Tìm vị trí của M trên C để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó.. Tìm tọa độ đỉnh C..[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
ĐỀ THAM KHẢO Môn: TOÁN; Khối A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề.
ĐỀ SỐ 6
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
1
x y x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất
Câu II (2 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
2 Giải phương trình:
Câu III (1 điểm)
Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB = 2R.Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R 3 I là điểm thuộc đoạn OS với SI =
2 3
R
M là một điểm thuộc (C) H là hình chiếu của I trên SM Tìm vị trí của M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó
Câu IV (1 điểm)
Tính tích phân: I =
1
2
dx
Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng
1
x y y z z x
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích
bằng
3
2 và trọng tâm thuộc đường thẳng : 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C
Câu VII.a (1 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số
đôi một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó phải có chữ số 7
Câu VIII.a (1 điểm) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm:
2
log x 1 log (ax a )
B.Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E):
2 2
1
và đường thẳng :3x + 4y =12 Từ điểm M bất kì trên kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định
Câu VII.b (1 điểm) Cho hàm số
2 4 3 2
y x
có đồ thị (C).Giả sử đường thẳng y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Tìm tập hợp trung điểm I của AB khi k thay đổi
Trang 2Câu VIII.b (1 điểm) Giải phương trình: log 2 log 2 2
3 1 xx 3 1 x 1 x
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 6
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Lu ý:Mọi cách giải đúng và ngắn gọn đều cho điểm tối đa
Câu Đáp án Điểm
I 1.(1,0 điểm) Khảo sát
(2,0 điểm) * Tập xác định: D = R\{ - 1} * Sự biến thiên - Giới hạn và tiệm cận: xlim y xlim y 2 ; tiệm cận ngang: y = 2 lim( 1) ; lim( 1) x y x y ; tiệm cận đứng: x = - 1 0,25 - Bảng biến thiên Ta có 2 1 ' 0 ( 1) y x với mọi x- 1 x - ∞ -1 + ∞
y’ + +
y + ∞ 2
2 - ∞
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- ∞ ; -1) và ( -1; + ∞ ) 0,5 * Đồ thị 0,25 2 (1,0 điểm) Tìm trên (C) những điểm
Gọi M(x0;y0) là một điểm thuộc (C), (x0- 1) thì
0 0 0
1
x y x
Gọi A, B lần lợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì
0,25
0,25
Trang 3MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = |
0 0
1
x x
- 2| = | 0
1 1
x |
Theo Cauchy thì MA + MB 2
0
0
1
x 1
1
x
=2
MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x0 = 0 hoặc x0 = -2.Nh vậy ta có hai điểm cần tìm là (0;1) và (-2;3)
0,25
0,25
II 1.(1,0 điểm) Giải hệ
(2,0 điểm)
Điều kiện: x-1, y1 Cộng vế theo vế rồi trừ vế theo vế ta có hệ
Đặt u= x 1 x6, v = y 1 y4 Ta có hệ
10
5 5 2u v
u v
5
u
v
3
5
x
y là nghiệm của hệ
0,25 0,25
0,25 0,25
2 (1,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh Điều kiện:sinx.cosx0 và cotx1 Phơng trình tơng đơng
1
cosx =
2
Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x = 4 k2
0,25 0,25
0,25 0,25 III Tìm vị trí
Trang 4(1,0 điểm)
S
H I
O
B
M A
Tứ giác IHMO nội tiếp nên SH.SM = SI.SO mà OS = R 3, SI =
2 3
R
,
SM = SO2OM2 2R SH = R hay H là trung điểm của SM Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên mp(MAB) thì HK =
1
3 2
R , (không đổi)
VBAHM lớn nhất khi dt(MAB) lớn nhất M là điểm giữa của cung AB
Khi đó VBAHM=
3
3
6 R (đvtt)
0,25
0,25 0,5
IV Tính tích phân
(1,0 điểm)
Đặt u = x+ 1 x 2 thì u - x= 1 x 2 x2 2ux u 2 1 x2
2
2
1
u
Đổi cận x= - 1 thì u = 2-1
x = 1 thì u = 2+1
2
1
2
du
u I
=
2
du
du
=1
0,25 0,25
0,25 0,25
Câu V
(1,0 điểm)
Đặt x=a3 y=b3 z=c3 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có
a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-abab
0,25
Trang 5 3 3
a b 1 ab a b c
Tơng tự ta có
3 3
c 1 bc a b c
b , 3 3
a 1 ca a b c
Cộng theo vế ta có
x y y z z x = 3 3
1
1
1
a b c ab bc ca
1
1
a b c c a b
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
0,5
0,25
VI a Tìm tọa độ
(1,0 điểm)
Ta có: AB = 2, M = (
;
2 2 ), pt AB: x – y – 5 = 0
SABC=
1
2d(C, AB).AB =
3
2 d(C, AB)=
3 2
Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)=
1 2
d(G, AB)=
(3 8) 5 2
t t
=
1
2 t = 1 hoặc t = 2
G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)
Mà CM 3GM
C = (-2; 10) hoặc C = (1; -4)
0,25
0,5 0,25
VII a Từ các chữ số
(1,0 điểm)
Gọi số có 6 chữ số là abcdef Nếu a = 7 thì có 7 cách chọn b, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách chọn e, 3 cách chọn f ở đây có 7.6.5.4.3 = 2520số
Nếu b = 7 thì có 6 cách chọn a, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách chọn e, 3 cách chọn f ở đây có 6.6.5.4.3 = 2160số
Tơng tự với c, d, e, f Vậy tất cả có 2520+5.2160 = 13320 số
0,25 0,5
0,25 VIII a Tìm a để
(1,0 điểm) Điều kiện: ax + a > 0
Bpt tơng đơng x2 1 a x( 1)
Nếu a>0 thì x +1 >0.Ta có
2 1 1
x
a x
0,25
Trang 6Nếu a<0 thỡ x +1 <0.Ta cú
2 1 1
x
a x
Xột hàm số y =
2 1 1
x x
với x - 1
y’ = 2 2
1
x
=0 khi x=1
x - Ơ -1 1 + Ơ y’ - || - 0 +
y -1 + 1
-
2 2
a>
2
2 hoặc a < - 1
0,25
0,25 0,25
VI b Chứng minh
(1,0 điểm) Gọi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2)
Tiếp tuyến tại A cú dạng
Tiếp tuyến đi qua M nờn
0 1 0 1 1
(1)
Ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa món (1) nờn đờng thẳng AB cú pt
do M thuộc nờn 3x0 + 4y0 =12 4y0 =12-3x0
4
4
Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB đi qua với mọi M thỡ (x- y)x0 + 4y – 4 = 0
0 1
Vậy AB luụn đi qua điểm cố định F(1;1)
0,25
0,5
0,25 VII b Tỡm tập hợp
(1,0 điểm)
y = kx + 1 cắt (C):
2 4 3 2
y x
Ta cú pt
2 4 3 2
x
= kx + 1 cú 2 nghiệm phõn biệt k1
Trung điểm I của AB có tọa độ thỏa mãn
2 3
2 2 1
k x k
y kx
2
y
x
0,25
0,5
0,25
Trang 7Vậy quĩ tích cần tìm là đờng cong
2
y
x
VIII b Giải phơng trỡnh
(1,0 điểm) Điều kiện : x>0
Đặt log 2
=u, log 2
ta cú pt
u +uv2 = 1 + u2 v2 (uv2-1)(u – 1) = 0
21 1
u
uv
x =1
0,25 0,5 0,25