PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ.. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- 2012 HUYỆN HOẰNG HOÁ MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3,0 điểm)
:
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A > 0
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
( 6x + 7)(2x – 3) – (4x + 1)
7 3 4
x
b) Tính giá trị biểu thức P =
x y
x y
Biết x2 – 2y2 = x y ( x + y ≠ 0, y ≠ 0)
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: x6 – 7x3 – 8 = 0
b) Chứng minh rằng: Nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n N) đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40
Bài 4:(6,0điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H
a) Chứng minh ABD ACE
b) Chứng minh BH.HD = CH.HE
c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a, b
Bài 5: (3.0điểm)
a) Giải phương trình: (8x – 4x2 – 1).(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1)
b) Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ 0 Chứng minh rằng: a2 + b2 +
2 1
ab
a b
≥ 2
………HẾT………
Họ và tên thí sinh:……… Giám thị 1:………
Số báo danh:……… Giám thị 2:………
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2011- 2012
MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
Bài 1
(3,0điểm)
a) (2,0 điểm) KXĐ: x ≠ ± 1
:
=
2
2
.
1 1 2 1 2
x
0,25đ 0,75đ 1,0đ
b) (1,0 điểm) A > 0 1 – 2x > 0 x <
1 2
Đối chiếu ĐKXĐ, ta được - 1 ≠ x <
1
2
0,5 đ 0,5đ
Bài 2
(4,0điểm)
a) (2,0 điểm) ( 6x + 7)(2x – 3) – (4x + 1)
7 3 4
x
= 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x +
7
4 =
77 4
2,0đ
b) (2,0 điểm) x2 – 2y2 = xy x2 – xy – 2y2 = 0 (x + y)(x – 2y) = 0
Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0 x = 2y Khi đó A =
0,75đ 0,75đ 0,5đ
Bài 3
(4,0điểm)
a) (2,0 điểm) Ta có x6 – 7x3 – 8 = 0 (x3 + 1)(x3 – 8) = 0
(x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*)
Do x2 – x + 1 = (x –
1
2)2 +
3
4 > 0 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với mọi x, nên (*) (x + 1)(x – 2) = 0 x {- 1; 2}
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ b) (2,0 điểm) Do 2n + 1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 chia cho 8
dư 1, suy ra n là số chẵn
Vì 3n + 1 là số chính phương lẻ nên 3n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 3n 8 n 8 (1)
Do 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng bằng 1; 5; 9 do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4
Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + 2 , do đó 2n + 1 và 3n + 1 khi chia cho 5 đều dư 1 Suy ra 2n 5 và 3n 5 n 5 (2)
Từ (1) và (2) n BCNN(5; 8) hay n 40
0,25đ 0,5đ 0,25đ
0,5đ 0,5đ
Trang 3Bài 4
(6,0điểm)
a) (2,0điểm) Chứng minh được
b) (2,0điểm) Chứng minh được BHE CHD Suy ra BH.HD = CH.HE
1,0đ 1,0đ c) (2,0điểm)
Khi AB = AC = b thì ABC cân tại A Suy ra được DE // BC
DE =
.
AD BC AC
Gọi giao điểm của AH và BC là F AF BC,
FB = FC = 2
a
DBC FAC
DC
AC
=
2
2
a b
DE =
.
AD BC
(AC DC BC).
AC
=
2 ( ).
2
a
b b
=
2
2
b
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,5đ 0,25đ
0,5đ
Bài 5
(3,0điểm)
a) (1,5điểm)
Nhận thấy x = - 1 không phải là nghiệm của phương trình
Với x ≠ - 1 PT đã cho tương đương với
2
Ta có
=
2 2
3 ( 1) 3
4 4( 1) 4
x x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 x = 1(1) Lại có:
2
( 1)
x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 x = 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình chỉ có nghiệm x = 1
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b) (1,5điểm)
A
D E
H
Trang 4Ta có a2 + b2 +
2 1
ab
a b
≥ 2 (a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 2(a + b)2
(a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0
(a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 0
(a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ 0
[(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ 0 suy ra đpcm
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