On luyen HSG 9 co dap anst

AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm M sao cho góc AMB = 90 0. Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. - Trong một đường tròn , đ[r]

các bài toán hình học có nhiều cách giải

Dạng toán chứng minh về góc với đờng tròn qua nhiều cách giải 1 bài toán

Bài toán 1: Cho  ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O, với AB > AC Kẻ đờng cao AH, bán

kính OA Chứng minh OAH = ACB - ABC

(Góc ngoài tam giác) Hay ACB = ABC + OAH  

Vậy: OAH = ACB - ABC (Đpcm)  

Ta đợc: ABC + OAH = CAD + ADC   

Mà CAD + ADC = ACB (góc ngoài tam giác)  

 ABC + OAH = ACB  

Vậy: OAH = ACB - ABC (Đpcm)  

 OAH + ABC = ACB   

Vậy OAH = ACB - ABC (Đpcm)  

Cách giải 4: Hình 4

Gợi ý:

- Kẻ đờng kính AOD

- Kẻ CK  AD

Ta đợc: AMC - ADM = ACB - ABC  

Mà: AMC - ADM = OAH (góc ngoài tam giác)  Vậy OAH = ACB - ABC (Đpcm)  

 OAH + ABC = ACB  

Vậy OAH = ACB - ABC (Đpcm)  

Mà: xAB = ACB (góc nội tiếp cùng chắn AB ) 

 OAH + ABC = ACB  

Vậy OAH = ACB - ABC (Đpcm)  

Đây là một bài toán có nhiều cách giải khác nhau nhng ở bài toán này việc sử dụngyếu tố vẽ thêm đờng phụ là một vấn đề quan trong cho việc tìm ra các lời giải và là vấn đềkhó đối với học sinh ở bài toán trên giáo viên cần cho học sinh chỉ ra kiến thức đã vận dụngvào giải bài toán

- Kiến thức về hai đờng thẳng song song, hai đờng thẳng vuông góc

- Góc nội tiếp, góc ở tâm, góc ngoài tam giác

Dạng chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau,đờng thẳng song song,đồng quy

Bài toán 2: Trong hình vuông ABCD và nữa đờng tròn đờng kính AD và vẽ cung AC mà tâm

là D Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nữa đờng tròn đờng kính AD ở K Chứngminh PK bằng khoảng cách từ P đến AB

Xét APK và tam giác API

 APK vuông tại K ( Vì góc AKD = 900

góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn

Gợi ý: - Ngoài cách chứng minh hai tam giác

 APK và  API bằng nhau cách 1 ta chứng

minh^P1=^P2 Ta chứng minh ^A1=^A2

- Gọi F là giao điểm của AP với đờng tròn

đờng kính AD

Lời giải: Ta có: AFD = 900

( Góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn)

Tam giác ADP cân tại D có DF là đờng cao

nên DF cũng là phân giác suy ra: ^D1=^D2

Lời giải: Ta có IAK = ADK ( Có số đo bằng  

1

2 sđ AK )Mặt khác góc IAP là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AP của đờng tròn tâm D nên góc

- Kéo dài K cắt đờng tròn tâm D tại E

- áp dụng định lí của góc tạo bởi tiếp tuyến

và dây cung

Lời giải: DK  AE nên AP = PE  

Góc BAE (góc tạo bởi tiếp tuyến và

dây cung AE )Vì AP lại đi qua điểm chính

giữa của cung AE nên AP là tia phân giác của

góc BAE Suy ra: ^A1=^A2

- Trờng hợp bằng nhau trong tam giác vuông

- Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Bµi gi¶i:

Gäi O lµ giao ®iÓm cña BD vµ CF

Ta cÇn chøng minh A; O; E th¼ng hµng

Ta cã ΔDAB = ΔCAF (bµi to¸n 1)

⇒ ∠B1 = ∠F1⇒ AOBF néi tiÕp

1

123

Qua bµi trªn ta nhËn thÊy c¸c gãc AOB; BOC; COA cã sè ®o lµ 1200

Tõ ®©y ta x©y dùng bµi to¸n dùng h×nh kh¸ quen thuéc sau :

