Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị m nằm trên các trục tọa độ.. Giải phương trình:..[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số y x42mx2 4 có đồ thị C m
(mlà tham số thực)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =2.
2 Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị C mnằm trên các trục tọa độ.
Câu II (2,0 điểm).
1 Giải phương trình: sin tan 2x x 3 sin x 3 tan 2x 3 3
2 Giải bất phương trình: √x+ 3+ x
3 − x<1 .
Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt bên
kề nhau có độ dài bằng a Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'D'.
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x y z, , thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình
0
x y và điểm M(2;1) Lập phương trình đường thẳng
cắt trục hoành tại A, cắt đường thẳng
(d) tại B sao cho tam giác AMB vuông cân tại M.
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C 1 ) có phương trình
2 2 25
x y , điểm M(1; -2) Đường tròn (C 2 ) có bán kính bằng 2 10 Tìm tọa độ tâm của (C 2 ) sao
cho (C 2 ) cắt (C 1 ) theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất.
Câu VIII.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình:
2
2
x (x N *)
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm P(-7;8) và hai đường thẳng
d1 : 2x 5y 3 0, d2: 5x 2y 7 0
cắt nhau tại A Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua P
và tạo với ( ),( )d1 d2 một tam giác cân tại A và có diện tích bằng 292 .
Câu VII.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình
2 0
x y và đường tròn (C 1 ) có phương trình: x2 y2 4x2y 4 0 Đường tròn (C 2 ) có tâm
thuộc (d), (C 2 ) tiếp xúc ngoài với (C 1 ) và có bán kính gấp đôi bán kính của (C 1 ) Viết phương trình của
đường tròn (C 2 ).
Câu VIII.b (1,0 điểm) Cho hàm số
1
y
x
.Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm về hai phía của đường thẳng (d):
2x+y-1=0.
- Hết
Trang 2-Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên Thí sinh: ………; Số báo danh: ………
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2012-2013 LẦN 1
MÔN TOÁN -KHỐI D
* Sự biến thiên của hàm số:
- Bảng biến thiên:
+ Ta có:
2
x
x
+ Bảng biến thiên:
x - 2 0 2 +
-y
0 -
0 -4 -
và 0; 2
, 2; 0
điểm cực tiểu của đồ thị B(0;-4)
* Đồ thị:
+ Nhận xét: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng.
2
-2
-4
-6
-8
f x = -x 4 +4x 2 -4
0,25
0,25
2
0
Nếu m 0thì C m
chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên trục
tung
0,25 0,25 0,25
Trang 3điểm cực đại có tọa độ ( m m; 2 4), ( m m ; 2 4)
Để hai điểm này nằm trên trục hoành thì
Vậy m ( ;0] 2 là những giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25
II
Ta có: sin tan 2x x 3(sinx 3 tan 2 ) 3 3x
k
(thỏa mãn)
0,25
0,25 0,25 0,25
Bất phương trình
3 x
x 1
3 x
2
2
2x 0
3 x
x 0
x (3; )
x 10x 9 0
x (3; )
x (3;9)
x (1;9)
Vậy tập nghiệm của bpt là : (3;9)
0,25
0,25
0,25 0,25
III
Đặt u x23 ,y v y28 ,x u v0
2
3
5
v
u loai
0,25
0,25
Trang 4+ Khi đó
2
2 2 2
2
4 3
4
3
x y
x
2
4 3
x y
2 2
2
1 4
3
5
x x
y
y
Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thu được tập hợp nghiệm của hệ phương trình
là: S (1;1),( 5; 7)
0,25
0,25
A D
M K
B' C'
A' D'
+ Gọi M,N lần lượt là 2 tâm của 2 hình vuông ABB'A'; ADD'A'
1
MN B'D' B'D' 2a A 'B' a 2
2
V ABCDA ' B ' C ' D '=AA ' SA ' B ' C ' D ' ¿a√2(a√2)2
+ Gọi I là giao của B'D' và A'C'
Vì
AA ' ⊥ B ' D '
A ' C ' ⊥ B' D '
}
⇒(AA ' C)⊥ B' D ' ⇒ IK ⊥ B ' D'
ΔC ' IK đồng dạng vớiC'AA '.
IK
√3 .
0,25
0,25 0,25
0,25
Trang 52
+y2+z2
xyz
+y2 +z2≥ xy +yz +zx
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
⇒ P ≥ x3+y3+z3
xy+yz +zx xyz ⇒ P≥(x33+
2
x)+(y33+
2
y)+(z33+
2
z)
3+
2
f ' (t)=t2− 2
t2=
t4−2
t2 ; f ' (t)=0 ⇔ t=4
√2
+ BBT
/
f t
8
3 2
0,25
0,25
0,25
0,25
Chương trình chuẩn
AOx A a( ;0),B d B b b( ; ), M(2;1) MA (a 2; 1), MB(b 2;b1)
.
Tam giác ABM vuông cân tại M nên:
MA MB
Nhận xét b=2 không thỏa mãn hệ phương trình này
Ta có :
2
1 2
1
2
1
2
b a
b
b
b
b
2
2 1
2
1 2
a b
a
b b
a
Với
2 1
a b
Với
4 3
a b
0,25
0,25
0,25 0,25
Trang 6VII a Tìm tọa độ tâm đường tròn… 1,00
O M I
B
OM (1 ;−2 )⇒OM=√5⇒ OM<R⇒ M nằm trong đường tròn (C1)
AB=2 AH=2√OA2−OH2=2√25 − OH2 Mà OH lớn nhất khi H trùng với
M.
Vậy AB nhỏ nhất khi M là trung điểm của AB AB qua M và vuông góc
với OM.
+ Phương trình của AB: x – 2y – 5 = 0 Tọa độ của A,B là nghiệm hệ:
¿
x − 2 y −5=0
x2+y2=25
¿{
¿
Giải hệ được hai nghiệm(5;0);(-3;-4).
+ Giả sử A(5;0); B(-3;-4) Phương trình của OM: 2x + y = 0.
t 1 I( 1,2) ; t=3 ⇒ I (3,− 6)
0,25
0,25
0,25 0,25
x .
x !
3! (x − 3)! −
3 x !
(x −2)! ≥
1
2.
(2 x)!
(2 x −2)!− 81
+2 x − 85≤ 0 ⇔ −17
3 ≤ x ≤5
0,25
0,25 0,25 0,25
Chương trình nâng cao
VI
d1
d d2
B
A
P
1; 1
A
0,25
Trang 7Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d d1, 2là
1: 7x 3y 4 0, 2: 3x 7y 10 0
Suy ra:
: 3 7 77 0 : 7 3 25 0
d x y
d x y
Gọi B d 1d C d, 2d Thấy (d )1 (d )2 tam giác ABC vuông cân tại A
nên:
2
ABC
S AB AC AB AB
Suy ra:
29 2
2 58
ABC S AH
BC
( ; )
2 58
3 ( 7)
( ; )
2 58
0,25
0,25
0,25
VII
t −2¿2+(− t −1)2=9⇔t2
−t − 2=0 ⇔
¿
t=2
¿
t=−1
¿
¿
¿
¿
⇔¿
+
y +1¿2=4
x+1¿2+¿
t=−1 ⇒ J (−1 ;−1)⇒(C2):¿
+
y+ 4¿2=4
x −2¿2+ ¿
t=2⇒ J(2 ;− 4)⇒(C2): ¿
2=4
x +1¿2+¿
¿
và y +4¿
2
x −2¿2+ ¿
¿
0,25 0,25 0,25
0,25
Trang 82
2
'
1
y
x
Hàm số có CĐ, CT khi pt y'=0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
4
4 0
m
m m
Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d) khi
2
Theo định lý Vi-et
1 2
1 2
2 3
x x m
2
0,25
0,25 0,25
0,25