5,0 điểm Nhân dịp kỷ niệm 1000 năm Thăng Long, người ta cho lát lại đường ven hồ Hoàn Kiếm bằng các viên gạch hình lục giác đều.. Dưới đây là viên gạch lục giác đều có 2 mầu các hình trò[r]
Trang 1KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012-2013
Hä vµ tªn häc sinh:………Lớp: ………
Ngµy sinh: ……… Sè b¸o danh:
-§iÓm bµi thi Gi¸m kh¶o1: Sè ph¸ch B»ng sè B»ng ch÷ Gi¸m kh¶o1: Bài 1 (5,0 điểm) a) Tính các giá trị của các biểu thức sau (kết quả lấy 5 chữ số thập phân): 2 o ' o ' o ' 2 o ' 2 o ' 2 o ' sin 33 12 sin 56 48.sin 33 12 sin 56 48 A 2sin 33 12 sin 56 48 1 + -= + + B= 321930+ 291945+ 2171954+ 3041975 Kết quả:
A ………
B ………
b) Tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100 Trình bày sơ lượt lời giải và kết quả: S = ………
………
………
………
………
………
………
Bài 2: (5,0 điểm)
a) Một học sinh có 32 ô vuông Ô thứ nhất bỏ 1 hạt thóc, ô thứ hai bỏ 2 thóc, ô thứ
ba bỏ 4 hạt thóc, ô thứ tư bỏ 8 hạt thóc, …(số hạt thóc ô tiếp theo gấp đôi ô trước) và đặt liên tiếp như vậy đến ô cuối cùng Hỏi cần bao nhiêu hạt thóc để đặt vào đủ 32 ô vuông đó
Trang 2b) Tìm các chữ số x, y sao cho A = 9x1 167 y17 là lập phương của một số tự nhiên.
a) Số hạt thóc cần là:………
………
………
………
………
………
c) x = …… ; y = ……
Trình bày sơ lược cách tìm:………
………
………
………
………
………
………
Bài 3 (5,0 điểm) a) Giải các phương trình sau: (Kết quả lấy chính xác dưới dạng phân số và số thập phân):
4 1 1 4 1 8 2 1 1 9 3 2 4 4 2 1 4 1 1 2 7 5 1 8 x b) Tính a, b biết: B=329 1051= 1 3+ 1 5+ 1 a+1 b a) x = - và x = ………
Trình sơ lược cách giải (nếu có): ………
………
………
………
………
………
………
………
b) a = ………
b = ………
Trang 3………
………
………
………
………
………
Bài 4: (5,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức 2 2 2 2 ( 5 )( 5 ) 5 5 ( , ) 5 5 x y x y x y x y P x y x y x xy x xy với x = 0.987654321 và y = 0.123456789 Kết quả: P = ………
b) Tính tích sau: M = 20102011 x 20112012 Kết quả: M = ………
Trình sơ lược cách giải: ………
………
………
………
………
………
………
………
………
c) Tìm số dư trong phép chia 2009201020112012: 2020 Kết quả: Số dư cần tìm là: ………
Trình sơ lược cách giải: ………
………
………
………
………
………
………
Trang 4………
………
………
Bài 5 (5,0 điểm) a) Một người gửi tiết kiệm 250.000.000 (đồng) loại kỳ hạn 3 tháng vào ngân hàng với lãi suất 10,45% một năm Hỏi sau 10 năm 9 tháng, người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó b) Một người hàng tháng gửi tiết kiệm 10.000.000 (đồng) vào ngân hàng với lãi suất 0,84% một tháng Hỏi sau 5 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi Biết rằng người đó không rút lãi ra a) Kết quả: Số tiền người đó nhận được sau 10 năm 9 tháng là: ………
Trình sơ lược cách giải: ………
………
………
………
………
………
………
………
………
b) Kết quả: Số tiền người đó nhận được sau 5 năm là: ………
Trình sơ lược cách giải: ………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Trang 5Bài 6: (5,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393 cũng như 655 đều có số dư là 210
Trình sơ lược cách giải:
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Kết quả: Các số cần tìm là: ………
………
………
………
………
………
………
b) Tìm các số x, y sao cho khi chia xxxxx cho yyyy có thương là 16 dư là r, còn khi chia xxxx cho yyy cũng có thương là 16 nhưng có số dư là (r-2000) Trình bày sơ lược cách giải: ………
………
………
………
………
………
………
………
………
Kết quả: x = ………….
