Tài liệu Bài tập bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ ppt

Bất phương trình hữu tỉ và vô tỉGiả sử fx và gx là các hàm số xác định trên các miền D và E tương ứng.. Tập hợp các điểm xo như vậy được gọi là tập hợp nghiệm của bất phương trình.. Hai

Bài 4 Bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ

Giả sử f(x) và g(x) là các hàm số xác định trên các miền D và E tương ứng Giải bất phương trình f(x) > g(x) (hay f(x) ≥ g(x)) nghĩa là tìm tất cả các điểm xo ∈ D ∩ E sao cho f(xo) > g(xo) (hay f(xo ≥ g(xo)) là bất đẳng thức đúng Tập hợp các điểm xo như vậy được gọi là tập hợp nghiệm của bất phương trình

Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu hai tập hợp nghiệm tương ứng của chúng là trùng nhau Ta dùng dấu ⇔ để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình

1 Bất phương trình hữu tỉ

Trong bất phương trình f(x) > g(x) mà f và g đều là các hàm hữu tỉ thì

nó được gọi là bất phương trình hữu tỉ

1.1 Bất phương trình bậc nhất

Đó là bất phương trình dạng

ax + b > 0 (1)

(hoặc ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0)

a) Nếu a = 0 thì (1) ⇔ 0x + b > 0 Do đó

nếu b > 0 thì (1) nghiệm đúng với ∀x ∈ R

nếu b < 0 thì (1) vô nghiệm

b) Nếu a > 0 thì (1) ⇔ x > b

a

−

Tập nghiệm là b,

a

c) Nếu a < 0 thì (1) ⇔ x < b

a

a

−∞

Ví dụ 1 Giải bất phương trình

(a2 + a + 1)x + a3 − a > 0, (2)

(a là tham số)

Vì a2 + a + 1 > 0 nên (1) ⇔ 3

2

x

−

>

1

Ví dụ 2 Giải bất phương trình (ẩn x)

(a + 1)x + (a2 + 2) ≥ 0 (3)

Giải a) a = −1, (3) nghiệm đúng với mọi x

b) a > −1, (3) ⇔ x a2 2

a 1

+

> −

c) a < −1, (3) ⇔ x a2 2

a 1

+

< − +

Ví dụ 3 Giải hệ bất phương trình

+ >





− ≤

Hệ (4) ⇔

3 x

2

 > −





 ≤ −



2

1.2 Bất phương trình bậc hai

1.2.1 Xét bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c > 0

(hoặc ax2 + bx + c ≥ 0), a ≠ 0, a, b, c ∈ R

Xét bất phương trình

f(x) : = ax2 + bx + c > 0, a ≠ 0 (5)

Ta có

2 2

b



a) Giả sử ∆ < 0 Khi đó

+ nếu a > 0 thì f(x) luôn luôn dương và (5) nghiệm đúng với mọi x + nếu a < 0 thì (5) vô nghiệm

b) Giả sử ∆ = 0

+ nếu a > 0 thì (5) có tập nghiệm





 + nếu a < 0 thì (5) vô nghiệm

c) Giả sử ∆ > 0 Khi đó f(x) = a(x − x1)(x − x2), trong đó

1

b

x

2a

− − ∆

2a

− + ∆

=

Từ đó :

+ Nếu a > 0 thì (5) có tập nghiệm (−∞, x1) ∪ (x2, +∞)

+ Nếu a < 0 thì (5) có tập nghiệm là (x2, x1)

Ví dụ 4 Giải bất phương trình

2x2 − 3x + 1 < 0 (6)

Giải Tam thức bậc hai 2x2 − 3x + 1 có 2 nghiệm

1

1

x

2

= , x2 = 1 và a = 2 > 0 Vì vậy (6) có tập nghiệm là 1, 1

2

Ví dụ 5 Tìm a để phương trình

(a − 2)x2 − 2ax + 2a − 3 = 0 (7)

Có hai nghiệm phân biệt

Giải (7) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

0

≠



∆ >

≠







≠





⇔ a ∈ (1, 2) ∪ (2, 6)

Ví dụ 6 Tìm a để mọi nghiệm của bất phương trình

x2 − 3x + 2 < 0 (8)

cũng là nghiệm của bất phương trình

f(x) : = ax2 − (3a + 1)x + 3 > 0 (9)

Giải (8) có tập nghiệm là (1, 2)

