De Dap an thi HSG 9 Hai Lang 2012

Thí sinh giải cách khác đúng vẩn dạt điểm tối đa..[r]

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2012-2013

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (4 điểm): a) Thu gọn biểu thức :

P

=

b) Tính giá trị của biểu thức :

x y Q

x y

-= + ; biết x2- 2y2=xy và y¹ 0, x+ ¹y 0

Bài 2 (4 điểm): Giải phương trình: ( x 3+ - x)( 1 x 1- + =) 1

Bài 3 (4 điểm): Tìm 1 số có 2 chữ số biết rằng nó bằng lập phương của 1 số tự

nhiên và tổng các chữ số của nó bằng bình phương của số tự nhiên đó?

Bài 4 (4 điểm): Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: 10x2 + 29xy + 21y2 = 2001

Bài 5 (4 điểm): Trên cạnh AB, AC của ∆C lần lượt lấy E, F sao cho BE = CF.

Gọi M, N là các trung điểm của BC và EF Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB tại H, cắt đường thẳng AC tại K Chứng minh ∆ cân

Hết

Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….………. Số BD: ……….

ĐỀ CHÍNH THỨC

VÒNG 1

HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VÒNG I

MÔN TOÁN 9 (2012-2013)

Bài 1 (4 điểm) : a) P

=

( 2 3 2 1)( 2)

=

+ + ( 0,5 điểm)

P 1= + 2 ( 0,5 điểm)

b) Từ giả thiết x2- 2y2=xy suy ra (x+y x 2y)( - )=0. ( 1 điểm)

Do x+ ¹y 0 nên x = 2y ( 0,5 điểm)

Vậy

x y 2y y 1 Q

x y 2y y 3

+ + ( 0,5 điểm)

Bài 2 (4 điểm): ĐK: 0 x 1£ £ ; ( 0,5 điểm)

Ta thấy x = 1 là một nghiệm của pt (1) ( 0,5 điểm)

Với 0 x 1£ < , ta có:

3

1 x 1 1

ü ï

ïï ïï

Û - + = + + ïïþ ( 1 điểm)

Nếu 0 x 1£ < thì 3 1 x 1( - + )

> 3 đồng thời x 3+ + x< 4+ 1 3= (1,5điểm)

Suy ra: VT > VP Vậy x =1 là nghiệm duy nhất của pt đã cho (0,5 điểm)

Bài 3 (4 điểm):

Gọi số cần tìm : ab

Ta có: ab = t3 và a + b = t2 với t N

1 ≤ a + b ≤ 18 suy ra: 1 ≤ t2 ≤ 18 ⇒ 1 ≤ t ≤ 4 Lại có: ab ≥ 10 suy ra : t3 ≥10 ⇒ t

≥ 3 ⇒ t = 3 hoặc t = 4 (loại) Vậy : ab = 27

Bài 4 (4 điểm):

Ta có : 10x2 +29xy +21y2 = 2001 (5x +7y)(2x +3y) = 2001 = 3.23.29

x và y là 2 số tự nhiên nên ta có : 5x + 7y > 2x + 3y ≥ 5 (x ; y ≠ 0)

Suy ra : 5x + 7y =87 5x + 7y = 69 x = 100 x = 4 2x + 3y =23 2x + 3y = 29  y =-59 y = 7

x , y tự nhiên nên ta có số phải tìm là : x = 4

y = 7

Bài 5 (4 điểm):

Gọi I là trung điểm EC

0.5

IE = IC, MB = MC  MI là đường trung bình ∆C

 MI =

EB

2 và MI // EB

0.5 0.5

IE = IC , NE = NF  NI là đường trung bình ∆FC

 NI =

FC

2 và NI // FC

0.5 0.5

mà EB = FC (gt) MI = NI ∆ cân M 1 N1 0.5 Khi :

MI //EB M 1 H 1(so le trong)

NI //FC  N 1K 2(đồng vị) mà K 2 K 1(đối đỉnh) N 1 K 1

0.5

Và vì M 1 N 1H 1 K 1∆ cân 0.5

Thí sinh giải cách khác đúng vẩn dạt điểm tối đa.