Phương pháp giải bài toán cực trị hình học
Dạng chung của bài toán cực trị hình học
Trong tất cả các hình có chung một tính chất, chúng ta cần xác định những hình mà một đại lượng nào đó (như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, ) có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất Bài toán này có thể được thể hiện dưới dạng bài toán về dựng hình.
Để xác định vị trí của dây đi qua điểm P nằm trong đường tròn (O) với độ dài nhỏ nhất, ta cần áp dụng các phương pháp hình học để chứng minh Việc này giúp tìm ra dây có chiều dài tối ưu, đảm bảo tính chính xác và hiệu quả trong quá trình giải quyết bài toán.
Trong một đường tròn (O), các dây đi qua điểm P có thể được phân tích, trong đó dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất Điều này chứng minh rằng vị trí của dây này là tối ưu trong việc tối thiểu hóa chiều dài.
Ví dụ: Cho đường tròn (O;R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h , tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.
Hướng giải bài toán cực trị hình học
a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải chứng tỏ được :
+ Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m ≤ ( m là hằng số )
Để xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f đạt giá trị nhỏ nhất, cần phải chứng minh rằng điều kiện này được thỏa mãn Việc này đòi hỏi phân tích kỹ lưỡng các yếu tố ảnh hưởng đến giá trị của f trong miền D.
+ Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m ≥ ( m là hằng số )
+ Xác định vị trí của hình H trên miền D để f m =
Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học
Để giải quyết bài toán, bước đầu tiên là chỉ ra một hình có tính chất đặc trưng Sau đó, cần chứng minh rằng mọi hình khác trong bài đều có giá trị của đại lượng cần tìm đạt cực trị nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) so với giá trị của đại lượng trong hình đã chỉ ra.
Để tìm cực trị của một đại lượng, ta có thể biến đổi tương đương điều kiện nhằm đạt được cực trị của một đại lượng khác cho đến khi giải quyết được câu hỏi mà đề bài đặt ra.
Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn (P không trùng với O), cần xác định vị trí của dây đi qua điểm P với độ dài tối thiểu.
Gọi AB là dây vuông góc với OP tại P , và dây CD là dây bất kỳ đi qua P và không trùng với AB ( h.1)
∆OHP vuông tại H ⇒ OH < OP ⇒ CD > AB
Như vậy trong tất cả các dây đi qua P , dây vuông góc với OP tại P có độ dài nhỏ nhất
Xét dây AB bất kỳ đi qua P ( h.2) Kẻ OH ⊥ AB
Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm:
AB nhỏ nhất ⇔ OH lớn nhất
Ta lại có OH ≤ OP
Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P.
Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học
Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu
K a b h.5 a 1 ) ∆ABC vuông tại A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) ⇒ AB ≤ BC
+ AH ⊥ a ⇒ AH ≤ AB Dấu “=” xảy ra ⇔ B ≡ H
Dấu “=” xảy ra ⇔ A ≡ K và B ≡ H b- Các ví d ụ :
Ví dụ 1: Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6 cm và 8 cm, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó
Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo Kẻ BH ⊥ AC
Ta có : S ABCD = 2S ABC = AC.BH
Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm Do đó :
S ABCD = 24 cm 2 ⇔ BH ≡ BO ⇔ H ≡ O ⇔ BD ⊥AC
Vậy max S ABCD = 24 cm 2 Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) có diện tích 24cm 2
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm
E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH Xác định vị trí của các điểm E, F,G,H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất
AHE BEF ⇒AHE AEH 90 + = 0 ⇒ BEF AEH 90 + = 0
Gọi O là giao điểm của AC và EG trong tứ giác AECG, với AE = CG và AE // CG, ta có thể kết luận rằng tứ giác này là hình bình hành Điều này dẫn đến việc O trở thành trung điểm của AC và EG, đồng thời O cũng là tâm của hai hình vuông ABCD và EFGH.
∆HOE vuông cân : HE 2 = 2OE 2 ⇒ HE = OE 2
Chu vi EFGH = 4HE = 4 2OE Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất ⇔ OE nhỏ nhất
Kẻ OK ⊥AB ⇒ OE ≥OK ( OK không đổi )
Do đó min OE = OK
Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là trung điểm của
Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a, vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB Qua trung điểm M của AB, có hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By tại các điểm C và D Cần xác định vị trí của các điểm C và D để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất Tính diện tích của tam giác này.
Gọi K là giao điểm của CM và DB
MA = MB ; A B 90 = = 0 , AMC BMK ⇒ ∆MAC = ∆MBK ⇒ MC = MK
S MCD = a 2 ⇔ CD ⊥ Ax khi đó AMC = 45 0 ; BMD E 0
Vậy min S MCD = a 2 Các điểm C,D được xác định trên Ax; By sao cho AC = BD =a
Cho tam giác ABC với góc B là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC Cần xác định vị trí của điểm D để tổng các khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AD đạt giá trị lớn nhất.
Gọi S là diện tích ∆ABC Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có :
Kẻ BE ⊥AD , CF ⊥ AD
Do đó BE + CF lớn nhất ⇔ AD nhỏ nhất ⇔hình chiếu HD nhỏ nhất
Do HD ≥ HB ( do ABD >90 0 ) và HD = HB ⇔ D ≡ B
Vậy Khi D ≡ B thì tổng các khoảng cách từ B và C đến AD có giá trị lớn nhất
Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc
Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có : AC CB AB + ≥
AC CB AB + = ⇔ C thuộc đoạn thẳng AB b Các ví d ụ :
Trong ví dụ 5, cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó, nhiệm vụ là xác định điểm B trên tia Ox và điểm C trên tia Oy sao cho chiều dài OB bằng OC và tổng khoảng cách AB + AC là nhỏ nhất.
Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho yOm xOA = Trên tia Om lấy điểm D sao cho OD = OA Các điểm D và A cố định
OD =OA, OC = OB ,COD BOA ⇒ ∆DOC = ∆AOB ⇒ CD = AB
Do đó AC +AB = AC +CD
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C ∈AD
Vậy min(AC+AB) Khi đó C là giao điểm của AD và Oy, B thuộc tia Ox sao cho OB = OC h.11
Trong hình chữ nhật ABCD, với điểm E nằm trên cạnh AD, nhiệm vụ là xác định vị trí các điểm F trên cạnh AB, G trên cạnh BC, và H trên cạnh CD để tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Gọi I ,K, L theo thứ tự là trung điểm của EF, EG , EH (h.12)
∆AEF vuông tại A có AI là trung tuyến ⇒ 1
∆CGH vuông tại C có CM là trung tuyến ⇒ 1
IK là đường trung bình của ∆EFG ⇒ 1
KM là đường trung bình của ∆EGH ⇒ 1
Do đó : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC)
Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC
Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )
Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC ⇔ A,I,K,M,C thẳng hàng
Tứ giác EFGH là hình bình hành với các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD, vì EH // AC, FG // AC, và EF // DB, tương tự như GH // DB.
Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn
a Ki ế n th ứ c c ầ n nh ớ : a 1 ) Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
AB là đường kính, CD là dây bất kỳ ⇒ CD ≤ AB (h.14) a 2 ) Trong hai dây của đường tròn
Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
Dây nào gần tâm hơn thì dâu đó lớn hơn
OH, OK là các khoảng cách từ tâm đến dây AB và CD :
AB ≥ CD ⇔ OH ≤ OK (h.15) a 3 ) AB,CD là các cung nhỏ của (O) : AB ≥ CD ⇔ AOB COD ≥ (h.16) a 4 ) AB,CD là các cung nhỏ của (O) : AB ≥ CD ⇔ AB CD ≥ (h.17) b Các ví d ụ :
Trong bài toán này, chúng ta có hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B Một cát tuyến chung CBD, trong đó B nằm giữa C và D, cắt các đường tròn tại các điểm C và D Nhiệm vụ là xác định vị trí của cát tuyến CBD để đáp ứng các yêu cầu đã đề ra.
∆ACD có chu vi lớn nhất
⇒ số đo các góc ∆ACD không đổi (do A, B cố định)
⇒ ∆ACD có chu vi lớn nhất khi một cạnh của nó lớn nhất , chẳng hạn AC là lớn nhất
Dây AC là đường kính lớn nhất của đường tròn (O), và trong trường hợp này, AD trở thành đường kính của đường tròn (O’) Đồng thời, cát tuyến CBD tại điểm C’BD’ tạo thành một góc vuông với dây chung AB.
Ví dụ 8: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn Xác định dây AB đi qua P sao cho OAB có giá trị lớn nhất
Xét tam giác cân OAB , góc ở đáy OAB lớn nhất nếu góc ở đỉnh AOB nhỏ nhất
Góc AOB nhỏ nhất ⇔ CungAB nhỏ nhất ⇔ dây AB nhỏ nhất ⇔ Khoảng cách đến tâm OH lớn nhất
OH =OP ⇔ H ≡ P nên max OH = OP ⇔ AB ⊥ OP
Suy ra dây AB phải xác định là dây A’B’ vuông góc với OP tại P
Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai
Các bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai được sử dụng dưới dạng :
Do đó với m là hằng số , ta có : f =A 2 + m ≥ m ; min f = m với A = 0 f = − A 2 + m ≤ m ; max f = m với A = 0
Cho hình vuông ABCD với cạnh dài 4cm, ta lấy các điểm E, F, G, H trên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AE = BF = CG = DH Cần tính độ dài AE để tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
⇒ HE = EF = FG = GH , HEF = 90 0
⇒ HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ nhất khi
HE nhỏ nhất Đặt AE = x thì HA = EB = 4-x
Chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng 8 2cm , khi đó AE = 2 cm
Ví dụ 10: Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6 cm, AC = 8cm
M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến
AB và AC Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME
ADME là hình chữ nhật Đặt AD = x thì ME = x
ME //AB ⇒ EM CE x CE CE 4x
Ta có : S ADME = AD AE = x ( 8 −4
Diện tích lớn nhất của tứ giác ADME bằng 12 cm 2 ,khi đó D là trung điểm của AB ,
M là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC.