Phương trình f(x) = 0 (với a ≠ 0) có nghiệm là 1

a và 3

a) a = 0 Khi đó (9) ⇔ x < 0 và như vậy a = 0 là giá trị cần tìm

b) a < 0 Khi đó 1

a < 1 < 2 < 3 và do đó (1, 2) ⊂ 1, 3

a







 Vậy a < 0 cũng thỏa mãn

c) Xét a > 0

c1) Nếu 3 < 1

a (⇔ a < a < 1

3) thì miền nghiệm của (9) là (−∞, 3) ∪ 1

,

a





 ⊃ (1, 2)

Như vậy 0 < a < 1

3 cũng thỏa mãn đầu bài

c2) Xét 1 3

a ≤ (⇔ a ≥ 1

3) thì (9) có tập nghiệm M ,1

a

 −∞





 ∪ (3, +∞)

Để M ⊃ (1, 2) điều kiện cần và đủ là 2 ≤ 1

a ⇔ a ≤ 1

2

2 1.2.2 Định lí đảo về tam thức bậc hai

Giả sử f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0

a) Nếu tồn tại α sao cho af(α) < 0 thì ∆ > 0 và f(x) có hai nghiệm x1

và x2 thỏa mãn

x1 < α < x2

b) Nếu tồn tại α sao cho

0f

∆ >



 α >



thì f(x) có hai nghiệm x1 < x2 và α ∉ [x1, x2]

c) Nếu tồn tại α sao cho

∆ > 0

af(α) = 0

b

2a

− > α (tương ứng b

2a

− < α ),

thì hai nghiệm x1, x2 của f(x) thỏa mãn

α < x1 < x2 (tương ứng x1 < x2 < α)

d) Nếu tồn tại hai số α và β (α < β) sao cho f(α)f(β) < 0 thì trong khoảng (α, β) f(x) có đúng một nghiệm

Ví dụ 7 Tìm tất cả các số a sao cho phương trình

x2 − 2(a − 1)x + (2a + 1) = 0 (1)

có hai nghiệm dương phân biệt

Giải Theo 1.2.2.b), điều kiện cần và đủ để (10) có hai nghiệm dương

phân biệt là :

1.f(0) 0

b

0

2a

∆ >



 >



− >



⇔

a 1 0 2a 1 0

− >



 − >



 + >



⇔

⇔ a ≥ 4 ⇔ a ∈ [4, +∞)

Ví dụ 8 Tìm tất cả các số a sao cho phương trình

f(x) : = 2x2 − 2(2a + 1)x + a(a − 1) = 0 (11)

có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < a < x2

Giải Theo 1.2.2.a), điều kiện cần và đủ để (11) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < a < x2 là

2.f(a) = 2a2 − 2(2a + 1)a + a(a − 1) < 0

⇔ −a2 − 3a < 0 ⇔ a ∉ [−3, 0]

Ví dụ 9 Tìm a để bấtphương trình

f(x) : = x2 + ax + a2 + 6a < 0 (12)

có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1, 2)

Giải Đầu tiên, nhận xét rằng (12) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ > 0 ⇔

−3a2 − 24a > 0 ⇔ a(a + 8) < 0

⇔ a ∈ (−8, 0) (13)

Khi đó, (12) có tập nghiệm

a 3a(a 8) a 3a(a 8)

2

≤ (14)

2 2

(13) & (14) ⇔ −3a(a+8)≤ + ⇔ a 2

≥ −





− < <



0

a

2

 ≥



− < <



5

2

− +

< < (16)

(13) & (15) ⇔ −8 < a ≤ 4− − 12 (17)

2

− +

1

l

1.3 Bất phương trình đại số bậc cao

Đó là bất phương trình có dạng

−

trong đó ao, , an ∈ R, ao ≠ 0

Cách giải (18) thường được sử dụng là phân tích f(x) dưới dạng tích

f(x)=a (x− α ) (x− α ) (x +p x+q )

r

l 2

(x +p x+q ) , (18')

trong đó α1 < α2 < < αm và

2

p −4q < , , 2

p −4q < Sau đó lập bảng xét dấu để tìm các khoảng nghiệm

Ví dụ 10 Giải bất phương trình

(x − 3)(3+ x)(2 − x) > 0 (19)

Giải (19) ⇔ [x − (−3)](x − 2)(x − 3) < 0

Lập bảng xét dấu ta nhận được

(19) ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (2, 3)

