Câu 6 1 điểm Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính là a 3 3.. Tính khoảng cách từ A đến SBC..[r]
Trang 1TR ƯỜNG THPT TAM NÔNG ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012-2013
T Ổ TOÁN – TIN – NGOẠI NGỮ L ỚP 12- NÂNG CAO
(Th ời gian làm bài 90 phút-không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 3 điểm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: ( ) 1 3 2
2 3 1 (C) 3
y= f x = x − x + x− 2) Tìm m để đường thẳng ( ) :d y =2mx−1 cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt
Câu 2 (1 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
3
1 4 log 7
25
2
A =
Câu 3 (1 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sốy = 2x3+3x2−12x 2+ trên [ 1; 2 ] −
Câu 4 (1 điểm)
Cho hàm số y=e−sinx Chứng minh rằng: cosy′ x− y.sinx+ y′′=0
Bài 5: (3 điểm): Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông tại B có
AB = a, BC = a 3, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a Gọi M, N lần lượt là
hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
2) Chứng minh 5 điểm A, B, C, N, M nằm trên một mặt cầu, tìm tâm và bán kính
của mặt cầu Tính diện tích và tính thể tích khối cầu đó theo a
3) Tính thể tích của khối chóp ABCMN theo a
Câu 6 ( 1 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính là
3
3
a
, góc giữa mặt bên và đáy là 600
Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
-H
Trang 2TR ƯỜNG THPT TAM NÔNG ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN HỌC KỲ I
(Gồm có 4 trang từ trang 2 đến trang 5)
1(3đ) 1(2đ)
Kh ảo sát và vẽ đồ thị hàm số: ( ) 1 3 2
3
y= f x = x − x + x−
1 1
3
1
x
y
=
lim ; lim
f(x)
−∞
1 3
1
−
Hsố nghịch biến trên ( )1;3 , đồng biến trên (−∞;1) và (3;+∞)
Điểm cực tiểu I1(3; 1 − ), điểm cực đại 2 1;1
3
I
0,25
Đồ thị: Đồ thị cắt 0y tại (0; 1)−
0 -2
A
2 -1
x
y
I
1
-2
3
4
1 3 1 3
−
B
2
I
1
I
-1
0.5đ
2(1đ) Tìm m để đ th ẳ ng ( ) : d y =2mx−1 c ắ t ( )C t ạ i 3 đ i ể m phân
bi ệ t
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và ( )d là:
3x − x + x− = m− ⇔ 1 3 2
Trang 3( )
( )
3
x
=
Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình
( )
1
0
3
2 2
m m
m
− − > >
∆ >
0.25
Vậy : 0 à m 3
2
2(1đ)
Tính giá trị của biểu thức:
3
1 4 log 7
25
2
A=
( )
2
25
log
1 4
81 3
16 2
3
1 4 log 7
25
7
49
− +
0,25
3(1đ) Tìm giá tr ị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
y = 2x3 +3x2 −12x 2+ trên [ 1; 2 ]−
2
y = x + x− ; y'=0 ⇔ 2
6x +6x− =12 0= 0 ⇔ 1
2
x x
=
= −
2
( 1) 15, (1) 5, (2) 6
Vậy [ ]
M y
[ 1;2 ] 5 1
Min y Khi x
4(1đ) Cho hàm số y=e−sinx CM rằng: cosy′ x− y.sinx+ y′′=0
sin x
Trang 4Suy ra vế trái bằng vế phải Vậy đẳng thức đúng 0,25 5(3đ) Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông tại B có
AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc v ới mặt phẳng (ABC),
SA = 2a G ọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A
trên các c ạnh SB và SC
a(1đ) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
3
a
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V =
3
3 3
a
0,25 b(1đ) Ch ứ ng minh 5 đ i ể m A, B, C, N, M n ằ m trên m ộ t m ặ t c ầ u, tìm
tâm và bán kính c ủ a m ặ t c ầ u Tính di ệ n tích và tính th ể tích
kh ố i c ầ u đ ó theo a
Các điểm B, C, N, M nhìn đoạn AC dưới một góc90o nên chúng thụôc mặt cầu đường kính AC 0.5 Tâm O mặt cầu là trung điểm của AC, Bán kính mặt cầu
2
A C
S = 4πa2 V = 4 3
c(1đ) Tính th ể tích c ủ a kh ố i chóp ABCMN theo a
Trong tam giác vuông BAC , ta có :
A C = A B + B C = a +a = a suy ra tam giác SAC cân tai A suy ra N là trung điểm của SC suy ra 1
2
S N
S C =
Trong tam giác vuông SAB , ta có
SB= AB +SA = a +a =a ,
5
SM
SB
5
S M
S B = ;
0,5
4 1 2
5 2 5
SAM N
V
SA B C
SAM N SABC
3 1
3 5
S A B C N M S A B C S A M N
0,5
Trang 5N
M
C
B A
S
6(1đ) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC nội tiếp trong
đường tròn bán kính là 3
3
a
, góc gi ữa mặt bên và đáy là 60 0
Tính kho ảng cách từ A đến (SBC)
Gọi O là tâm của đáy, ta có SO vuông (ABC) Gọi M là trung điểm BC, ta có : BC AM
BC SM
⊥
Ta có (SAM) vuông (SBC) nên từ A kẻ AH vuông góc giao
tuyến SM, ta có AH vuông (SBC) Suy ra k/c là AH 0,25
3
a
3
a
2
a
SO=OM =
0,25
Xét tam giác SAM có : AH.SM = SO.AM ⇒AH = a/12 0,25
H
M S
B
C
O A