y = ………
Bài 7: (5,0 điểm) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) Trình bày sơ lược cách giải: ………
………
………
………
………
Kết quả: P(6) = …………
P(7) = …………
P(8) = …………
Trang 6………
………
………
………
………
………
P(9) = …………
Bài 8: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A = 90o, AB = 4,6892cm, BC = 5,8516cm, AH là đường cao, CI là phân giác của góc C Tính: a) Độ lớn góc B bằng độ và phút b) Tính AH và CI chính xác đến 9 chữ số thập phân Trình bày sơ lược cách giải: a) ………
………
………
………
Kết quả: B b) Tính AH: ………
………
………
………
………
Tính CI: ………
………
………
………
………
………
………
AH = ………
CI = ………
Bài 9: (5,0 điểm) Cho dãy số:
2 3
n
với n = 0, 1, 2, …
a Tính 8 số hạng U0; U1; U2; U3 ; U4, U5; U6 ; U7
b Trình bày cách tìm công thức truy hồi Un+2 theo Un+1 và Un
c Viết quy trình ấn phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Un
Trang 7a) Kết quả: U0 =…………
U1 = …………
U2 = …………
U3 = …………
b) Trình bày sơ lược lời giải: ………
………
………
………
………
………
………
c) Quy trình ấn phím liên tục tính Un+2 theo Un+1 và Unlà: ………
………
………
………
………
Bài 10 (5,0 điểm) Nhân dịp kỷ niệm 1000 năm Thăng Long, người ta cho lát lại đường ven hồ Hoàn Kiếm bằng các viên gạch hình lục giác đều Dưới đây là viên gạch lục giác đều có 2 mầu (các hình tròn cùng một màu, phần còn lại là màu khác) Hãy tính diện tích phần gạch cùng màu và tỉ số diện tích giữa hai phần đó, biết rằng 15 AB a cm * Kết quả: Diện tích phần gạch cùng mầu là: ………
Tỉ số diện tích giữa hai phần cần tìm là: ………
* Trình sơ lược cách giải: ………
………
A B F O
U4 =…………
U5 = …………
U6 = …………
U7 = …………
Trang 8………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
HẾT
Trang 9HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI VÒNG TRƯỜNG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
NĂM HỌC 2012 - 2013
điểm
Bài 1
(5.0
điểm)
a) (3.0 điểm) Ta có : A ≈ 0,02515
B ≈ 567,86590
1.5 1.5
b) (2.0 điểm)
4S = 1.2.3.4 + (5 - 1) 2.3.4 + (6 - 2).3.4.5 + + (101 - 97).98.99.100
= 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + + 97.98.99.100 +
+ 98.99.100.101
= 98.99.100.101
S = 98 99 100 1014
= 24497550
0.5 0.25
0.25 0.5 1.0
Bài 2
(5.0
điểm)
a) (2.5 điểm) Tổng số hạt thóc người đó cần là:
20 + 21 + 22 + 23 + …+ 231
= 232 – 1
= 4 294 967 295 (hạt)
1.0 0.5 1.0
b) (2.5 điểm) Đặt n3 = A =9x1 167 y17
Ta có 901 167 017 ≤ n3 ≤ 991 167 917
966 ≤ n ≤ 997
Quy trình ấn phím: 965D; D = D + 1: D3 Dừng lại khi D đến 997
KQ: x = 2; y = 3
0.5 0.25 0.25 0.5 1.0
Bài 3
(5.0
điểm)
a) (2.5 điểm)
x
Kết quả:
1270089 1111348
x
Hay x = 1.142836447
1.0 0.5
0.5 0.5
b) (2.5 điểm) 3291051 =
1 1051 329
=
1 3+64 329
=
1
329 64
=
1
64
Trang 10=
1
64 9
=
1
7+1 9
Bài 4
(5.0
điểm)
a) (1.5 điểm) Thu gọn biểu thức
10 ( , )
P x y
x
thế giá trị x = 0.987654321 tính được P = 10,125 1.5 b) (1.75 điểm) M = 20102011 x 20112012
= (2010 104 + 2011)(2011 104 + 2012) = 2010 2011 108 + 20112 104 + 2010 2012 104 + 2011 2012
2010 2011
4 0 4 4 1 2 0 0 0 0 0
4 0 4 6 1 3 2
Vậy M = 404.291.886.456.132
0.25 0.25
1.25
c) (1.75 điểm) Số dư trong phép chia 200920102: 2020 là 802
Số dư trong phép chia 802011201: 2020 là 501
Số dư trong phép chia 5012: 2020 là 972
Vậy số dư trong phép chia 2009201020112012: 2020 là 972
0.25 0.25 0.25 1.0
Bài 5
(5.0
điểm)
a) (2.5 điểm) Gọi a là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất một kỳ hạn và n là
số kỳ hạn thì số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn là : A = a(1+r) n
+ Lãi suất một kỳ hạn 3 tháng là 3 = 2,6125%
+ 10 năm 9 tháng = 129 tháng = 43 kỳ hạn + Số tiền nhận được sau 10 năm 9 tháng là :
A = 250 000 000 43
= 757 794 696,8 đ
1.0 0.5
1.0
b) (2.5 điểm) Gọi lãi suất hàng tháng là x, số tiền gốc ban đầu là a đồng
+ Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 1 là : a + ax = a(1+ x) đ
+ Số tiền gốc đầu tháng 2 là :
a(1+x) + a = a[(1+x)+1] = [(1+x)2–1] = [(1+x)2–1] đ + Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 2 là :
[(1+x)2–1] + [(1+x)2–1].x = [(1+x)3–(1+x)]
+ Số tiền gốc đầu tháng 3 là :
[(1+x)3–(1+x)] + a = [(1+x)3–(1+x)+x] = [(1+x)3 – 1] đ + Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 3 là:
[(1+x)3 – 1] + [(1+x)3 – 1].x = [(1+x)3 – 1](1+x) + Tương tự, đến cuối tháng n thì số tiền cả gốc và lãi là :
[(1+x)n – 1](1+x) đồng
0.25 0.25 0.25 0.25
Trang 11Với a = 10 000 000 đồng, x = 0,84%, n = 60 tháng thì số tiền nhận được
là : D = [(1+ 0,0084)60–1](1+ 0,0084) = 782 528 635,8 đồng 0.25
0.5 0.75
Bài 6
(5.0
điểm)
a) (2.5 điểm)
Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 x -210 chia hết cho 393
x = 655.q2 + 210 x -210 chia hết cho 655
x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965
x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2, ) hay x = 1965k + 210
- Từ giả thiết 10000 < x < 15000 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 5 k < 8
Tính trên máy:
Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035 Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000 Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965 Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965
0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
b) (2.5 điểm) Theo đề bài ta có : xxxxx = 16.yyyy + r (1)
xxxx = 16.yyy + r - 2000 (2)
Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được:
5x-1
8
Vì 0< x, y 9 nên ta thử lần lượt các giá trị x vào ta thấy x = 5, y = 3
x;yN
thỏa mản đề bài cho
Kết quả: x = 5, y = 3
0.25 0.25
0.5 0.5 1.0
Bài 7
(5,0
điểm)
Ta có P(1) = 1 = 12; P(2) = 4 = 22 ; P(3) = 9 = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x)
Vì hệ số của x5 bằng 1 nên Q(x) có dạng:
Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62
Hay P(6) = 5! + 62 = 156
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72
Hay P(7) = 6! + 72 = 769
P(8) = 7! + 82 = 5104
P(9) = 8! + 92 = 40401
0.5 0.5 0.5 0.5 0.75
0.75 0.75 0.75
Trang 12Bài 8
(5,0
điểm)
a) (1,5 điểm) Có
4.6892 cos
5.8516
AB B BC
Ấn phím: SHIFT COS-1 ( 4,6892 : 5,8516 ) =
0’ ’’ ( đọc kq trên màn hình 36 0 44’25,64 )
Vậy B 36 44o '
0.75 0.75
b) (3,5 điểm)
* ABH vuông tại H có sin
AH B AB
=> AH = AB sinB
Tnh tiếp: 4,6892 x sin Ans =
Kết quả:AH2,805037763 cm Dùng định lý Pitago ta có: AC BC2 AB2
C 90o B từ đó ta có: cos
C AC
2 CI => CI = AC: cos
C 2
Ấn phím: ( 5,8516 x2 - 4,6892 x2 ) SHIFT STO A 90
-SHIFT COS-1
( 4,6892 : 5,8516 ) = : 2 = ALPHA A : COS Ans =
Kết quả CI 3,915752461 cm
0.75
0.75 0.5 0.5
1.0
Bài 9
(5,0
điểm)
a.(2.0 điểm) Thay n = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 vào công thức ta được:
U0= 0, U1= 1, U2 = 4, U3 = 15, U4= 56, U5 = 209, U6 = 780, U7= 2911 2.0 b.(2.0 điểm) Cho Un + 2 = aUn + 1 + bUn + c Thay n = 0 ; 1 ; 2 vào công
thức, ta được hệ phương trình:
thế các giá trị U0 , U1, U2 ,U3 ,U4 và giải hệ phương trình ta được a
= 4, b = -1, c = 0
Vậy Un + 2 = 4Un + 1 – Un
0.5
1.0 0.5
c (1.0 điểm) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2
Đưa U1 vào A, tính U2 rồi đưa vào B: 1 4 – 0 Lặp lại dãy phím :4 – (được U3)
4 – (được U4)
1.0
Bài
10
(5,0
điểm)
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều là:
R
Diện tích mỗi hình tròn là:
2 2 12
a
R
0.75 0.5 1.0
5,8516
4,6892 I
H
C
Trang 13Diện tích 6 hình tròn là: 2 353, 42917
a
cm2
Diện tích toàn bộ viên gạch là:
2 3 3 2 3 6
a a
Diện tích phần gạch xọc là:
a a
Tỷ số diện tích 2 phần diện tích trên là:
gach xoc
6 hinh tron
S
65, 40%
0.75 1.0 1.0
* Lưu ý: Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm theo từng bài, từng ý.