Bµi to¸n 4:

Cho tam gi¸c ABC, vÒ phÝa ngoµi tam

gi¸c, dùng c¸c tam gi¸c ABF; ACD

vu«ng c©n t¹i A Chøng minh r»ng CF =

IN // = 1

2BD (2)Mµ: CF = BD (3)

Tõ (1); (2) vµ (3) suy ra: IM IN

IM = IN

Hay ΔMIN vu«ng c©n t¹i I

Nhận xét rằng ΔAMB và ΔANC vuông cân tại M và N Từ đây ta có bài toán tiếp.

Bài toán 5:

Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các tam

giác ABM vuông cân tại M; ACN vuông cân tại N Gọi I là

trung điểm của BC ΔIMN là tam giác gì?

Nếu học sinh lần đầu gặp bài toán này mà cha gặp dạng thì

hơi khó giải đối với các em

A

N M

I

Bài toán trên có thể diển đạt cách khác làm cho học sinh dễ chứng minh hơn bằng cách thay các

tam giác vuông cân ABM, CAN bằng các hình vuông ABDE và ACHF thì ta đợc bài toán

đơn giản hơn.Ta có bài toán tiếp sau :

Bài toán 7: Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đờng tròn (O) M ; N ; P lần lợt là cá điểm

chính giữa các cung nhỏ AB ; BC ; CA  MN và NP cắt AB và AC theo thứ tự ở R và S.

Chứng minh rằng: RS // BC và RS đi qua tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC

Cách giải 1: Hình 1.

Gợi ý: Đây là một bài toán hình tơng đối khó đối với học sinh nếu không có t duy tốt trong

hình học Khi đa ra bài toán này ngay cả việc

vẽ hình cũng là một vấn đề khó và các em

đã không tìm ra đợc lời giải Dới sự hớng dẫn của thầy

Ta có AN; BP và AN là các tia phân giác

của tam giác ABC Gọi I là giao điểm của

các đờng phân giác Khi đó ta có I chính

là tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC

Để chứng minh cho RS // BC và I  RS ta đi

chứng minh IR // BC ; IS // BC rồi sử dụng

tiên đề về đờng thẳng song song để suy ra

điều phải chứng minh

Sau một thời gian ngắn một học sinh đã

tìm ra đợc lời giải cho bài toán này

Và cũng là lời giải ngắn mà thầy đã tìm ra

2



;

  1  1BIN = A + B =

A B2

 ( Góc ngoài của tam giác ABI )Suy ra : IBN = BIN   NBI cân tại N  N thuộc trung trực của đoạn thẳng BI

Ta chứng minh đờng trung trực của đoạn thẳng này chính là RN

Gọi H là giao điểm của MN và PB Ta có

 B = RIB  IR // BC ( Vì tạo với các tuyến BI hai góc so le trong bằng nhau ) 2 

Cũng chứng minh tơng tự ta đợc IS // BC, từ điểm I ở ngoài đờng thẳng BC ta chỉ có thể kẻ

đ-ợc một đờng thẳng song song với BC

 R ; I ; S thẳng hàng

Vậy RS // BC và RS đi qua tâm I của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC ( Đpcm)

Cách giải 2: Hình 2

Gợi ý: Trong cách giải này yêu cầu học

sinh phải nắm lại kiến thức cũ về

Tính chất đờng phân giác trong tam giác

đây là tính chất quan trọng mà các em đã đợc

học ở lớp 8 đa số học sinh ít thậm trí là không

hay để ý đến tính chất này

Lời giải: Theo giả thiết ta có

 

MA = MB do đó MN là phân giác của góc ANB

áp dụng tính chất đờng phân giác

trong tam giác ABN ta có:

=

RB NB ( 1)Tơng tự: NP là phân giác của tam giác ACN

=

SC NC (2) vì BN = CN nên BN = CN kết hợp với (1) và (2) ta đợc  

=

RB SC  RS // BC Gọi giao điểm của RS với AN là I, của BC và AN là D vì RS // BC nên ta có:

Hai tam giác BND và tam giác ANB đồng dạng

(vì có góc BNA chung và BAN NBD ) nên

Suy ra BI là phân giác của góc ABC

ở trên ta có I thuộc phân giác AN của góc BAC ta lại vừa chứng minh I thuộc phân giác

ABC nên I là tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC ( Đpcm)

Bài toán 8: T ừ một điểm trên đờng tròn ngoại tiếp của một tam giác bất kì hạ các đờng

vuông góc xuống ba cạnh của tam giác ABC nội tiếp đờng tròn Chứng minh rằng chân của

ba đờng vuông góc đó thẳng hàng

(Đờng thẳng này gọi là đờng thẳng Simson)

Cách giải 1:

Vì D = E = 90 suy ra tứ giác   0

BDPE là tứ giác nội tiếp  BED = BPD (*) 

( Góc nội tiếp cùng chắn một cung )

và F = E = 90  0

suy ra tứ giác EFCP cũng là tứ giác nội tiếp

suy ra FEC = FPC  (**)

( Góc nội tiếp cùng chắn một cung )

Vì tứ giác ABPC nội tiếp đờng tròn

   Tứ giác EFCP là tứ giác nội tiếp  FEP + PCF = 180 (1)  0

Vì tứ giác ABPC nội tiếp đờng tròn  ABP + FCP = 180 Mà   0 ABP + BDP = 180  0

 FCP = DBP (2)  

- Tứ giác nội tiếp đờng tròn.

- Góc nội tiếp trong đờng tròn

Bài toán 10:

Cho tam giác ABC, dựng

về phía ngoài tam giác

Dạng chứng minh đờng thẳng song song và tam giác đồng dạng

Bài toán 11: Đờng tròn (O;R1) và (O';R2) tiếp xúc nhau tại P Một cát tuyến qua P cắt (O;R1)tại A và (O';R2) tại B Một cát tuyến khác cũng qua P cắt (O;R1) tại C và (O';R2)

tại D Chứng minh : OA//O'B ; OC//O'D ; AC//BD các tam giác PAC và PBD đồng dạng

Sau khi đọc bài toán này giáo viên cần cho học sinh nhắc lại kiến thức về hai đờngtròn tiếp xúc với nhau Và từ đó cần yêu cầu học sinh để giải bài toán trên chung ta phải đixét hai trờng hợp sảy ra

Hai đờng tròn tiếp xúc ngoài và hai đờng tròn tiếp xúc trong.ở đây tôi chỉ trình bày về hai ờng tròn tiếp xúc ngoài còn trờng hợp hai đờng tròn tiếp xúc ngoài chúng ta chứng minh tơngtự

Ta có các tam giác OAP và tam giác O'BP là các tam giác cân tại O và O'

Suy ra:OAP = OPA và   O'PB = O'BP mà  OPA = O'PB ( Hai góc đối đỉnh)

Suy ra tiếp các góc ở vị trí so le trong bằng nhau  OA//O'B ; OC//O'D ; AC//BD

Và  OAP = PBO'  hai tam giác  OAP và  O'BP đồng dạng 



1 2

R

=

PB PO' R (1)

Tơng tự ta cũng có : OCP = OPC và   O'PD = O'DP mà  OPC = O'PD ( Hai góc đối đỉnh)

 OCP = PDO'  hai tam giác  OCP và  O'DP đồng dạng 



1 2

1 2

RPC

PD R

lại có CPA = BPD Suy ra :  PAC và  PBD đồng dạng

tia tiếp tuyến và dây cung

Lời giải:

Kẻ tiếp tuyến chung xPy

của hai đờng tròn

Ta có CAP = CPy = xPD = PBD   

( áp dụng tính chất về góc tạo bởi

tiếp tuyến và dây cung và góc nội

Dạng chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn,hình vuông

Bài toán 12: Cho tam giác đờng phân giác BN và tâm O của đờng tròn nội tiếp trong tam

giác Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt BC tại H Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm trên một đờng tròn

