a Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.. b Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định..[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3,0 điểm):
Cho
x x 1 x x 1 M
a) Tìm điều kiện để M có nghĩa
b) Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa)
Bài 2 : (4,5 điểm)
a) Tính : A 4 5 3 5 48 10 7 4 3
b) Giải phương trình : x 2 10 xx212x40
Bài 3 (4,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn: y22xy 3x 2 0
b) Tìm số tự nhiên n để: A n 2012n2002 1 là số nguyên tố
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O;R), trong đó B, C là các tiếp điểm Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại
H và K
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm
cố định
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định
Bài 5: (5,0 điểm )
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đường thẳng CD tại K Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I
1 Chứng minh : 2 2 2
1 1
1
AB AK
2 Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm Tính diện tích tam giác AMN
3 Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK,
AK, AI (P IK, QAK, R AI) Xác định vị trí điểm O để OP2 OQ2 OR2 nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
_
Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh : Phßng thi
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013 MÔN: Toán
Bài 1: (3,0 điểm): Cho
x x 1 x x 1 M
a Tìm điều kiện để M có nghĩa (1,0 đ)
Để M có nghĩa, ta có:
x 0
x x 0
x x 0
x 0
x ( x 1) 0
x ( x 1) 0
x 0
x 1
b Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) (2,0 đ)
Với x > 0, 1 ta có:
2
(x x 1)(x x ) (x x 1)(x x )
M
x x
=
2
x x x x x x x x x x
x x
=
2
2
2x 2x
x x
2
2
2(x x)
x x
= 2 Vậy M = 2
0,5
0,5
0,5
0,5 0,5 0,5
Bài 2 : (4,5 điểm)
a) (2 điểm) Tính : A 4 5 3 5 48 10 7 4 3
Ta có : A 4 5 3 5 48 10 2 32
4 5 3 5 48 10 2 3
4 5 3 5 28 10 3
2
4 5 3 5 5 3
4 5 3 5 5 3
= 4 5 3 25 5 3 = 4 5 3
0.5
0.5 0.5 0.5 0.5 b) (2 điểm) Giải phương trình : x 2 10 x x212x40
Điều kiện : 2 x 10
Trang 3Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.
Ta có : 2 10 1 2 4 10 .4 1 2 4 10 4
4
Dấu “ = ” xảy ra
6
x
Mặt khác : x2 12x 40 x2 12x 36 4 x 62 4 4
Dấu “=” xảy ra x 6 0 x6 (2)
Kết hợp (1) và (2)
Phương trình có nghiệm duy nhất là : x 6
0,5 0,5
0,5 0.5
Bài 3 (4,0 điểm)
a) (2 điểm) Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn: y22xy 3x 2 0
2 2 3 2 0 2 2 2 2 3 2 ( )2 ( 1)( 2)
y xy x x xy y x x x y x x (*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp
nên phải có 1 số bằng 0
Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; ) ( 1;1)x y hoặc ( ; ) ( 2;2)x y
0,5
1,0 0,5 b) (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để: A n 2012n2002 1 là số nguyên
tố
Xét n 0 thì A = 1 không phải nguyên tố; n 1 thì A = 3 nguyên tố
Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1
= n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1)
Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 1
Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1
Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số Số tự nhiên cần tìm n = 1
0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O;R), trong đó B, C là các tiếp điểm Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại
H và K
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm
cố định
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định
d
A M K
H
C O
B
A
Chỉ ra ΔHOK ~ ΔAOM (g-g) => OH = OK => OA.OK = OH.OM (1)
Trang 4Xét tam giác BOM vuông tại B OB2 OH OM. 2 0,5
Từ (1) và (2)
2 2
OA
(không đổi)
0,5
Ta có góc OHK = 90O;
OK cố định nên H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định
0,5 0,5
Bài 5: (5,0 điểm )
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đường thẳng CD tại K Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I
1 Chứng minh : 2 2 2
1 1
1
AB AK
2 Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm Tính diện tích tam giác AMN
3 Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK,
AK, AI ( P IK, QAK, R AI) Xác định vị trí điểm O để OP2 OQ2 OR2 nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
1
2,0đ
Ta có: ABM ADI AM AI(1) (vì … )
Trong tam giác AIK vuông tại A ta có: (2)
1 1
1
2 2
2 AK AD
và AB = AD (3) (….)
Từ (1), (2), (3) 2 2 2
1 1
1
AB AK
0,5
0,5 0,25 0,75
2
2,0đ
Kẻ AH vuông góc với MN (H MN)
Do CM + CN = 7 và CM - CN = 1 CM = 4; CN = 3 MN = 5
Ta có AMN AIN AH AD IN MN
MH ID AID
Ta lại có : DN BM MN 5và
1
BM CN DN DN BM CM CN CM
DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH = 6
2.6.5 15( )
1
2
cm MN
AH
0,5 0,5
0,5 0,5 3
1,0đ
Từ giả thiết ta có AQOR là hình chữ nhật
2 2
2
)
2 2 2
2
OP OA OR
OQ
M H
K
I
C
Trang 52 2
2 OQ OR
OP nhỏ nhất khi O là trung điểm của AD 0,5