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si
Bất đẳng thức Cô-si : Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ta có :
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
Bất đẳng thức Cô-si thường được sử dụng dưới các dạng sau :
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
+ Dạng 3: Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y không đổi thì xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y
+ Dạng 4: Với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; xy không đổi thì x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y b Các ví d ụ :
Để tìm vị trí tối ưu của điểm M trên đoạn thẳng AB, ta cần vẽ hai đường tròn với đường kính lần lượt là MA và MB Mục tiêu là xác định vị trí của M sao cho tổng diện tích của hai hình tròn này đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi S và S’ theo thứ tự là diện tích của hai hình tròn có đường kính là MA và MB
Ta có bất đẳng thức : 2 2 (x y) 2 x y
≥ π + = AB 2 π 8 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
Do đó min (S+S’) = AB 2 π 8 Khi đó M là trung điểm của AB
Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB, vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB Qua M, vẽ hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau, cắt Ax tại C và By tại D Mục tiêu là xác định vị trí của các điểm C và D để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
2MC.MD Đặt MA = a , MB = b
Do a,b là hằng số nên S MCD nhỏ nhất ⇔ 2sinα.cosα lớn nhất
Theo bất đẳng thức 2xy ≤ x 2 +y 2 ta có :
2sinα.cosα ≤ sin 2 α +cos 2 α = 1 nên S MCD ≥ ab
S MCD = ab ⇔ sinα = cosα⇔ sinα = sin(90 0 −α) ⇔α = 90 0 −α⇔α = 45 0
⇔ ∆AMC và ∆BMD vuông cân
Vậy min S MCD = ab Khi đó các điểm C,D được xác định trên tia Ax ; By sao cho AC
Trong bài toán cho tam giác ∆ABC, điểm M di động trên cạnh BC Khi kẻ các đường thẳng song song với AC và AB qua M, chúng cắt AB tại điểm D và AC tại điểm E Mục tiêu là xác định vị trí của điểm M để hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất.
Kẻ BK ⊥ AC cắt MD ở H
S = AC BK Đặt MB = x , MC = y ,
MD//AC ta có : MD BM x
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y
2S ABC khi đó M là trung điểm của BC
Trong bài toán này, xét tam giác vuông cân ∆ ABC với cạnh huyền BC = a Gọi D là trung điểm của AB và điểm E di chuyển trên cạnh AC Hãy xác định H và K là chân các đường vuông góc từ D và E đến BC Mục tiêu là tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH và xác định hình dạng của hình thang này khi đạt diện tích tối đa.
2S DEKH = (DH +EK).HK = ( BH +KC ) HK
Mà (BH + KC) +HK = a không đổi
Nên (BH + KC) HK lớn nhất ⇔BH + KC) = HK = a
2 2 2 8Khi đó đường cao HK = a
4 Hình thang DEKH là hình chữ nhật , E là trung điểm của AC.
Sử dụng tỉ số lượng giác
Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
Ví dụ 15: Chứng minh rằng trong các tam giác cân có cùng diện tích tam giác có cạnh đáy nhỏ hơnlà tam giác có góc ở đỉnh nhỏ hơn
Xét các tam giác ABC cân tại A có cùng diện tích S Kẻ đường cao AH Đặt BAC = α
∆AHC vuông tại H, ta có :
2 α nhỏ nhất ⇔ α nhỏ nhất ⇔ BAC nhỏ nhất
Cho hình chữ nhật ABCD, trên các cạnh BC và CD, ta lấy các điểm K và M sao cho tỉ lệ BK : KC = 4 : 1 và CM : MD = 4 : 1 Mục tiêu là tìm tỉ số AB : BC để số đo góc KAM đạt giá trị lớn nhất.
( Cho công thức biến đổi tan( x +y )= tan x tan y
Hướng dẫn giải Đặt BAK x = ,DAM y = ( x + y < 90 0 )
KAMlớn nhất ⇔ BAK + DAM nhỏ nhất
⇔ x + y nhỏ nhất ⇔ tan (x + y) nhỏ nhất
Giả sử AB : BC = 1 : m ( m> 0) tan x = BK BK BC 4m.
AB BC AB= = 5 tan y = DM DM DC 1
AD = DC AD 5m tan( x +y )= tan x tan y
5 +5m nhỏ nhất Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ 4m 1
Vậy x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi m =1
Do đó KAM lớn nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1
Một số bài toán ôn luyện có hướng dẫn
Bài 1 Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ
Trong bài toán này, chúng ta có nửa đường tròn với đường kính BH và các tâm O1, O2 cắt các đoạn thẳng AB và AC tại các điểm D và E Để chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, ta cần sử dụng tính chất của các đường tròn và các góc vuông Từ đó, với bán kính R = 25 và BH = 10, ta có thể tính độ dài DE Tiếp theo, để chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn, ta cần chỉ ra rằng tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng 180 độ Cuối cùng, việc xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO1O2 đạt giá trị lớn nhất sẽ yêu cầu áp dụng các phương pháp tối ưu hóa, và từ đó tính được giá trị diện tích tối đa.
Hướng dẫn giải a) Ta có BAC = 90 0 (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn)
Tương tự có BDH CEH 90 = = 0
Xét tứ giác ADHE có A ADH AEH 90 = = = 0 => ADHE là hình chữ nhật
Trong tam giác vuông, ta có hệ thức lượng DE = AH, với AH^2 = BH * CH Thay vào đó, AH^2 = 10 * 40 = 400, từ đó suy ra BH = 10 và CH = 2.25, dẫn đến DE = 20 (đơn vị độ dài) Ngoài ra, góc BAH vuông tại cạnh tương ứng và DAH = ADE.
(Vì ADHE là hình chữ nhật) => C ADE = do C BDE 18 + = 0 0 nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn c) Vì O D 1 = O B 1 =>∆O BD 1 cân tại O 1 => B BDO = 1 (2)
Vậy DEO O 1 2 là hình thang vuông tại D và E
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi DE =O O 1 2
⇔ DEO O 1 2 là hình chữ nhật
⇔ A là điểm chính giữa cung BC Khi đó max S DEO 2 O 1 2
Bài tập 2 yêu cầu cho đường tròn (O) với đường kính AB và hai đường thẳng d1, d2 đi qua A và B, vuông góc với AB Chọn các điểm M và N thuộc d1 và d2 sao cho góc MON bằng 90 độ.
1) Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
3) Xác định vị trí của M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất
1) Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng MN Xét tứ giác OAMH
A H 180 (do A H 90 )+ = = => OAMH là tứ giác nội tiếp đường tròn
Tương tự tứ giác OBNH nội tiếp được
=> A M , B N 1 = 1 1 = 1 (2 góc nội tiếp chắn 1 cung)
⇒ + = + = => AHB = 90 0 Hay H thuộc (O) lại có OH MN ⊥
=> MN là tiếp tuyến của (O)
2) Ta có AM = MH, BN = NH, theo hệ thức lượng trong tam vuông, ta có:
AM BN MH N= H =OH = AB (đpcm)
1 OH AB (Vì AMNB là hình thang vuông) Dấu “=” khi và chỉ khi MN = AB hay H là điểm chính giữa của cung AB
⇔M, N song song với AB ⇔AM = BN = AB.
2 Vậy S ∆ MON nhỏ nhất khi và chỉ khi AM = BN = AB.
Bài tập 3 yêu cầu chứng minh một số tính chất hình học trong tam giác nhọn ∆ ABC với trực tâm H và đường tròn nội tiếp (O) Đầu tiên, cần chứng minh tứ giác BHCK là hình thang Tiếp theo, vẽ đường OM vuông góc với BC tại điểm M và chứng minh rằng H, M, K nằm trên một đường thẳng, đồng thời AH = 2.OM Cuối cùng, với A’, B’, C’ là chân các đường cao của tam giác ABC, khi BC cố định, cần xác định vị trí điểm A sao cho tổng S = A’B’ + B’C’ + C’A’ đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải a) Ta có ACK 90 = 0 (vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên CK ⊥ AC mà BH ⊥ AC (vì H trực tâm)
=> CK // BH tương tự có CH // BK
=> Tứ giác BHCK là hbh (đpcm) b) OM ⊥BC => M trung điểm của BC
Định lý đường kính và dây cung cho biết M là trung điểm của đoạn HK, do BHCK là hình bình hành Trong tam giác AHK, OM là đường trung bình, dẫn đến AH = 2.OM Ta có AC = BB' = 90°, do đó tứ giác BC'B'C nội tiếp đường tròn Từ đó, ta suy ra AC = AB' và Ax là tiếp tuyến tại A, suy ra Ax song song với B'C'.
OA ⊥Ax => OA ⊥ B’C’ Do đó SAB’OC’ 2
⇒ A’B’ + B’C’ + C’A’, lớn nhất khi A, O, M thẳng hàng
⇔ A là điểm chính giữa cung lớn BC
Bài tập 4 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho
3 AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E
1) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
2) Chứng minh hệ thức: AM 2 = AE AC
3) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất
1 Theo giả thiết MN ⊥AB tại I
⇒ mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp
Theo giả thiết MN ⊥ AB, điểm A là điểm chính giữa của MN, từ đó suy ra AMN = ACM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) và AME = ACM Đồng thời, CAM là góc chung, do đó tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM, dẫn đến AM = AE.
C2: AM 2 = AI AB AE AC =
3 Theo trên AMN = ACM ⇒ AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ECM Nối
MB ta có AMB 90= 0 , do đó tâm O 1 của đường tròn ngoại tiếp ∆ECM phải nằm trên BM
Chúng ta nhận thấy NO 1 nhỏ nhất khi NO 1 là khoảng cách từ N đến BM, tức là NO 1 vuông góc với BM Gọi O 1 là chân đường vuông góc từ N đến BM, khi đó O 1 chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECM với bán kính là O 1 M.
Để tối thiểu hóa khoảng cách từ điểm N đến tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆ ECM, điểm C cần phải là giao điểm giữa đường tròn (O1) có bán kính O1M và đường tròn (O), trong đó O1 là hình chiếu vuông góc của N trên đoạn thẳng BM.
Bài tập 5 yêu cầu chứng minh các đặc điểm hình học liên quan đến đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn với OA = 2R Đầu tiên, cần chứng minh tứ giác ABOC là hình vuông Tiếp theo, chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) khi D thuộc AB và E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R Cuối cùng, tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ADE.
Hướng dẫn giải a) Ta có: ABO ACO 90 = = 0 (tính chất tiếp tuyến) (1)
AB = AC = OA OB 2 − 2 = R = OB = OC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABOC là hình vuông b) Theo bài ra ta có: AD + DE + AE = 2R (3)
Suy ra: DE = BD + CE (4)
Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF = BD; suy ra ∆BDO = ∆COF (c-g-c)
⇒OD = OF; lại có DE = FE nên ∆ODE = ∆OFE (c-c-c)
⇒OM = OC = R (hai đường cao tương ứng) (6)
Từ (5) và (6) suy ra DE là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) c) Đặt: AD = x; AE = y S ADE 1 xy
Ta có: DE= AD AE 2 + 2 = x + y 2 2 (định lí Pitago)
Vì AD + DE + AE = 2R⇒ x + y + x 2 + y 2 = 2R (6) Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số không âm ta có: x + y 2 xy và x + y ≥ 2 2 ≥ 2xy (7) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
Từ (6) và (7) suy ra: 2 xy+ 2xy 2R≤ ⇔ xy 2 ( + 2 ) ≤ 2R
Vậy max SADE = ( 3 2 2 R − ) 2 ⇔ x = y ⇔∆ADE cân tại A
Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A và B Lấy điểm M trên tia đối của tia BA và kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn, trong đó C và D là các tiếp điểm H là trung điểm của đoạn thẳng AB.
1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn
2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD
Để tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ là nhỏ nhất, ta xét đường thẳng đi qua O và vuông góc với OM, cắt các tia MC và MD tại các điểm P và Q.
Vì H là trung điểm của AB, nên OH vuông góc với AB Theo tính chất của tiếp tuyến, OD cũng vuông góc với DM Do đó, các điểm M, D, O và H cùng nằm trên một đường tròn.
2) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD ⇒ ∆MCD cân tại M ⇒ MI là một đường phân giác của CMD
Mặt khác I là điểm chính giữa cung nhỏ CD nên 1
⇒ CI là phân giác của MCD Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD d
3) Ta có tam giác MPQ cân ở M, có MO là đường cao nên diện tích của nó được tính:
S = S = OD QM R MD DQ = +, từ đó S nhỏ nhất khi MD + DQ nhỏ nhất Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMQ, ta có DM DQ OD = 2 = R^2 không đổi.
MD + DQ nhỏ nhất ⇔ DM = DQ = R Khi đó OM = R 2 hay M là giao điểm của d với đường tròn tâm O bán kính R 2
Bài tập 7 yêu cầu chứng minh các tính chất hình học liên quan đến hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B Đầu tiên, cần chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng, với C và D là các điểm nằm trên đường kính của hai đường tròn Tiếp theo, cần chứng minh rằng các điểm C, D, E, F nằm trên một đường tròn, trong đó E và F là các điểm giao nhau của các đường thẳng AC và AD với đường tròn (O') và (O) tương ứng Cuối cùng, bài tập yêu cầu xác định vị trí của đường thẳng d, luôn đi qua A, để tổng độ dài CM + DN đạt giá trị lớn nhất khi cắt hai đường tròn tại M và N.
Hướng dẫn giải a) Ta có ABC và ABD lần lượt là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) và (O’)
Suy ra C, B, D thẳng hàng b) Xét tứ giác CDEF có:
CFD CFA 90= = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
CED AED 90= = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)
⇒ = = suy ra CDEF là tứ giác nội tiếp c) Ta có CMA DNA 90 = = 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); suy ra CM // DN hay CMND là hình thang
Trong hình thang CMND, gọi I và K là trung điểm của các đoạn MN và CD Khi đó, IK trở thành đường trung bình, dẫn đến mối quan hệ IK // CM // DN (1) và tổng độ dài hai cạnh CM và DN bằng 2 lần độ dài đường trung bình IK (2).
Từ (1) suy ra IK ⊥ MN ⇒ IK ≤ KA (3) (KA là hằng số do A và K cố định) d
Từ (2) và (3) suy ra: CM + DN≤ 2KA
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi IK = AK⇔d ⊥ AK tại A
Vậy khi đường thẳng d vuông góc AK tại A thì (CM + DN) đạt giá trị lớn nhất bằng 2KA
Bài tập tự luyện
Bài tập 1 yêu cầu vẽ nửa đường tròn với đường kính AB và điểm C nằm giữa A và B Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn, vẽ hai tia Ax và By tiếp xúc với nửa đường tròn Từ tia Ax, chọn điểm I khác A; đường thẳng vuông góc với CI tại C sẽ cắt tia By tại điểm K Cuối cùng, đường tròn có đường kính IC sẽ cắt tia IK tại điểm E.
1 Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn
2 Chứng minh AI BK AC CB =
3 Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB
4 Cho các điểm A; B; I cố định Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang ABKI lớn nhất
Tam giác ABC là một tam giác vuông cân tại điểm A Trên cạnh BC, ta có điểm M Đường tròn (O1) có tâm tại O1 đi qua điểm M và tiếp xúc với cạnh AB tại điểm B Đồng thời, đường tròn (O2) cũng được xác định với tâm tại O2.
M và tiếp xúc với AC tại C Đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại D (D không trùng với A)
1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông
2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2)
3) BO 1 cắt CO 2 tại E Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn
4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất
Trong bài tập 3, cho tam giác đều ABC, trên cạnh BC, chúng ta đặt điểm E Từ điểm E, kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, các đường này sẽ cắt AC tại điểm P và cắt AB tại điểm Q.
2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp Xác định vị trí của E trên cạnh BC để đoạn PQ ngắn nhất
3) Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho HB 2 = HA 2 + HC 2 Tính góc AHC
Bài tập 4 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đường chéo BD, gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC và AD
2) Chứng minh CM vuông góc với HK
3) Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập 5 yêu cầu bạn làm việc với nửa đường tròn có đường kính MN Chọn một điểm P bất kỳ trên nửa đường tròn, với điều kiện P không trùng với M hoặc N Tiếp theo, bạn cần dựng hình bình hành MNQP Từ điểm P, vẽ đoạn thẳng PI vuông góc với đường MQ tại điểm I, và từ điểm N, vẽ đoạn thẳng NK vuông góc với đường MQ tại điểm K.
