Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 2; 3 và đường thẳng đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox... Viết phương trình.[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
-ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn thi: TOÁN; Khối D
Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
2 1 1
x y x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình
sin2x 2cos x sin x 1
0 tan x 3
2 Giải phương trình
2
2 log (8 x ) log ( 1 x 1 x ) 2 0 (x )
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
4
0
4x 1
2x 1 2
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC)
vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2 a 3 và SBC= 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Câu V (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
2
2 ( 2)
( , )
1 2
x y
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x y 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và C
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng
:
Viết phương trình
đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết : z (2 3 ) i z 1 9 i
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tỏa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C) : x2 + y2 2x + 4y 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng cắt (C) tại điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
và mặt phẳng
(P) : 2x y + 2z = 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
2
1
y
x
trên đoạn [0;2].
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……… …….Số báo danh: ………
Trang 2BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I :
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
D = R \ {-1}
y/ = 2
1
( x 1) > 0 với mọi x D
1
lim
và lim1
x = -1 là TCĐ lim 2
x y
y = 2 là TCN BBT :
y + 2
2 -
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, không có cực trị
Đồ thị hàm số :
2 Pt hoành độ giao điểm :
2 1
2 1 1
x
x
kx2 + (3k - 1)x + 2k = 0 (x = -1 không là nghiệm)
Ycbt : k 0 và = k2 - 6k + 1 > 0 k < 3 2 2 k 3 2 2 và k 0 (*)
Khoảng cách từ A và B đến Ox bằng nhau
yA=yB kx A2k 1 kx B 2k1
A B
k = – 3 (thỏa đk (*) ) Vậy YCBT k = – 3
Câu II :
1)
sin 2 2cos sin 1
0 tan 3
x
đk : tgx 3; cosx 0
Pt sin2x + 2cosx sinx 1 = 0 2sinxcosx + 2cosx (sinx + 1) = 0
2cosx (sinx + 1) (sinx + 1)= 0 (2cosx 1)(sinx + 1) = 0
2
2
x
so đk ta có nghiệm của pt : x 3 k 2 ( k )
x
y
O 2 -1
Trang 32)
2
log (8 x ) log ( 1 x 1 x) 2 (x [-1;1])
log (82 x2) 2 log ( 1 2 x 1 x) 8 x2 = 4( 1 x 1 x ) (*)
Đặt t = 1 x 1 x
(*) thành (t 2)2 (t2 + 4t + 8) = 0
t = 2 1 x 1 x = 2 x = 0 (nhận)
Câu III :
I =
4
0
4 1
2 1 2
x
dx x
Đặt t = 2 x 1 2 => (t - 2)dt = dx
=> I =
2
Câu IV :
Gọi H là hình chiếu của S xuống BC
Vì (SBC) (ABC) nên SH (ABC)
Ta có SH = a 3
Thể tích khối (SABC) =
1
.
3 SABC SH
3
1 1 ( 3a.4a).a 3 2a 3
Ta có : Tam giác SAC vuông tại S
vì SA = a 21; SC = 2a; AC = 5a.
Diện tích (SAC) = a2 21
d(B,(SAC)) =
3 SABC
SAC
V
S =
3 2
3.2 3 21
a
6 7
a
Câu V :
Hệ
2
2
4
Hệ thành :
2 (1 2 )
1 2
(2 1)
2
1 2
(1)
2 1
m u
Đặt f(u) =
,
u u
; f/(u) =
2 2
(2 1)
u
;f/(u)=0
1 3 2
(loại) hay
1 3 2
u
u
1 4
2
+
f/(u) + 0
f(u)
2 3 2
5 8
–
Vậy hệ có nghiệm (1)có nghiệm thuộc
;
Câu VIa :
B
A
S C H I J
Trang 41 Gọi M là trung điểm của AC, ta có
;1
BM BG M
Gọi N là điểm đối xứng của B qua phân giác trong của góc A và H là giao điểm của với đường thẳng BN Đường thẳng BN có phương trình : x + y + 3 = 0
=> Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình :
3 0
( 1; 2)
1 0
x y
H
x y
H là trung điểm của BN
(2; 5)
N
Đường thẳng AC qua 2 điểm M, N nên có pt : 4x – y – 13 = 0
A là giao điểm của đường thẳng và đường thẳng AC nên tọa độ A là nghiệm
của hệ :
(4;3)
1 0
x y
A
x y
M là trung điểm của AC
C (3; 1)
2 Gọi M là giao điểm của đường thẳng với Ox M (m; 0; 0) AM = (m – 1; -2; -3)
AM d AM .a d
= 0 m = -1 AM
= (-2; -2; -3)
Vậy pt là
Câu VII.a :
Gọi z = a + bi (a, b R) Khi đó z (2 + 3i)z = 1 – 9i a + bi – (2 + 3i)(a –bi) = 1 – 9i
–(a + 3b) + (3b –3a)i = 1 –9i
Vậy z = 2 –i
Câu VI.b :
1 Đường tròn (C) có tâm I (1; -2), R = 10
(0; 2)
Vì I và A cách đều M, N nên MN AI, vậy pt MN có dạng : y = b
MN = 2 d A MN/ 2b
I MN
d b
2
2
I MN
MN
d R b b b v b
Vậy Pt : 1 : y = 1 ; 2 : y = 3
2 Phương trình tham số đường thẳng
1 2
3 4
z t
I () I (1 + 2t; 3 + 4t; t)
d (I, P) =
2(1 2 ) (3 4 ) 2
3
= 1 t = 2 hay t = -1
I1 (5; 11; 2) Pt mặt cầu (S) : (x – 5)2 + (y – 11)2 + (z – 2)2 = 1
I2 (-1; -1; -1) Pt mặt cầu (S) : (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 1
Câu VII.b :
Trang 5Ta có : y/ =
2 2
( 1)
x
; y/ = 0 x = 0 v x = – 2 (loại) mà y(0) = 3 và y(2) =
17 3
Vậy GTLN là
17
3 và GTNN là 3