1 Chứng minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luôn có diện tích PDE khônh lớn hơn 4 diện tích ABC.. Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích PDE đạt giá trị lớn nhất...[r]
Trang 1PGD KRÔNG BÚK
TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG
THI HS GIỎI – Năm học 07-08 Môn Toán 9 – Thời gian 150 phút
ĐỀ BÀI:
Bài 1: (2đ) Rút gọn biểu thức A x2 x1 x 2 x1
Bài 2 (3đ) Cho biểu thức
B
a/ Rút gọn B
b/ Chứng minh rằng
2 3
B
Bài 3: (3đ) Với a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a.b = c.d =1.
Chứng minh bất đẳng thức: a b c d 4 2a b c d
Bài 4 (3đ) Chứng minh rằng:
là số hữu tỷ
Bài 5 (3đ) Cho ba số x, y, z thỏa mãn
1 1
x y z
x y z
Hãy tính tổng x y z
Bài 6 (3đ) Cho ABC AB AC
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D
a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp BIC
b/ Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ABC với các cạnh AB, BC K là hình chiếu vuông góc của C xuống đường thẳng AI Chứng minh M, N, K thẳng hàng
Bài 7 (3đ) Cho ABC Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại E Chứng minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luôn có diện tích P ED khônh lớn hơn
1
4 diện tích ABC
Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích P ED đạt giá trị lớn nhất
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TOÁN 9 – Năm học: 07 – 08.
Bài 1 (2đ).
ĐK: x 1
Với 1 x 2 A x1 1 x1 1 2 0,25đ
Với x 2 A x1 1 x1 1 2 x1 0,25đ
Bài 2 (3đ) a/ Rút gọn biểu thức M ở trong ngoặc (…)
Ta có:
M
a
1
a B
a
(ĐKXĐ:
1
0, 1,
4
a a a
) b/ Vì
1
1 2
2
a
(1)
a
a a a a
Mặt khác: a a nên chia cả 2 vế của 1 0 (1) cho 3 1
2 a a ta có:
2đ
1đ
1,5 đ
Trang 31 2 3 1
a
a a
và vì a 1 nên dấu “=” không xảy ra
Vậy
3 2
B
với
1 0; 1;
4
a a a
Bài 3 (3đ) ta có:
4 2
0
a b c d a b c d
c d a b
(luôn đúng với , , ,a b c d0 à ab=cd 1v )
Bài 4 (3đ) Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Mỗi số hạng của C có dạng: 2 2 2
M
a b c
Trong đó a b c 0
Mà
2.a b c
M
1 1 1
a b c
là một số hữu tỷ C là số hữu tỷ
Bài 5 (3đ) Theo đề ra ta có x 1; y 1; z 0,5đ1
Nên x3x y2; 3y z2; 3 z2 0,5đ
x y z x y z
Đẳng thức xảy ra
0 0 0
z
z z
1 1 1
x y z
2 2 2
x x
y y
z z
Vậy x y z x 2y2z2 0,5đ.1
Bài 6 (3đ)
a/
D
BI A B
Mà
2
;
A B
BI DBI DBI c n
DB DI
DB DI DC
D
là tâm đường tròn ngoại tiếp BIC
b/
2
B
BI MN MNB mà
1đ
1,5đ
0,5đ
hoặc hoặc hoặc
1đ
1 3
2 1
2
D K
M
N I A
1đ
1đ
1đ
1,5đ
0,5đ
(1)
(T/c góc ngoài tam giác)
Trang 4
0
3
90
A B C
A B MNB
Chứng minh 4 điểm I, N, K, C cùng nằm trên một đường tròn
CNK CIK
(cùng chắn KC )
Mà
A B CIK
(T/c góc ngoài tam giác)
4
A C CNK
Từ (3), và (4) MNB CNK
B, N, C thẳng hàng
M, K ở hai nửa mặt phẳng bờ BC
Bài 7 (3đ)
Kẻ AH BC
AH cắt DE tại K
Đặt AH = h, AK = k
D
2
P E ABC
S DE h k P
k h k
k
Áp dụng bất đẳng thức 2 ab a b a b, 0
Dấu “=” xảy ra khi a b
Tổng không đổi thì tích lớn nhất khi a b
Ta có k + h – k = h không đổi k0,h k 0
tích k(h – k) lớn nhất khi 2
h
k h k k
2
D 2
4
4 P E 4 ABC
B B
h
h
D
P E
S lớn nhất khi k 2h tức DE là đường trung bình ABC.
M, N, K thẳng hàng
k K
H
E A
D
P
0,25đ
0,5đ
0,25đ
1đ
0,75đ
1đ
0,25đ