Đối với bài toán này xảy ra hai trờng hợp đối với hình vẽ Tr

ờng hợp 1 : H và O nằm cùng phía với AC Hình 1

Tr

ờng hợp 2 : H và O nằm khác phía với AC Hình 2

Gợi ý:

Gọi I là giao điểm của AH và BN

Kẻ AP vuông góc với CO cắt AB tại P M là giao điểm của OC và AB

K là giao điểm của OC và AP

- áp dụng tính chất giữa các đờng( đờng cao, đờng trung trực, đờng trung tuyến, đờngphân giác đờng trung bình,) trong tam giác

- Kiến thức về tứ giác nội tiếp

- Tính chất góc ngoài tam giác

 Tứ giác AOHC nội tiếp đợc  A; O; H; C cùng nằm trên một đờng tròn

Cách giải 2:

Ta có BN là đờng trung trực của AH  BHO = BAO mà   BAO = OAC nên 

2 2 = 900  OAI bằng (hoặc bù) vớigóc OCH  Tứ giác AOHC nội tiếp đợc  A; O; H; C cùng nằm trên một đờng tròn

2 (Vì O là tâm của đờng tròn nội tiếp )

 AHC = AOC  Tứ giác AOHC nội tiếp đợc  A; O; H; C cùng nằm trên một đờng tròn

2 (Vì O là tâm của đờng tròn nội tiếp )  AHC + AOC = 180 0

Tứ giác AOHC nội tiếp đợc  A; O; H; C cùng nằm trên một đờng tròn

Cách giải 5:

Ta có

 A + B AON =

2 ( Góc ngoài ở đỉnh O của tam giác AOB )

 AOH = A + B     AOH + ACH = 180 0 ( Hình 1)

hoặc AOH = ACH = A + B ( Hình 2)   Suy ra Tứ giác AOHC nội tiếp đợc  A; O; H; C cùng nằm trên một đờng tròn

Bài toán 13 :

Cho hình bình hành ABCD, về phía

ngoài hình bình hành, dựng các tam

giác ABM vuông cân tại M; ACN

vuông cân tại N; BDP vuông cân tại

M F

E

Q

K L N

P

G

H R

S

Tiếp tục bài toán trên, Nếu tứ giác ABCD không phải là hình bình hành mà là một tứ giác

thờng thì liệu tứ giác SGHR có tính chất gì không? Ta có bài toán 15

Bài toán 15: Cho hình tứ giác ABCD, về phía ngoài tứ giác, dựng các hình vuông

ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gọi V, S, J, K lần l ợt là tâm của các hình vuông trên

Chứng minh rằng KS = VJ và KS VJ.

Bài giải:

Gọi I là trung điểm của AC, theo bài toán

7 ta chứng minh đợc tam giác SIJ và tam

giác VIK vuông cân tại I

Xét hai Δ: ΔVIJ và ΔKIS, có:

Gọi R là giao điểm của IS và VJ

Do ∠IJV = ∠ISK (ΔVIJ = ΔKIS)

P

Q

M N

Bài toán 16:

Cho tam giác ABC, dựng về

phía ngoài tam giác các hình

vuông ABDE và ACHF Gọi I, J

lần lợt là tâm của hai hình

vuông đó M, N là trung điểm

của BC và EF Chứng minh rằng

tứ giác IMJN là hình vuông

ở bài toán trên, ta có thể chứng minh đợc đờng trung tuyến AN của tam giác AEF cũng là

đ-ờng cao của tam giác ABC và đđ-ờng trung tuyến AM của tam giác ABC cũng là đđ-ờng cao của

tam giác AEF

Đối với bài toán này việc vẽ đờng phụ là quan trọng Học sinh cần áp dụng kiến thức

về hai tam giác đồng dạng, kiến thức về tam giác cân, tam giác đều Tính chất của dãy tỉ số

bằng nhau đã đợc học ở lớp 7 vào giải bài toán

Hai cách giải trên tơng tự giống nhau Song sau khi đã tìm đợc lời giải 1 giáo viên cần

gợi ý cho học sinh qua câu hỏi Vậy nếu trên tia BP lấy một điểm D sao cho PD = PC thì ta

có thể chứng minh đợc hệ thức trên hay không?

Nh vậy thì học sinh mới t duy và tìm tòi lời giải Giáo viên không nên đa ra lời giải mà phải

để học sinh tìm lời giải cho bài toán

Bài tập tự luyện tại nhà cho học sinh.

Bài tập 1: ở miền trong của hình vuông ABCD lấy một điểm E sao cho EAB = EBA = 15  0

Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác đều

Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của đờng chéo AC và BD gọi M và N là

trung điểm của OB và CD chứng minh A; M; N; D cùng thuộc đờng tròn

Bài tập 3:Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính AC Trên tia AB lấy điểm D

sao cho AD = 3AB Đờng thẳng Dy vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của đờng tròn

(O) tại E Chứng minh tam giác BDE là tam giác cân

Bài toán 4:Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABEF; ACMN;

BCPQ Chứng minh các đờng cao của các tam giác AFN; CMP; BQE xuất phát từ A, B, C

đồng quy

Bài toán 5: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và

ACHF Chứng minh rằng đờng trung tuyến AN của tam giác AEF cũng là đờng cao AP của

tam giác ABC và đờng trung tuyến AM của tam giác ABC cũng là đờng cao của tam giác

AEF

ĐƯỜNG TRÒN – HÌNH VUÔNG

1/ Cho hình vuông ABCD Đường kính CD và đường tròn tâm A , bán kính AD cắt nhau tại M ( M không trùng với D ) Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua trung điểm cạnh BC

HƯỚNG DẪN B

O

DM là dây chung của hai đường tròn  AO  DI

 OAD = CDI ; AD = CD   ADO =  DCI  IC = OD = ½ BC

M

K

H O

Nhận xét : EF  AB , EK  AK

 cần chứng minh AE là phân giác của góc BAD

Đường tròn (D ) tiếp xúc với AB tại A  ADE = 2FAE (1)

ADE = KAF = FAE + EAK (2) Từ (1) và (2) ta có : FAE = EAK

3/ Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm diđộng E , F sao cho : AE + EF + FA = 2a

a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định b/ Tìm vị trí của E , F sao cho diện tích  CEF lớn nhất

Do đó  CEF =  CEK ( c.c.c)

Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau

CH không đổi , C cố định , CH  EF  EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định (

C , a )

b/  HCF =  DCF ( H = D = 900 ; CF chung ; CH = CD = a )  SHCF = SDCF Chứng minh tương tự ta có : SHCE = SBCE do đó SHCF + SHCE = SDCF + SBCE

 SCEF = ½ SCDFEB  SCEF = ½ ( a2 – SAEF )

SAEF  0  SCEF  ½ a2 Dấu “ = “ xảy ra  SAEF = 0 

E  B , F  A hoặc E  A , F  D Vậy E  B , F  A hoặc E  A , F  D thì SCEF đạt giá trị lớn nhất 5/ Trên đoạn AB lấy M tùy ý Trên đoạn AM và MB dựng về một phía đối với AB các hình vuông AMEF và MBCD Đường tròn ngoại tiếp 2 hình vuông cắt nhau tại điểm thứ hai là N

a/Chứng minh AN đi qua một đỉnh của hình vuông thứ hai

b/Tìm quỹ tích của N khi M di chuyển trên AB

c/Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn nối tâm hai hình vuông

HƯỚNG DẪN

F E

E K

CD

a/ BD cắt AE tại H  AHB có : HAB = HBA = 45 0  HB  AH

Xét  AEB ta có : EM  AB ; BH  AE  AD  BE tại N

Mà DNB = 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )  DN  BE tại N

 ba điểm A , D , N thẳng hàng

 điều phải chứng minh

b/ Quĩ ttích của N là nửa đường tròn đường kính BD

c/ Quĩ tích của I là đường trung trực của đoạn thẳng PQ Khi M trùng với B thì I trùng với tâm của hình vuông AMEF

Bồi D ỡng học sinh giỏi môn toán 9

A- Mục tiêu:

-Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đờng tròn.