1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đường tròn
2) Chứng minh: MP PK = NK PQ
3) Tìm vị trí của P trên nửa đường tròn sao cho NK.MQ lớn nhất
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn tại các điểm B và C Lấy M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC (M≠B, M≠C) Đặt D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các đường thẳng AB, AC và BC Điểm H là giao điểm của MB và DF, trong khi điểm K là giao điểm của MC và EF.
1) Chứng minh: a) MECF là tứ giác nội tiếp b) MF vuông góc với HK
2) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MDME lớn nhất
Bài tập 7 yêu cầu xét một đường tròn tâm O với đường kính AB = 2R, trong đó C là trung điểm của OA Dây cung MN được kẻ vuông góc với OA tại điểm C, và điểm K được chọn tùy ý trên cung BM nhỏ H là giao điểm của AK và MN Cần chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp Tiếp theo, tính toán độ dài AH và AK theo R Cuối cùng, xác định vị trí của điểm K sao cho tổng KM + KN + KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Bài tập 8 yêu cầu chứng minh một số tính chất hình học trong tam giác đều ABC nội tiếp (O; R) Đầu tiên, khi M di động trên AB và N di động trên tia đối của CA với điều kiện BM = CN, ta cần chứng minh rằng điểm D, nơi đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O), là cố định Tiếp theo, cần tính góc MDN và chứng minh DK vuông góc với MN khi MN cắt BC tại K Cuối cùng, đặt AM = x, ta sẽ tính giá trị x để diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 9 yêu cầu chứng minh rằng các tứ giác BCQP và OBCI là nội tiếp Đường thẳng d đi qua điểm A cắt các đường tròn (O) và (I) tại P và Q Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng PO và QI Để giải quyết phần b), ta xác định E và F là trung điểm của AP và AQ, từ đó K là trung điểm của EF Khi đường thẳng d quay quanh A, ta cần tìm đường đi của K Cuối cùng, phần c) yêu cầu xác định vị trí của d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất.
Bài tập 10 yêu cầu xác định vị trí của điểm M trên cung BC của tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) để tứ giác BHCM trở thành hình bình hành Đồng thời, cần chứng minh rằng ba điểm N và E, là các điểm đối xứng của M qua các cạnh AB và AC, có một mối liên hệ nhất định trong tam giác.
N H, E thẳng hàng c Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất
Bài tập 11 yêu cầu cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O) Từ A, ta kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O), trong đó B, C, M, N đều thuộc (O) và AM < AN Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với (O) a Cần chứng minh rằng bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn b Chứng minh rằng góc AOC bằng góc BIC c Chứng minh rằng BI song song với MN d Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 12 yêu cầu chứng minh một số tính chất hình học liên quan đến đường tròn (O) có đường kính AB=2R và điểm M di chuyển trên nửa đường tròn Đường tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N sẽ cắt các đoạn thẳng MA và MB tại các điểm C và D Cần chứng minh rằng CD song song với AB, đồng thời chứng minh rằng MN là tia phân giác của góc AMB và đi qua một điểm cụ thể.
Để chứng minh tích KM.KN cố định, ta gọi giao điểm của các tia CN và DN với các cạnh KB và KA lần lượt là C' và D' Mục tiêu là tìm vị trí của điểm M sao cho chu vi của tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể.
Bài tập 13 Cho đường tròn (O) và điểm A ở ngoài đường tròn.Từ A vẽ 2 tiếp tuyến
AB,AC với đường tròn (O)
2 Vẽ cát tuyến AMN của (O).Gọi E là trung điểm MN.C/m A,O,E,C cùng thuộc 1 đương tròn và xác định tâm K
3 Tia CE cắt (O) tại I.C/m BI//MN
4 Tìm vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất
Trong bài tập 14, chúng ta cần chứng minh các yếu tố liên quan đến đường tròn (O; R): a) Tứ giác CAIM và BDMI là tứ giác nội tiếp b) Tam giác CID là tam giác vuông c) Đường thẳng EF song song với đường thẳng AB d) Khi điểm M cố định và điểm I thay đổi trên đoạn AO, tìm vị trí của I để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn nhất e) Xác định điều kiện khi OI lớn hơn 3.
R và AM = R Hãy tính độ dài đoạn thẳng CD và diện tích tam giác CID theo R
Bài tập 15 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn.Từ A vẽ tiếp tuyến
AB và cát tuyến ACD (nằm giũa A và D )
2) Gọi H là trung điểm CD Chứng minh tứ giác ABOE có bốn điểm cùng thuộc một đường tròn
3) Vẽ tia Bx // CD cắt (O) tại I, IE cắt (O) tại K.Chứng minh AK là tiếp tuyến của (O)
4) Đường thẳng BH cắt (O) tại F.Chứng minh KF // CD
5) Tím vị trí của cát tuyến ACD đề diện tích tam giác AID lớn nhất
Bài tập 16 yêu cầu xem xét đường tròn (O, R) và đường thẳng d không đi qua O, cắt đường tròn tại hai điểm A và B Từ điểm C nằm trên đường thẳng d, ngoài đường tròn, cần kẻ hai tiếp tuyến CM và CN đến đường tròn.
CN ( M và N thuộc (O) ) Goi H là trung điểm AB,đường thẳng OH cắt tia CN tại K Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I Chứng minh:
1) C,O,H,N cùng thuộc một đường tròn
3) I cách đều CM, CN, MN
4) Một đường thẳng qua O song song MN cắt tia CM và CN tại E và F.Xác định vị trí
C trên d để diện tích tam giác CEF nhỏ nhất
Tam giác ABC vuông tại A với M là trung điểm của BC Tại M, hai đường thẳng vuông góc cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E.
