a) Lần đầu xuất hiện mặt một chấm. b) Mặt một chấm xuất hiện ít nhất một lần. c) Không có lần nào xuất hiện mặt một chấm. d) Tổng số chấm trên hai mặt nhỏ hơn 5. Chọn 3 quả .Hỏi có bao n[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
Chương I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bảng các giá trị lượng giác của góc đặc biệt
Độ
GTLG
rad
00 0
300
π
6
450
π
4
600
π
3
900
π
2
1200
2 π
3
1350
3 π
4
1500
5 π
6
1800
π
2700
3 π
2
3600
2 π
1
2 2
1
1
√ 3
3
Ct đổi độ sang rad
180 Đ ^o ộ
Ct đổi Rad sang độ
Đ ^o= 180
Cung đối
sin(− x)=− sin x
cos (− x)=cos x
tan (− x)=− tan x
cot(− x)=− cot x
Cung phụ
Các hệ thứ cơ bản
sin2x+cos2x =1 ,
tan x= sin x cos x
cot x= cos x
sin x , tanx.cotx=1
1 cos2x =1+tan
2x ,
1 sin2x =1+cot
2x
Công thức cộng
sin(a± b)=sin a cos b ±cos a sin b cos(a ± b)=cosa cos b ∓sin a sin b
Công thức biến đổi tổng thành tích
sin a+sin b=2 sin a+b
2 cos
a − b
2
sin a −sin b=2 cos a+b
2 .sin
a − b
2
2 cos
a − b
2
cos a − cos b=−2 sin a+b
a − b
2
Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa cos b= 1
2 [ cos(a −b)+cos (a+b) ]
sin a sin b= 1
2 [ cos (a − b)+cos(a+b) ]
sin a cos b= 1
2 [ sin(a − b)+sin(a+b) ]
Trang 2TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
sin(π /2 − x)=cos x
cos(π /2 − x )=sin x
tan (π /2 − x )=cot x
cot(π /2 − x )=tan x
Cung bù
sin(π − x )=sin x
cos (π − x )=− cos x
tan (π − x )=− tan x
cot(π − x )=−cot x
Hơn kém
sin(π +x )=−sin x
cos (π +x )=− cos x
tan (π +x )=tan x
cot(π +x )=cot x
tan (a ± b)= tan a± tanb
1 ∓ tan a tanb
Công thức nhân đôi
sin 2 a=2 sin a cos a cos 2 a=cos2a −sin2a=2 cos2a −1
¿ =1− 2 sin2a
tan 2 a= 2 tan a
1 − tan2a
Công thức nhân ba ;
sin3x = 3sinx - 4 sin3x cos3x = 4cos3x - 3cosx
Công thức hạ bậc
sin2x= 1 −cos 2 x
2 cos2x= 1+cos 2 x
2
Các phương trình đặc biệt
2 + kπ
2 + kπ
2 + kπ
tan u=0 ⇔ sin u
4 + kπ
4 + kπ
cot u=0 ⇔ cos u
2 + kπ
4 + kπ
4 + kπ
1/ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
BÀI TẬP
tan x= sin x cos x xác định khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ π
2 + kπ ,
k z
cot x= cos x sin x xác định khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k z
y= f (x ) g(x ) xác định khi g(x)≠ 0
y = √ f (x ) xác định khi f (x)≥0
Tìm tập xác định của các hàm số :
sin2x − cos2x 5) y=
sin x +3
0 ) 6) y= 2
sin 2 x − cos x
√ 3− cot ( 2 x − π
3 )
y
cos sin
1
4 cos2x −3
Trang 3TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
1 −sin x ≥ 0 .Biểu thức trong
2/ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT :
−1 ≤sin x ≤1 , −1 ≤ cos x ≤ 1
và 0 ≤ sin2x ≤1 , 0 ≤ cos2x ≤1
sin x cos x= sin 2 x
2
sin2x cos2x= (2 sin x cos x )
2
sin22 x
4
sin x+cos x= √ 2cos ( x − π
4 ) = √ 2 sin ( x + π
4 )
sin x − cos x= √ 2sin ( x − π
4 ) = − √ 2 cos ( x + π
4 )
cos x − sin x= √ 2cos ( x + π
4 ) = − √ 2 sin ( x + π
4 )
VÍ DỤ :
Bài giải :
2 + k 2 π , k ∈ z
2 + k 2 π , k ∈ z
4 ≥ 4 −3 cos2x ≥ −3+4
