Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = AM. Gọi E là trung điểm của MN. Tia DE cắt BC tại F. Qua M vẽ đường thẳng song song với AD cắt DF tại H... a) Tứ [r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT NHA TRANG
TRƯỜNG THCS ÂU CƠ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI N.H 2012 – 2013 Môn : TOÁN – LỚP 9
Thời gian : 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (4,0 điểm)
Cho biểu thức A = n3 – n
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử
b) Chứng tỏ rằng A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n
Bài 2 (6,0 điểm)
x x x 3x 2 x 5x 6 4
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
x 2x 2012 B
x
Bài 3 (3,0 điểm)
Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên y > 0 sao cho: 19y - 1 31
Bài 4 (7,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = AM Gọi E là trung điểm của MN Tia DE cắt BC tại F Qua
M vẽ đường thẳng song song với AD cắt DF tại H
a) Tứ giác MHNF là hình gì ? Giải thích
b) Chứng minh ND2 NB.NF
c) Chứng minh rằng chu vi của tam giác BMF không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh AB
d) Gọi P là giao điểm của DM và BC Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho đoạn thẳng PN là nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
HẾT
Trang 2-HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ HSG 2012 - Môn : Toán – LỚP 8 Bài 1 (4,0 điểm)
a) A = n3 – n = n(n2 – 1) = (n -1)n(n+1) ( 2 đ)
b) Vì trong A có tích của 2, 3 số TN liên tiếp nên A 2 và 3 ( 1 đ)
Bài 2 (6,0 điểm)
x x x 3x 2 x 5x 6 4 (1) ĐKXĐ : x 0; 1; 2; 3
0,5 đ
(1)
x(x 1) (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) 4
2
Tìm được nghiệm : x = 1 và x = -4 (thỏa ĐK). 0,5 đ
Câu b) (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
x 2x 2012 B
x
.
+
2
2011x
B
1 đ
+ Vì x 2012 2 0; 2012.x2 0 x 0
nên
2
x 2012
0
2012.x
1 đ
+ Dẫn đến B min =
2011
Bài 3 (3,0 điểm)
Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên y > 0 sao cho: 19y - 1 31
Giải : Xét dãy số 191 , 192, 193 , ,1931
Chia lần lượt các số hạng trên cho 31 ta được 30 số dư 1 đ
Vì 31 nhưng chỉ có 30 số dư nên theo nguyên tắc Di – rích - lê có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho
Giả sử 2 số đó là 19i và 19j với i > j và i = j + y 0,5 đ
Ta có 19i - 19 j 31
Trang 3Bài 4 (7,0 điểm) a) Tứ giác MHNF là hình gì ? Giải thích (2 điểm)
+ C/m được EMH = ENF (g-c-g)
MHNF là hình bình hành ( 2 đ/c cắt tại trung điểm mỗi đường) 1 đ
+ C/m được AMD = CND (c.g.c) DM = DN
DMN cân tại D DE MN
o,5 đ + Suy ra : MHNF là hình thoi 0,5 đ
b) Chứng minh ND2 NB.NF (2 điểm)
+ C/m được ADM CDN (AMD = CND) DMN vuông cân tại
D 0,5 đ
+ Dẫn đến : NDF NBD 450
0,5 đ
+ Dẫn đến : NDF ~ NBD (g-g )
0,5 đ
c) CMR: chu vi của tam giác BMF không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh AB.
+ Chu vi BMF : BM + BF + MF = BM + BF + FN = BM + BF + FC + CN 0,25 đ
= BM + BC + AM = 2BC (không đổi) 0,25 đ
d) d) Gọi P là giao điểm của DM và BC Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho đoạn thẳng PN là nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Đặt NC = x, AB = a
(0,5)
PB
2
x
( bất đẳng thức Cauchy )
Dấu ” = ” xảy ra khi x = a ( do a >0)