E Xác định các vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập 18 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C thuộc đoạn AB,
M là một điểm trên nửa đường tròn Đường thẳng qua M vuông góc MC cắt các tiếp tuyến qua A và B của nửa đường tròn tại E và F
1) Khi M cố định,C di động.Tìm vị trí của C để AE.BF lớn nhất
2) Khi C cố định,M di động Tìm vị trí của M để S CEF lớn nhất
Rèn luyện tổng hợp
Bài 1: Xét hình vuông ABCD, cần xác định đường thẳng d đi qua tâm hình vuông sao cho tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng d là lớn nhất và nhỏ nhất Đối với trường hợp a), tổng khoảng cách lớn nhất đạt được khi đường thẳng d song song với một trong các cạnh của hình vuông Còn trong trường hợp b), tổng khoảng cách nhỏ nhất sẽ xảy ra khi đường thẳng d là đường chéo của hình vuông.
Xét trường hợp d cắt hai cạnh đối BC và AD (h.29)
Gọi m là tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến D m =2(AA’ +BB’)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A’B’
Để tối ưu hóa giá trị m, ta có m = 4MN, từ đó suy ra m lớn nhất tương ứng với MN lớn nhất và m nhỏ nhất tương ứng với MN nhỏ nhất Cụ thể, nếu MN ≤ MO thì m đạt giá trị lớn nhất khi M trùng với O, tức là d song song với AB Thêm vào đó, khi kẻ MH vuông góc với OB, ta có thể chứng minh rằng MN ≥ MH, dẫn đến MN nhỏ nhất khi N trùng với H, tương ứng với d đồng nhất với BD hoặc d đồng nhất với AC.
Bài 2 : Cho ∆ABC vuông cân tại A các điểm D,E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB
, AC sao cho BD = AE Xác định vị trí các điểm D,E sao cho : a) DE có độ dài nhỏ nhất b) Tứ giác BDEC có diện tích lớn nhất
Hướ ng d ẫ n: (h.30) a)Gọi M là trung điểm của BC
∆BDM = ∆AEM ⇒BMD AME ⇒DME DMA AME DMA BMD BMA = + = + = 0
Gọi I là trung điểm của DE
DE = DI+IE =AI + IM ≥ AM h.29
Min DE = AM ⇔ I là trung điểm của AM
⇔ D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC b)Đặt AE = x, AB =a thì AD = a − x , S ADE = ( )
S BDEC nhỏ nhất ⇔ S ADE lớn nhất ⇔ x(a − x) lớn nhất
Do x +( a− x) = a không đổi nên x( a − x) lớn nhất ⇔ x = a − x ⇔ x = a/2
Khi đó D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
Trong bài toán này, cho tam giác vuông ∆ ABC tại A với độ dài cạnh BC là a và diện tích là S Gọi m là trung điểm của cạnh BC Hai đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với nhau sẽ cắt các cạnh AB và AC tại các điểm D và E Nhiệm vụ là tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng DE và diện tích nhỏ nhất của tam giác MDE.
Hướ ng d ẫ n: a) (h.31)Gọi O là trung điểm của DE
Ta có OA = OD =OE = OM
2 minDE = a/2 ⇔ O là trung điểm của AM
⇔ D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC b) (h.32)Kẻ MH ⊥ AB , MK ⊥ AC
2S MDE = MD.ME ≥ MH.MK = AC
Bài 4 yêu cầu xác định điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB, từ đó vẽ hai tam giác đều AMC và BMD về một phía của AB Mục tiêu là tìm vị trí của M sao cho tổng diện tích của hai tam giác đều này là nhỏ nhất.
Gọi K là giao điểm của AC và BD
Các tam giác AMC ,BMD đồng dạng với ∆AKB Đặt AM = x ,BM = y , AB = a ta có :
+ = + ≥ + = Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
2 ⇔ M là trung điểm của AB
Trong bài 5, cho tam giác nhọn ABC với các cạnh a, b, c và đường cao AH = H Nhiệm vụ là xây dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC để tối đa hóa diện tích Các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB và AC, trong khi P và Q nằm trên cạnh BC.
Gọi I là giao điểm của AH và MN Đặt NP =x ; MN = y ; AI = h − x
⇒ S MNPQ lớn nhất ⇔ x(h − x)lớn nhất h.33
I h-x x +(h − x) = h không đổi nên x(h − x) lớn nhất ⇔ x = h − x ⇔ x = h/2
Khi đó MN là đường trung bình của ∆ABC
Bài 6 : Cho ∆ ABC vuông tại A Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ⊥ BC, IN
⊥ AC , IK ⊥AB Tìm vị trí của I sao cho tổng IM 2 +IN 2 +IK 2 nhỏ nhất
Kẻ AH ⊥BC , IE ⊥AH
ANIK ,IMHE là các hình chữ nhật
IK 2 + IN 2 = IK 2 +AK 2 = AI 2 ≥ AE 2
IM = EH nên IK 2 + IN 2 + IM 2 = AI 2 +EH 2 ≥ AE 2 +EH 2 Đặt AE = x , EH =y ta có :x 2 y 2 ( x y ) 2 AH 2
2 Dấu “=” xảy ra khi I là trung điểm của đường cao AH
Bài 7 : Cho tam giác nhọn ABC Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ⊥ BC, IN
⊥ AC , IK ⊥AB Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z
Tìm vị trí của I sao cho tổng x 2 +y 2 +z 2 nhỏ nhất
Hướ ng d ẫ n: (h.36) Đặt BK = k , CM = m , AN = n ,
=(IA 2 − IK 2 ) + (IB 2 − IM 2 ) + (IC 2 − IN 2 )
= (IA 2 − IN 2 ) + (IB 2 − IK 2 ) + (IC 2 − IM 2 ) = n 2 + k 2 + m 2
⇔ I là giao điểm của các đường trung trực của ∆ABC
Bài 8: Cho nửa đường tròn với đường kính AB dài 10 cm Một dây CD dài 6 cm có hai đầu di chuyển trên nửa đường tròn Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm A.
B trên CD Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABFE
Kẻ OH ⊥CD , ta tính được OH = 4cm
= OH.EF ≤ OH AB = 4.10 @ max S ABEF @ cm 2
⇔ EF // AB , khi đó OH ⊥ AB
Bài 9 yêu cầu tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng MN, được xác định bởi tiếp tuyến bất kỳ với cung BD (có tâm A và bán kính a) cắt các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD.
Hướ ng d ẫ n:(h.38) Đặt CM = m , CN = n , MN = x m + n + x = 2CD = 2a và m 2 +n 2 = x 2
+ min MN * ( 2 1 − ) ⇔ m = n Khi đó tiếp tuyến MN // BD , AM là tia phân giác của BAC
, AN là phân giác của DAC
Bài 10: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại điểm A Từ A, vẽ hai tia vuông góc với nhau cắt các đường tròn (O) và (O’) tại các điểm B và C Cần xác định vị trí của các tia để tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Kẻ OD ⊥ AB ; O’E ⊥ AC ta có:
2.2AD.2AE= 2.AD.AE Đặt OA =R ; O’A = r ; AOD O AE= ' = α
Do đó : max S ABC = Rr ⇔ sinα = cosα ⇔ sinα = sin( 90 0 −α ) ⇔ α = 90 0 −α ⇔ α = 45 0
Vậy nếu ta vẽ các tia AB,AC lần lượt tạo với các tia AO, AO’ thành các góc
OAB O AC 45= = thì ∆ ABC có diện tích lớn nhất
Bài 11 : Cho đường tròn (O;R) đường kính BC , A là một điểm di động trên đường tròn
Vẽ tam giác đều ABM với A và M nằm cùng phía đối với cạnh BC Đặt H là chân đường vuông góc từ điểm C xuống cạnh MB Đánh dấu D, E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn OC, CM.
MH, OH Xác định vị trí của điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn nhất
DEFG là hình bình hành
Kẻ OI ⊥FH , ta có OI là đường trung bình của ∆ BHC nờn OI = ẵ HC = GD
MO là đường trung trực của AB nên IMO 30 = 0 ⇒
Mà ED = ẵ OM ⇒ EG = GD
HFG HMO 30= = ⇒EFG 60 = 0 ⇒∆EFG đều
Trong bài 12, cho tam giác ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm D nằm trên cung BC không chứa A và không trùng với B, C Gọi H, I, K lần lượt là chân các đường vuông góc từ D đến các đường thẳng BC, AC và AB Đặt độ dài các cạnh của tam giác là BC = a, AC = b, AB = c, và DH = x, DI = y.
DK = z a) Chứng minh rằng : b c a y z x+ b) Tìm vị trí của điểm D để tổng a b c x y z+ + nhỏ nhất
Hướ ng d ẫ n: (h.41) a) Lấy E trên BC sao cho CDE ADB ∆CDE đồng dạng với ∆ ADB
Tương tự ∆BDE đồng dạng với ∆ ADC
+ = + b) a b c x y z+ + =a a x x+ * x Do đó S nhỏ nhất ⇔ a x nhỏ nhất ⇔ x lớn nhất ⇔ D≡M ( M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A)
Bài 13 : Cho ∆ABC nhọn , điểm M di chuyển trên cạnh
BC Gọi P ,Q là hình chiếu của M trên AB , AC Xác định vị trí của điểm M để PQ có độ dài nhỏ nhất
Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ
Kẻ OH ⊥ PQ Đặt BAC =α thì POH = α h.41
PQ = 2 PH = 2.OP sinα = AM sinα
PQ nhỏ nhất ⇔ AM nhỏ nhất ⇔ AM ⊥BC
Đoạn thẳng AB có điểm C nằm trên đó, yêu cầu vẽ các nửa đường tròn với đường kính AB, AC, BC trên cùng một nửa mặt phẳng Mục tiêu là xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB để tối đa hóa diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn này.
Gọi (O 1; r 1 );(O 2; r 2 );(O 3; r 3 ) là các đường tròn có đường kính là Ab,AC,BC Đặt AB = 2a , AC =2x thì r 1 = a , r 2 = x Suy ra BC * − 2x và r 3 = a − x
Gọi S là diện tích giới hạn bởi ba đường tròn
Mặt khác x + (a − x) = a không đổi nên x( a −x) lớn nhất ⇔ x = a − x ⇔ x = a
Bài 15 đề cập đến đường tròn (O;R) với hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau và tiếp xúc trong với (O) Đặc biệt, bán kính của đường tròn (O2) gấp đôi bán kính của đường tròn (O1) Nhiệm vụ là tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài hai hình tròn (O1) và (O2).