Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tròn (O) và vuông góc với AE, BC cắt đường tròn (O’) tại I.. ĐỀ CHÍNH THỨC.[r]
Trang 1HUYỆN THẠCH HÀ
SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2011 - 2012 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 23 / 12 / 2011
Bài 1 (4,0 điểm):
Cho biểu thức:
M
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M
Bài 2 (5,0 điểm):
a) Cho x, y là hai số dương và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
A
xy x y
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n,
2 1 3 2 4 3 (n 1) n
Bài 3 (4,0 điểm):
Giải các phương trình:
a) 3 x 1 3 x 2 3 x 3 0
b) x25x x25x 4 2
Bài 4 (5,0 điểm):
Cho đường tròn tâm O đường kính AB; E là một điểm bất kì thuộc đường kính AB (E khác A và B) Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tròn (O) và vuông góc với AE, BC cắt đường tròn (O’) tại I Chứng minh rằng:
a) Ba điểm I, E, D thẳng hàng
b) HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
c) ∆CHO = ∆HIO’
d) HA + HB + HC + HD 2 2 2 2 không đổi khi E chuyển động trên đường kính AB
Bài 5 (2,0 điểm):
Cho (O; R) và hai điểm A, B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R √2 Tìm vị trí điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA+ √2 MB đạt GTNN?
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Bài Nội dung Điểm
Bài 1
4,0đ
a) (2,0đ)
ĐKXĐ: a 0;a 9
a a 3 2( a 3) a 3 M
( a 1)( a 3) a 1 a 3
2
( a 1)( a 3)
a a 3 2a 12 a 18 a 4 a 3
( a 1)( a 3)
a a 24 3a 8 a
( a 1)( a 3)
( a 1)( a 3)
a 8
a 1
0,5đ
0,5đ 0,5đ
0,5đ
b) (2,0đ)
Ta có:
Áp dụng BĐT CôSi cho 2 số a 1 và
9
a 1 ta có:
9
a 1
Dấu “=” xẩy ra khi
9
a 1
Vậy: Min M = 4 khi a 4
0,75đ
0,5đ
0,5đ 0,25đ
Bài 2
5,0đ
a) (2,5đ)
Trước hết chứng minh: Với hai số dương x và y ta có :
xyx y (*)
Áp dụng (*) ta có
4
A
2xy x y 2xy 2xy x y 2 xy x 2xy y
2
2 xy (x y)
Dấu “=” xẩy ra khi
x y
Vậy Min A = 14 tại x = y =
1
0,5đ
0,5đ
1,0đ 0,5đ
b) (2,5đ)
Ta có
n
(n 1) n
n
0,5đ
0,5đ 0,5đ
Trang 3A=
2 1 3 2 4 3 (n 1) n 1 2 2 3 n n 1 =
Bài 3
4,0đ
a) (2,0đ)
Đặt : a= 3
√x+1 ; b= 3
√x+2 ; c= 3
√x+3 Phương trình (1) đã cho trở thành:
a+b+c= 0 a b c a 3ab(a b) b c
3 3 3
x + 1+ x +2 + x +3 = 3 3
√(x +1)(x +2)(x +3)
<=> 3(x+2) = 3 3
√(x +1)(x +2)(x +3) (x +2)3 = (x+1)(x+ 2)(x+3)
<=> (x+2) [(x +2)2- (x +1)(x +3)] =0
<=> x +2 = 0 <=> x = - 2
Vậy pt (1) có nhgiêm x = - 2
1,0đ 0,5đ
0,5đ
b) (2,0đ)
x 5x x 5x 4 2 (2)
ĐK: x25x 4 0 (x 1)(x 4) 0 x 4 hoặc x1 (*)
Đặt x25x 4 t 0 (**) ta có phương trình
(2) t2 t 2 0 (t 1)(t 2) 0 t 1 (loại) hoặc t 2 (Thỏa mãn **)
Với t = 2 ta có x25x 4 2 x25x 4 4 x 0 hoặc x = - 5
Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm của pt (2) là x = 0 và x = - 5
0,5đ 0,25đ
0,5đ 0,5đ 0,25đ
Bài 4
5,0đ
Vẽ hình đúng (0,5đ)
a) (1,5đ)
Tứ giác ACED là hình thoi (vì hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm)
=> AC // DE
Mà AC BC => DE BC (1)
I thuộc (O’) => EI IB hay EI BC (2)
Từ (1) và (2) => D, E, I thẳng hàng (đpcm)
0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ
b) (1,0đ)
Vì HID HDI và O 'IB B mà D B (cùng phụ với BCD ) HID O 'IB
Do đó: HIO 90 0, suy ra HI là tiếp tuyến của (O’)
0,5đ 0,5đ
c) (1,0đ)
Xét 2 tam giác vuông HCO và IHO’ có HC = HI (vì cùng = HD) (3)
Ta có OC =R(O)
HO’ = HE + EO’ = 1/2AE + 1/2EB = 1/2.2R(O)= R(O)
0,5đ
Trang 4Từ (3) và (4) => ΔHCO = ΔIHO' (cạnh huyền – cạnh góc vuông) 0,5đ
d) (1,0đ)
Ta có: HA2 + HB2 = AC2 ; HC2 + HD2 = BD2
Mà BD = BC (do AB là đường trung trực của CD)
Nên HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = AC2 + BC2
Mặt khác: ACB nội tiếp đường tròn đường kính AB ACB vuông tại C
AC2 + BC2 = AB2 = 4R2
Vậy, tổng HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 không đổi khi E chuyển động trên đường
kính AB
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài 5
2,0đ
Gọi C là giao điểm của đoạn thẳng OA với (O; R)
Trên đoạn OC lấy điểm N sao cho
OC
2
Suy ra
2
ON ON OM suy ra MOA~NOM
(c.g.c)
MA
MN
(không đổi)
Dấu “=” xẩy ra khi M thuộc đoạn NB Vậy M là giao
điểm của đoạn NB với đường tròn (O; R)
B
C A N
M
O
0,5đ
0,5đ
0,5đ 0,5đ
Lưu ý: - Học sinh giải cách khác đúng và hợp lí vẫn cho điểm tối đa;
- Điểm toàn bài thi qui tròn đến 0,5.