để bài toán nội suy có nghiệm duy nhất, ta cần chọn hàm Φ phù hợp sao cho det A ≠ 0

Bảng1.1 Một số hàm cơ sở bán kính dùng trong báo cáo, trong đó

Vì hàm φ(x) vẫn là xác định dương khi r được nhân một số lớn hơn không,

nên một tham số hình dạng  >0 được đưa vào hàm  và ta có bảng 1.2 tương ứng

Bảng 1.2 Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng  >0

Tên hàm Viết tắt Định nghĩa

Chương 2

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET SỬ DỤNG NỘI SUY HÀM RBF

TRÊN MIỀN 2D

2.1 Phát biểu bài toán

Phần này miêu tả ngắn gọn một số phương pháp truyền thống và phương pháp sử dụng hàm RBF giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic cấp 2, như phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn và một số phương pháp sử dụng hàm RBF bằng cách tiếp cận trùng khớp trên toàn miền

Đề tài sẽ sử dụng bài toán Dirichlet với phương trình Poisson trong miền giới nội d

u   g (2.2)

Lưu ý rằng tất cả các chuẩn . trong báo cáo này là chuẩn Ơcơlit .2

2.2 Rời rạc phương trình poisson trên các tâm phân bố không đều

2.2.1 Phương pháp sai phân hữu hạn

Bài toán (2.1) và (2.2) có thể được rời rạc với sự trợ giúp của công thức vi phân số (1.24) như sau:

Cho    là tập hữu hạn các tâm rời rạc Kí hiệu:      : và

int : \

    Với mỗi   int, ta chọn một công thức vi phân tuyến tính đối với toán tử Laplace :

(2.3)

Với  là bộ tâm cho tính véc tơ trọng số w ,

Ta có thể giảm số phương trình xuống bằng cách sử dụng trung bình địa phương của các phương trình trong hệ (2.6) Cách làm này dẫn đến phương trình sai phân hữu hạn suy rộng như sau

Với mỗi   int, chọn tập  , sau đó xác định tập    và các trọng

số   ,   với   Tiếp theo, xác định tổ hợp tuyến tính của toán tử Laplace trên tập  và chọn một công thức vi phân số

Với véc tơ trọng số w , ,   , w ,  Khi đó, rời rạc của bài

toán (2.1) - (2.2) được cho bởi hệ phương trình tuyến tính

f L  , 1/2  

gH  Khi

đó, bài toán (2.1) - (2.2) có nghiệm duy nhất 1 

uH  Chúng ta sử dụng phát biểu yếu của bài toàn: Tìm 1 

Ký hiệu  là tập hợp các trọng tâm của các tam giác có đỉnh liên thông

với  ,  là tam giác với trọng tâm ,  

Hình 2.1 Bộ tâm rời rạc, bộ tâm trùng khớp và các bộ tâm ảnh hưởng của

phương pháp sai phân hữu hạn khuôn 5 điểm

Hình 2.2 Bộ tâm rời rạc, bộ tâm trùng khớp và các bộ tâm ảnh hưởng của

phương pháp PTHH với quy tắc cầu phương cho điểm giữa

Và hàm   với   là các hàm nón Khi đó, nghiệm xấp xỉ của (2.11) được

tìm dưới dạng u x     u        x , x  , trong đó các giá trị u 

w  chính là véc tơ trọng số của phương trình phần tử hữu hạn Khi

đó nếu ta sử dụng công thức vi phân số

2.3 Phương pháp sử dụng nội suy hàm RBF ( Radial Basic Function )

Mục đích của phương pháp là sử dụng hàm nội suy bán kính giải phương trình đạo hàm riêng Các phương pháp trình bày trong mục này là cách tiếp cận không lưới bằng cách trùng khớp trên tất cả các tâm Công cụ nội suy ở đây là hàm cơ sở bán kính Mục này tôi dành cho nội suy thông thường và nội suy Hermite nhờ các hàm cơ sở bán kính

Cách tiếp cận Kansa:

Đây là phương pháp trùng khớp không đối xứng, được đề xuất bởi E.Kansa (1990) và được xem xét trong [31] Cụ thể như sau: cho bộ tâm trùng khớpX x x1, 2, ,x n int Ta chọn   1, 2, , n X là bộ tâm nội suy của hàm cơ sở bán kính

Lưu ý: Về nguyên tắc thì   X nhưng thực tế ta có thể chọn   X

Tư tưởng chính là thay u bằng hàm nội suy