4
5 ≥
4 −3 cos22 x
1
5
4
5 ≥ y ≥
1 5
¿
⇔2 x= π
2 + kπ ⇔ x= π
4 + k
π
2 , ¿ k ∈ z
cos 2 x=1 cos 2 x=− 1
cos22 x=1 ⇔ ¿
¿
x=kπ ¿
x= π
2 + kπ
, ¿ k ∈ z
2 x=k 2 π ¿
2 x=π +k 2 π ⇔ ¿
⇔ ¿ BÀI TẬP
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :
1) y= √ 3 −sin2x cos2x 2) y=2 sin2x −3 sin2x cos2x +2 cos2x 3)
y=2 −sin x −cos x 4) y=2 sin2x −5 cos2x +2 5) y=cos2x +2 cos 2 x
6) y=2 √ cos x+1
7) y= √ 3 ( 2 −sin2x ) + 5 8) y = sin6x + cos6x 9)
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất :
1) y=2 sin x+3
2) y= 4 − 3 cos22 x
5
Trang 4TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
y=cos x +cos (x − π
3 )
10) y=3 sin23 x − 4 cos23 x +2 cos 6 x 11) y= 3 −4 sin
2
x cos2x
2 12)
y= 2− 3 sin 4 x
4
13) y=sin4x+cos4x 14) y= 3 cos 2 x −3 sin 2 x −5
3
HD : 1)Thay sin2x cos2x= sin
2
2 x
4
2) y=2(sin2x +cos2x)−3 sin
2
2 x
4
3) Thay sin x+cos x= √ 2cos ( x − π
4 ) thì y=2 − √ 2 cos ( x − π
4 )
2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1-Phương trình sinu = a
+ a <-1 hay a > 1 : phương trình vô nghiệm
+ -1 a 1 : Nếu a không là giá trị đặc biệt thì nghiệm của pt là :
u=arcsin a+k 2 π u=π −arcsin a+k 2 π , k ∈ z
¿
¿
sin u=a ⇔ ¿
Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt về dạng :
u=v +k 2 π ¿
u=π − v +k 2 π , k ∈ z
sin u=sin v ⇔ ¿
2-Phương trình cosu = a
+ a <-1 hay a > 1 : phương trình vô nghiệm
+ -1 a 1 : Nếu a không là giá trị đặc biệt thì nghiệm của pt là :
u=arccos a+k 2 π
¿
u=− arccos a+k 2 π ,k ∈ z
Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt về dạng :
u= v +k 2 π u=− v +k 2 π , k ∈ z
¿
¿
cos u=cos v ⇔ ¿
3- Phương trình tanu = a Điều kiện : cos u ≠ 0 ⇔u ≠ π
2 + kπ , k ∈ z
Nếu a không là giá trị đặc biệt ta cĩ : tan u=a ⇔u=arctan a+kπ , k ∈ z
Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình về dạng : tan u=tan v ⇔u=v+kπ , k ∈ z
4- Phươpng trình cotu = a Điều kiện : u ≠ kπ , k ∈ z
Nếu a không là giá trị đặc biệt : cot u=a ⇔u=arccot a+kπ , k ∈ z
Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình về dạng : cot u=cot v ⇔u=v +kπ , k ∈ z
BÀI TẬP
Bài 1 : Giải các phương trình
1) √ 2cos ( 2 x − π
5 ) =1 2) sin (3 x −2)=−1 3)
cot ( 450− 3 x ) = √ 3
4) 2 sin ( 2 x − π
6 ) − √ 3=0 5) cos ( 3 x +450) − sin 4 x=0 6)
2 cos ( 2 x 3 −
π
4 ) + 1=0 7) (sin x+cos x ) ( √ 3 tan 2 x+1 ) =0 8)
Trang 5TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
[ sin ( 2 x −3 ) +1 ] ( √ 3 cot 2 x
3 + 1 ) =0 9) tan(2x+600) = 10 10) tan ( 2 x + π
3 ) =cot ( x − π
6 ) 11) cos ( 2 x + π
6 ) − cos ( 3 x − 3 π
4 ) =0 12)
cos x
2 = − cos ( 2 x − 30
0 )
Bài 2 : Giải các phương trình
1) 4 sin22 x − 3=0 2) sin2x – cosx = 0 3) sin2x + 2cos2x = 0
4) sin2x + cos22x = 1 5) sin2x + cos2x = 0 6) 8 sinx cosx cos2x = - √ 2
7) tan2x.cot3x = 2 8 ) sin22x- cos2x = 0 9) tan3x.tan2x = 1
1
3 12)
cosxcos2xcos4xcos8x = 1
Bài 3 : Giải phương trình : cos2 x
1 −sin 2 x =0
HD : Điều kiện xác định của phương trình là : sin 2 x ≠1 ⇔2 x ⇔ π
2 + k 2 π ⇔ x ≠ π
4 + kπ
4 , k =2⇒ x ≠ 9 π
Với điều kiện trên thì phương trình đã cho tương đương với :
2 + hπ ⇔ x= π
4 + h
π
2 , k ∈ z
4 , h=2⇒ x ≠ 5 π
h=3⇒ x≠ 7 π
Nhận thấy với k lẻ thì nghiệm của phương trình thỏa điều kiện của bài
4 + h
π
3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác là pt cĩ một trong các dạng sau :
asin2x + bsinx + c = 0 (1) atan2x + btanx + c = 0 (3) acos2x + bcosx + c = 0 (2) acot2x + bcotx + c = 0 (4)
Cách giải : Đặt ẩn phụ t bằng một trong các hslg trên,pt (1) và (2) điều kiện -1 t 1 ,pt (3) và ((4) phải cĩ
điều kiện của tanx và cotx
VÍ DỤ
Giải các phương trình : sin 2 x – 3sinx +2 = 0
Giải :
t=1 t=2
⇔ ¿
Nghiệm t = 2 khơng thỏa điều kiện của phương trình
2 + k 2 π , k ∈ Z
BÀI TẬP
Bài 1 :Giải các phương trình
Trang 6TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM 1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2)
tan22 x −(1+ √ 3) tan2 x+ √ 3=0
3) cot2x
2 − 6 cot
x
2 + 5=0 4)
4 sin2x −2(1+ √ 3)sin x + √ 3=0
Bài 2 : Giải các phương trình :
1) 8cos2x + 2sinx - 5 = 0 2) 2 cos 2 x +2 cos x − √ 2=0
3) cos2x - √ 3 sinx =1 4) 2 cos 2 x −2 ( 1+ √ 3 ) sin x + √ 3 −2=0
5) 6 sin23x +cos12x =14 6) cos 2 x − sin2x=0
7) cos4x + cos2x =2 8) 3 tan 2 x+ √ 3 cot 2 x −3 − √ 3=0
9) 2cos2x – sin2x - 4cosx + 2 = 0 10) 9sin2x -5cos2x -5sinx + 4 = 0
11) cos2x + sin2x +2cosx + 1 = 0 12) tanx + 2cotx = 3
13) sin2x
2 − 2cos
x
2 +2=0 14) sin3x+cos3x =sinx + cosx
15)sin4x + cos4x = 1
2 sin 2 x 16) 2cos22x +3sin2x = 2
17) 2 – cos2 x = sin4x 18) sin3x+cos3x= 2 −sin 2 x
19) (3-2cosx)cosx = 2cos2x -1 20) cos 2 x+2cos x=2sin2x
2
HƯỚNG DẪN
12) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x) =(sinx+cosx)(1- sin 2 x
15) sin4x +cos4x= ( sin2x )2+ ( cos2x )2=[ ( sin2x )2+ ( cos2x )2+ 2 sin2x cos2x]− 2sin2x cos2x
= ( sin2x+cos2x )2−2 sin2x cos2x=1 −2 sin
2
2 x
4
18) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x)=(sinx+cosx)(1- sin 2 x
16) Thay sin2x= 1 −cos 2 x
2
3/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX : a sinx + b cosx = c (1)
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
sin a cos b ± cos a sin b=sin (a ± b) cos a cos b ± sin a sin b=cos (a ∓b)
Cách giải
Cách 1 : Chia hai vế của phương trình cho √ a2+ b2 ,ta được :
a
√ a2+ b2sin x+
b
√ a2+ b2cos x=
c
√ a2+ b2
Vì ( √ a2a + b2)2+ ( √ a2b + b2)2=1 nên nếu a
√ a2+ b2=cos α thì
b
√ a2+ b2=sin α pt trở
thành :
sin x cos α +cos x sin α= c
√a2+b2
¿
√ a2+ b2
¿
Đây là pt lượng giác cơ bản,pt này cĩ nghiệm khi | √ a2c
+ b2| ≤ 1 ⇔a2
+ b2≥ c2
Trang 7TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
Cách 2 : Chia hai vế của phương trình cho a ,pt trở thành :
sin x+ b
a cos x=
c
a ⇔sin x+tan α cos x= c
a
⇔sin x+ sin α
cos α cos x=
c
a ⇔sin x cos α+cos xsin α= c
a cos α
Nếu | c a cos α | > 1 thì phương trình vô nghiệm
Nếu | c a cos α | < 1 ta đặt | c a cos α | =sin β ,pt trở thành :
sin(x +α)=sin β đây là pt cơ bản
Cách 3 : Đặt t=tan x
2 , ta có công thức : sin x=
2t 1+t2 , cos x=
1− t2
1+t2 thì pt trở thành :
a 2t
1+t2+ b
1 −t2 1+t2= c
¿
⇔(b+c)t2
− 2 at+b − c=0
¿
, Đây là pt bậc hai theo t
B.VÍ DỤ :
Giải phương trình :
sin x − √ 3 cos x=1
Bài giải :
Cách 1 : Chia hai vế của phương trình cho 2 ta được :
1
2 sin x −
√ 3
1 2
Vì 1
2 = cos 60
0
và √ 3
0 nên phương trở thành : sinxcos600 - cosxsin600 = 1
2
sin(x- 600) = sin300
x − 600=300
+ k 3600
¿
x − 600=1800−300+ k 3600
¿
x=900
+ k 3600
¿
x=2100+ k 3600¿
¿
, kz Cách 2 : Chia hai vế của pt cho 1 , phương trình trở thành
sin x − √ 3 cos x=1
⇔sin x − tan 600 cos x=1
⇔sin x− sin 600
cos 600cos x =1
⇔sin x cos 600
−cos x sin 600=cos 600
⇔sin (x−600
)= 1
2 ⇔sin (x −600
)=sin 300 , đây là pt cơ bản
Cách 3 : Đặt t=tan x
2 , phương trình trở thành :
2t 1+t2− √ 3
1− t2
1+t2=1 ⇔2 t −√3+√3 t2=1+t2
⇔ ( 1 − √ 3 ) t2−2 t+1+ √ 3=0
Đây là phương trình bậ hai theo t
C.BÀI TẬP
Giải các phương trình :
Trang 8TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM 1) 3 cos 2 x − √ 3 sin 2 x =−3 2) √ 3 sin ( x −300) + cos ( x − 300) = 1
3) 3sin2x + 4 cos2x = 5 4) √ 2cos (− x )+ √ 2 sin ( π +x )= √ 3
5) sinx + cosx = √ 2 6) sin 2 x +2 √ 3cos2x =0
7) sin 4 x= √ 3 (cos 4 x − 1) 8) tan150.cosx + sinx -1 = 0
9) sin 2 x +sin2x= 1
2 10)
1+sin x
HD : 6) Thay cos2x= 1+cos 2 x
2
8) Thay tan 150
= sin 150
cos 150 rồi qui đồng mẫu số
9) Thay sin2x= 1 −cos 2 x
2
10) Đặt điều kiện rồi qui đồng ,khử mẫu đưa về dạng ( 1 )
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT THEO SINX VÀ COSX
asin2x + b sinxcosx + c.cos2x =d với a,b,c không đồng thời bằng 0
A KIÊN THỨC CẦN NHỚ
Cách giải :
Cách 1 :
+ Với cosx = 0 tương ứng sin x=± 1 thế vào pt
Nếu vt = vp ( thỏa) : pt cĩ nghiệm x= π
2 + kπ , k ∈ z
Nếu vt ≠ vp (khơng thỏa ) pt khơng cĩ nghiệm x= π
2 + kπ
+ Với cos x ≠ 0 ,Chia hai vế của phương trình cho cos2x,phương trình trở thành :
a tan2x + b tanx + c = d
cos2x
a tan2x + b tanx + c = d(1+tan2x)
Đây là phương trình bậc 2 theo tanx
Cách 2 : Dùng cơng thức hạ bậc , thay sin2x= 1 −cos 2 x
2x= 1+cos 2 x
sin x cos x= sin 2 x
2 ta được :
a 1 − cos 2 x
sin 2 x
1+cos 2 x
⇔b sin 2 x+(c −a)cos2 x=2 d − a −c
Đây là phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x
B.VÍ DỤ ;
Ví dụ 1 : Giải các phương trình :
2sin2x – 5 sinx.cosx - cos2x = -2
Bài giải :
Cách 1 :
thỏa
mãn phương trình (1) Pt khơng cĩ nghiệm cosx = 0
cos2x = − 2 ( 1+tan
2
x )
Trang 9TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
tan x=1 tan x= 1
4
⇔ ¿
4 + kπ , k ∈ z
4 ⇔ x=arctan 1
4 + kπ , kz
Cách 2 : Thay sin2x= 1 −cos 2 x
2x= 1+cos 2 x
sin 2 x
được :
2 1 −cos2 x
sin 2 x
1+cos 2 x
⇔5 sin 2 x+3 cos2 x=5
Đây là phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x
Ví dụ 2 : Giải phương trình :
2 cos2x −3 √ 3 sin 2 x −4 sin2x=−4
Bài giải :
2 + kπ , ¿ k ∈ z .
cos2x = − 2 ( 1+tan
2
x )
√ 3 ⇔ tan x=tan π
6 + kπ , ¿ k ∈ z
π
6 + kπ , ¿ k ∈ z
Bài tập : Giải các phương trình
1) 3 sin2x +4 sin 2 x + ( 8 √ 3 −9 ) cos2x=0 2) ( √ 3+1 ) sin2x − √ 3 sin 2 x + ( √ 3 −1 ) cos2x=0
3) 3sin2x - 4 sinxcosx +5cos2x = 2 4) sin2x + sin2x - 2cos2x = 1
2
5) sin2x − √ 3 cos2x= ( 1− √ 3 )
22 x −√3 sin 4 x =1+ sin22 x
7) 2 sin22 x+ ( 3+ √ 3 ) sin 2 x cos 2 x + ( √ 3 −1 ) cos22 x=−1 8)
√ 3 sin2x + ( 1 − √ 3 ) sin x cos x − cos2x+1 − √ 3=0
9) 2 sin2x +3 sin 2 x +2(1+ √ 3)=5+ √ 3 10) sin2x −2 cos 2 x − 4 sin 2 x=0
Một số pt áp dụng công thức biến đổi :
Vd: Giải các phương trình
1) sinx + sin2x + sin3x = 0 2) cos3x – cos4x + cos5x = 0 (*)
3) cos3x.cos7x = sin4x.sin6x 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 (*) 5) 2 sin2x.sinx =1 + cosx – cos3x
Giải 1) sinx + sin2x + sin3x = 0
Ta có : sinx + sin2x + sin3x = 0
⇔(sin x +sin 3 x)+sin 2 x=0 ⇔2 sin 2 x cos x+sin 2 x=0
Trang 10TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
⇔sin 2 x(2 cos x +1)=0
sin 2 x=0
2 cos x+1=0
⇔ ¿
sin2x= 0 ⇔ x=kπ , k ∈ z
2cosx+1 = 0 ⇔cos x=− 1
2 =cos
2 π
x= 2 π
3 + k 2 π
x=− 2 π
3 + k 2 π
, k ∈ z
⇔ ¿
CHƯƠNG II : TỔ HỢP – XÁC SUẤT
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1- Qui tắc cộng : Một công việc được thực hiện bởi nhiều phương án Phương án thứ nhất có m cách
chọn,phương án thứ hai có n cách chọn thì có m + n cách chọn công việc
Nếu và B là các tập hợp hữu hạn không có giao nhau( A B = )thì
n( A ∪ B)=n( A)+n (B)
Nếu Avà B là hai tập hợp hữu hạn bất kì ( A và B có thể giao nhau) thì n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)
n( A ∪ B)=n( A)+n (B)−n( A ∩ B)
2- Qui tắc nhân : Một công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn liên tiếp nhau Công đoạn thứ nhất
có m cách chọn,công đoạn thứ hai có n cách chọn thì có m n cách chọn công việc
B VÍ DỤ
Ví dụ 1:
Có 4 nam , 5 nữ hỏi có bao nhiêu cách chọn :
a) Một học sinh đi trực
b) Một cặp song ca
Vd2 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số:
a) Có 4 chữ số b) Có 4 chữ số khác nhau
c) Số lẻ có 4 chữ số khác nhau d) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau
Bài giải :
a ) Gọi số cần tìm là abcd
Tại d có 6 cách chọn
Qui tắc nhân ta có : 5.6.6.6 = 1080 số
tắc nhân ta có : 3.4.4.3 = 144 số
Cách 1:Số có 4 chữ số khác nhau = số lẻ có 4 chữ số khác
nhau + số chẵn có 4 chữ số
nhau – số lẻ có 4 chữ số khác nh = 300 – 144 = 156
Bài giải :
a) Số cách chọn một học sinh đỉ trực
Có 4 cách chọn 1nam
Có 5 cách chọn 1 nữ Vậy theo qui tắc cộng ta có : 4 + 5 = 9 cách b) Số cách chọn một cặp song ca
- Có 4 cách chọn nam,
- Ứng với 1 cách chọn nam thì lại có 5 cách chọn nữ
Vậy theo qui tắc nhân ta có 4.5 = 20 cách chọn
Trang 11TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
( tương tự )
Qui tắc nhân ta có : 5.5.4.3 = 300 số
Cách 2 :
Trường hợp d = 0 Tại d có 1 cách chọn
Tại a có 5 cách chọn vì ad
Tại c có 3 cách chọn Theo qui tắc nhân ta có 1.5.4.3 = 60 số
)
Tại c có 3 cách chọn Theo qui tắc nhân ta có 2.4.4.3 = 96 số
Bài tập
1/ Từ các số 1,2,3,4,5,6,,7 có thể lập được bao nhiêu số :
a) Có 5 chữ số b) Có 5 chữ số khác nhau
c) Số chẵn có 5 chữ số d) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau
2/ Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số:
a) Có 5 chữ số b) Có 5 chữ số khác nhau
c) Số lẻ có 5 chữ số khác nhau d) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau
e) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5
3/ Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 30 hs biết đá bóng,20 học sinh biết đánh bóng chuyền ,15 học sinh biết cả hai môn Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh
a) Biết chơi thể thao b) Không biết chơi thể thao
4 / Từ A đến B có 3 con đường ,từ B đến C có 4 con đường ,từ C đến D có 5 con đường Hỏi có bao nhiêu cách
đi :
a) Từ A đến D ( ĐS : 3.4.5 cách )
b) Từ A đến D rồi trở về A (ĐS : 60.60 cách )
c) Từ A đến D rồi trở về A mà không trở lại đường cũ (ĐS: 60.24 cách)
5) Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc Người ta chọn 1 cặp để phát biểu ý kiến ,Hỏi có bao nhiêu cách chọn để : a) Hai người đó là vợ chồng ( Đs : 10 cách )
b) Hai người đó không phải là vợ chồng ( Đs : 90 cách )
6) Có bao nhiêu cách xếp 5 nam , 5 nữ vào 10 ghế thành hàng ngang sao cho :
a)Nam nữ ngồi xen kẽ nhau (Đs : 5!.5! cách)
b)Các bạn nam ngồi cạnh nhau (Đs : 6.5!.5! cách )
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1)Hoán vi : Chọn n trong n phần tử và xếp theo 1 thứ tự nhất định thì gọi là 1 hoán vị của n phần tử.Tổng
số các hoán vị là :
2)Chỉnh hợp : Chọn k trong n phần tử ( 1≤ k ≤ n ) và sắp xếp theo 1 thứ tự nhất định (vd:nhất,nhì,ba)
thì gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử.Tổng số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là :
An k= n !
( n −k )!
3)Tổ hợp : Một tập hợp con gồm k phần tử ( 1≤ k ≤ n ) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử
Tổng số các tổ hợp chập k của n phần tử là :
Cn k= n !
k ! (n− k ) !
B VÍ DỤ :
Có 10 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách xếp :
1) 10 học sinh vào cái bàn có 10 chỗ ngồi
2) 4 học sinh để phát thưởng nhất ,nhì , ba ,tư
3) 3 học sinh đi trực
Bài giải :
1) Chọn 10 học sinh trong 10 ,sắp xếp theo một thứ tự nhất định ,mỗi cách sắp xếp là một hoán
vị của 10 phần tử Tổng số các hoán vị là :