-Vận dụng một cách thành thục các đn,tính chất để giải các dạng bài tập đó -Rèn kỹ năng và t duy hình học.Sáng tạo và linh hoạt trong giải toán hình học.

B - NỘI DUNG :

I/ Những kiến thức cơ bản :

1) Sự xỏc định và cỏc tớnh chất cơ bản của đường trũn :

- Tập hợp cỏc điểm cỏch đều điểm O cho trước một khoảng khụng đổi R gọi làđường trũn tõm O bỏn kớnh R , kớ hiệu là (O,R)

- Một đường trũn hoàn toàn xỏc định bởi một bởi một điều kiện của nú Nếu

AB là đoạn cho trước thỡ đường trũn đường kớnh AB là tập hợp những điểm Msao cho gúc AMB = 900 Khi đú tõm O sẽ là trung điểm của AB cũn bỏn kớnhthỡ bằng R=AB

2

- Qua 3 điểm A,B ,C khụng thẳng hàng luụn vẽ được 1 đường trũn và chỉ một

mà thụi Đường trũn đú được gọi là đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC

- Trong một đường trũn , đường kớnh vuụng gúc với một dõy thỡ đi qua trungđiểm dõy đú Ngược lại đường kớnh đi qua trung điểm của một dõy khụng điqua tõm thỡ vuụng gúc với dõy đú

- Trong đường trũn hai dõy cung bằng nhau khi và chỉ khi chỳng cỏch đều tõm

- Trong một đường trũn , hai dõy cung khụng bằng nhau , dõy lớn hơn khi và chỉkhi dõy đú gần tõm hơn

2) Tiếp tuyến của đường trũn :

- Định nghĩa : Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường trũn nếu nú cúmột điểm chung với đường trũn Điểm đú được gọi là tiếp điểm

- Tớnh chất : Tiếp tuyến của đường trũn vuụng gúc với bỏn kớnh tại tiếp điểm Ngược lại , đường thẳng vuụng gúc với bỏn kớnh tại giao điểm của bỏn kớnhvới đường trũn được gọi là tiếp tuyến

- Hai tiếp tuyến của một đường trũn cắt nhau tại một điểm thỡ điểm đú cỏch đếnhai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm đú đi qua tõm là tia phõn giỏc của gúc tạo bởi haitiếp tuyến ; tia kẻ từ tõm đi qua điểm đú là tia phõn giỏc của gúc tạo bởi haibỏn kớnh đi qua cỏc tiếp điểm

- Đường trũn tiếp xỳc với 3 cạnh của một tam giỏc gọi là đường trũn nội tiếpcủa tam giỏc đú Tõm của đường trũn nội tiếp tam giỏc là giao của 3 đườngphõn giỏc của tam giỏc

- Đường trũn bàng tiếp của tam giỏc là đường trũn tiếp xỳc với một cạnh vàphần kộo dài của hai cạnh kia

3) Vị trớ tương đối của hai đường trũn :

- Gi s hai đ ng trũn ( O;R) và (O’;r) cú R r và d = OO’ là kho ng cỏch gi a haiư ≥ r và d = OO’ là khoảng cỏch giữa hai ữa haitõm Khi đú m i v trớ t ng đ i gi a hai đ ng trũn ng v i m t h th c gi a R , rương đối giữa hai đường trũn ứng với một hệ thức giữa R , r ối giữa hai đường trũn ứng với một hệ thức giữa R , r ữa hai ư ứng với một hệ thức giữa R , r ới một hệ thức giữa R , r ột hệ thức giữa R , r ệ thức giữa R , r ứng với một hệ thức giữa R , r ữa hai