Ví dụ 11 Giải bất phương trình

f(x) = (x + 3)(x + 2)5(2 − x)3(2x + 2)2 (20)

Giải Phương trình có các nghiệm −3, −2, −1, 2

(20) ⇔ [x − (−3)][(x − (−2)]5(x − 2)3[x − (−1)]2 (21)

Ta có sơ đồ sau :

Từ đó (20) ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (−2, −1) ∪ (−1, 2)

Nhận xét Nếu f(x) có dạng (18') thì dấu của f(x) cùng dấu với

Từ đó f(x) > 0 ⇔ g(x) > 0

1

k

g(x) :=a (x− α ) (x− α )k m

)

Giả sử ao > 0 Khi đó g(x) > 0 trên (αm, +∞)

Nếu km chẵn thì g(x) vẫn dương trên (αm−1, αm)

Nếu km lẻ thì g(x) < 0 trên (αm 1− ,αm

Tương tự, nếu biết dấu của g(x) trên khoảng (ai, ai+1) thì dấu của g(x) giữ nguyên hay đổi dấu tùy thuộc vào ki chẵn hay lẻ Bằng cách đó ta xác định được dấu của g(x) trên mỗi khoảng (ai, ai+1) Từ đó tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 (hay < 0) là hợp của các khoảng mà g(x) > 0 (hay g(x) < 0)

Ví dụ 12 Giải các bất phương trình

a) f = x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24 > 0, (22)

b) g = 3x4 − 24x3 + 53x2 − 20x − 12 < 0 (23)

Gợi ý a) (22) ⇔ (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) > 0

Đáp số x ∈ (−∞, 1) ∪ (2, 3) ∪ (4, +∞)







⇔ x 2 4 , 1 3, 2 4





 1.4 Bất đẳng thức phân thức

Đó là các bất đẳng thc dạng

f(x)

0

g(x)> , f(x) 0

g(x)< , f(x) 0

g(x)≥ , f(x) 0

g(x)≤ , trong đó f, g là các đa thức hệ số thực

Ta có

a) f(x) 0

g(x)> ⇔ f(x)g(x) > 0,

b) f(x) 0

g(x)< ⇔ f(x)g(x) < 0

g(x) 0





d) f(x) 0

g(x) 0

≤





≠



Ví dụ 13 Giải bất phương trình

x

x 2>2

2(x 2)

+ >

− ⇔ (x − 2)(x + 2) > 0

⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, +∞)

Ví dụ 14 Giải bất phương trình 1 1

1

Giải (25) ⇔ x2 2 0

−

≤



⇔ 

Sử dụng nhận xét trong mục 1.3 ta có

(26) ⇔ x ∈ (−∞, − 2] ∪ (0, 1) ∪ [ 2 , 2)

Ví dụ 15 Tìm a sao cho hệ bất phương trình

2

2

2

2

2

3

<







(27)

nghiệm đúng với mọi x

Giải (27) ⇔

2 2 2 2

0

0

>







2

2







Vậy để (27) nghiệm đúng với mọi x cần và đủ là

(29)

2

1

2

2









⇔ a ∈ (−1, 2) hay −1 < a < 2

Ví dụ 15 Giải và biện luận bất phương trình

2

x 1

Giải Kí hiệu f(x) = x2 − 5x + 6 − a Biệt thức của f là ∆ = 4a + 1

a) Nếu a < 1

4

− thì f(x) > 0 với ∀x ∈ R Khi đó g(x) > 0 ∀x > 1

b) Nếu a = 1

4

− thì

2

5 x 2

x 1

− khi x > 1 và x ≠

5

2

c) Xét a > 1

4

−

g(x) > 0 ⇔

f(x) 0

x 1 0 f(x) 0

x 1 0

 >



 − >





 <

 − <





⇔

1 2

2

2

x 1







 >



 < <

 <





+ Nếu 1 < x1 ⇔ 1

4

− < a < 2 thì hệ đầu cho ta 1 < x < x1 hoặc x > x2 còn hệ sau vô nghiệm

+ Nếu x1 = 1 ⇔ a = 2 thì hệ sau vô nghiệm còn hệ đầu cho ta x > 4 + Nếu x1 < 1 ⇔ a > 2 thì hệ sau cho x > x2 còn hệ đầu cho x1 < x < 1 hoặc x > x2

Tóm lại a) a < 1

4

− : x ∈ (1, +∞)

b) a = 1

4

− : x ∈ (1, +∞)\{ }5

2 c) a < 2 : x ∈ (1, x1) ∪ (x2, +∞)

d) a = 2 : x ∈ (4, +∞)

e) a > 2 : x ∈ (x1, 1) ∪ (x2, +∞)

2 Bất phương trình vô tỉ

Đó là bất phương trình dạng f(x) > 0 (f(x) < 0), trong đó f(x) là hàm

mà ẩn x có mặt dưới căn Trong quá trình giải người ta thường sử dụng các phép biến đổi tương đương sau :

a) 2n 1+ f(x)>g(x)⇔f(x)>g2x 1 + (x)

b) 2n

2n

g(x) 0 f(x) 0 f(x) g(x)

g(x) 0









 >



f(x)<g(x)⇔f(x)<g + (x)

d) 2n

2n

f(x) 0

≥





 <



Chú ý 1) Bất phương trình f(x) ≥ 0 ⇔ f(x) 0

f(x) 0

=



 >

 2) Khi giải bất phương trình vô tỉ cần phải xác định tập xác định, sau

đó thực hiện các phép biến đổi tương đương trên tập xác định của hàm

Ví dụ 1 Giải bất phương trình

2

(x 1) x− − − ≥ (1) x 2 0

Giải (1) ⇔

2

2

x 1 0

x 1 0

 − ≥



0

− − ≥





− ≤









⇔

2

x 1

x 1

 ≥







 ≤





≥



 = −



Ví dụ 2 Giải bất phương trình

2

(2) ⇔

2

2

 − ≥





− <









x

x

⇔

2

 ≤







 >











⇔

23

5

 ≤





 −  − <



>









< ≤



 < ≤

Ví dụ 3 Giải bất phương trình

16x−2x (3)

Giải (3) ⇔ 2 ⇔

− ≥











x 1,5

≥





⇔ 2 < x ≤ 3

Ví dụ 4 2 x 4x 3 2

x

≥

(4) ⇔

 >







 <







⇔

 >



− ≥ −





 <







2

2

 >



 − <







>













 <

 − ≥















3

2 3

1 x 2

 < ≤





 ≤ ≤



 <



≤ ≤



 <



Ví dụ 5 Giải bất phương trình

x −8x 15+ + x +2x 15− > 4x −18x 18+ (5)

Giải Tập xác định gồm các x ∈ R thỏa mãn

2

2

2







⇔

3

2

≤ ∨ ≥





3

≤ − ∨ ≥



 ≤ − ∨ ≥



Vậy D = {3} ∪ (−∞, −5] ∪ [5, +∞)

x = 3 không là nghiệm Vậy

(5) ⇔

 ≥







⇔

 ≥





⇔

 ≥







⇔

 ≥





 ≥



≥

17

3

Ví dụ 6 Giải bất phương trình

1 x

−

Tập xác định gồm các x thỏa mãn

(x 1)(x 1)

0 x

x 1

0

x



 −



⇔

x 1 0

x 1 0 x

+ ≥





 −

≥

Với x như vậy, để x là nghiệm của (6) thì

1

− > −1 ⇔ x > 1

Trên (1, +∞), (6) ⇔

2

x 1

x

−

x

−

2 2 x2−1 x+ >x 0

x − −1

2

x − −1 x > 0

Vậy tập nghiệm của (6) là (1, +∞)

Ví dụ 7 Giải và biện luận

(x−a)(x+ −a 2)≥2x− − (7) a 1

Điều kiện (x − a)(x + a − 2) ≥ 0 ⇔ (x − 1)2 − (a − 1)2 ≥ 0

 ≥ + −





≤ − −

(x 1)− − −(a 1) ≥2(x 1) (a 1)− − −

⇔



− − − ≤

















2

⇔

a 1

x 1

2

a 1

2

 ≥ + −

 



 − + − − − ≤



 > +





⇔

a 1

2

 ≤ − −



=







 =



−

 > +





⇔ x ≤ 1 a− −1

Ví dụ 8 Giải bất phương trình

2 x+ > + (10) a x 1

Giải Tập xác định {x : x ≥ −a} Khi đó

2

x 1 0

x 1 0

 + <







 + ≥



 + > +



− ≤ < −





 − < < +





 > −



Từ đó, nếu

+ 0 < a ≤ 1 thì 1 2− a < < +x 1 2 a 1

+ a > 1 thì −a ≤ x < 1 + 2 a

a ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm