Người gửi: Mai Tuấn Anh, GV trường Trung học cơ sở Nga Điền, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa.. Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là x=4.[r]
Trang 1Đề bài: Cho 7 số nguyên tố khác nhau có thể viết thành a, b, c, a+b+c,
a+b-c, a-b+c, -a+b+c, trong đó, hai trong 3 số a, b, c có tổng bằng 800 Gọi d là khoảng cách giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất trong 7 số nguyên
tố đó Hỏi giá trị lớn nhất có thể có của d?
Lời giải:
Giả sử a+b=800 và a<b
Nếu c 800 thì a+b-c 0 , mâu thuẫn với đề bài Do đó, ta có c<800 Rõ ràng số lớn nhất trong 7 số nguyên tố là a+b+c Hai số nguyên tố lớn nhất dưới 800 là 787 và 797 Do đó
a+b+c 800+797=1597
Rõ ràng a, b, c đều là các số lẻ, vì chỉ duy nhất 2 là số nguyên tố chẵn,
mà nếu một trong 3 số a, b, c là số chẵn thì có hơn một số chẵn trong 7 +số nguyên tố đã cho Suy ra cả 7 số nguyên tố đều lẻ Vì thế, số nhỏ nhất có thể là 3 Lúc đó:
d 1597-3=1594
Khi a=13, b=787, c=797, ta có
a+b-c=3, a=13, c=797, b=787, a-b+c=23, -a+b+c=1571, a+b+c=1597 đều là số nguyên tố và d=1594
Vậy dmax=1594
Người gửi: Mai Tuấn Anh, GV trường Trung học cơ sở Nga Điền, huyện
Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa
Đề bài: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:
3 (a+b+c )
5
¿ a3 +2 a 2b
a2
+3 ab+b2 + b3 +2 b 2c
b2 +3 bc +c 2 + c3 +2 c 2a
c2
+3 ca+a2≥❑
❑ Dấu bằng xảy ra khi nào?
Lời giải:
Ta sẽ chứng minh: a3+2 a2b
a2 +3 ab+b 2
4 a − b
Thật vậy, (1) tương đương với:
⇔5 a3 +10 a 2b ≥(4 a − b)(a2
+3 ab+b2
)
⇔ 5 a3
+10 a2b ≥ 4 a3+12a2b+4 ab2− a2b −3 ab2−b3
⇔ a3
+b3≥ a2b +ab2
⇔(a+b)(a2
− ab+b2)≥ ab(a+b)
¿
⇔ a2− ab+b2≥ ab
⇔ a2
− 2ab+b2≥0
a −b¿2≥ 0
⇔¿
Trang 2Bất đẳng thức cuối đúng nên BĐT (1) đúng.
Tương tự ta cũng chứng minh được các BĐT sau:
b3+2 b2c
b2+3 bc+c2≥
4 b −c
c3+2c2a
c2+3 ca+a2≥
4 c − a
Cộng theo vế các BĐT (1), (2), (3) ta được điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra ⇔ (1), (2), (3) đồng thời xảy ra dấu bằng ⇔ a=b=c
Người gửi: Mai Tuấn Anh, GV trường Trung học cơ sở Nga Điền, huyện
Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa
Đề bài: Giải phương trình sau:
2√x −3+27√35 x+7=x3− 9 x2+30 x +43
Lời giải:
Điều kiện x 3 (1)
Với ĐK (1) thì 5x+7>0
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương x-3 và 1 ta có:
¿
√(x − 3) 1≤ x −3+1
2
¿
⇔2√x −3 ≤ x − 2 (2)
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương 5x+7, 27, 27 ta có:
3
√(5 x+7) 27 27 ≤5 x +7+27 +27
3
⇔ 27 3
Cộng (2) và (3) ta có: VT 6 x+59
Kết hợp với PT ban đầu ta có : x3⇔ x − 9 x3 2+30 x+43 ≤ 6 x +59
− 9 x2+24 x − 16 ≤ 0
⇔ x − 4¿2.(x − 1)≤ 0
Với x 3⇒ x-1>0 x − 4¿2⇒ .(x − 1)≥ 0
Từ (4) và (5) x − 4¿
2
x − 4¿2.(x − 1)=0 ⇔¿
⇒¿
⇔ x=4 Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là x=4
Người gửi: Mai Tuấn Anh, GV trường Trung học cơ sở Nga Điền, huyện
Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa