TRR KHTN ch1 Toán rời rạc

Toán học rời rạc là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính.

TOÁN R I R C

Ph m Th B o

email: ptbao@hcmus.edu.vn

www.math.hcmus.edu.vn/~ptbao/TRR/

1 ThS Nguy n Duy Nh t, ThS Nguy n

V n Phong, PGS.TS inh Ng c Thanh, Toán r i r c

Ki m tra gi a k : 30%

Ki m tra cu i k : 70%

đ đ nh có giá tr chân lý xác đ nh, đúng ho c sai

Câu h i, câu c m thán, m nh l nh… không là m nh đ

Ví d :

- m t tr i quay quanh trái đ t

- 1+1 =2

- Hôm nay tr i đ p quá ! (ko là m nh đ )

- H c bài đi ! (ko là m nh đ )

- 3 là s ch n ph i không? (ko là m nh đ )

Chân tr c a m nh đ :

M t m nh đ ch có th đúng ho c sai, không th

đ ng th i v a đúng v a sai Khi m nh đ P đúng ta nói P có chân tr đúng, ng c l i ta nói P có chân tr sai

Chân tr đúng và chân tr sai s đ c ký hi u l n

l t là 1 (hay ,T) và 0 (hay S,F)

a M nh đ ph c h p: là m nh đ đ c xây d ng t các

m nh đ khác nh liên k t b ng các liên t (và, hay, khi

và ch khi,…) ho c tr ng t “không”

b M nh đ s c p (nguyên th y): Là m nh đ không th

xây d ng t các m nh đ khác thông qua liên t ho c

Ví d

- “Hôm nay, An giúp m lau nhà và r a chén”

- “Hôm nay, cô y đ p và thông minh ”

- “Ba đang đ c báo hay xem phim”

d Phép kéo theo: M nh đ P kéo theo Q c a hai m nh đ

P và Q, kí hi u b i P → Q (đ c là “P kéo theo Q” hay

“N u P thì Q” hay “P là đi u ki n đ c a Q” hay “Q là

đi u ki n c n c a P”) là m nh đ đ c đ nh b i:

P → Q sai khi và ch khi P đúng mà Q sai

B ng chân tr

e Phép kéo theo hai chi u: M nh đ P kéo theo Q và

- 2=4 khi và ch khi 2+1=0

- 6 chia h t cho 3 khi và chi khi 6 chia h t cho 2

- London là thành ph n c Anh n u và ch n u thành ph HCM là th đô c a VN

- π >4 là đi u ki n c n và đ c a 5 >6

Bài t p: L p b ng chân tr c a nh ng d ng m nh đ sau

E(p,q) = ¬(p ∧q) ∧p

F(p,q,r) = p ∧(q ∨r) ↔ ¬q

t ng đ ng logic n u chúng có cùng b ng chân tr (hay

Trong phép tính m nh đ ng i ta không phân bi t nh ng

Qui t c thay th : Trong d ng m nh đ E, n u ta thay th bi u

th c con F b i m t d ng m nh đ t ng đ ng logic thì d ng

m nh đ thu đ c v n còn t ng đ ng logic v i E

Ví d ¬(p ∧ q) ∨ r⇔ ( ¬p ∨ ¬ q) ∨ r

10 Lu t h p th p ∨ (p ∧ q) ⇔ p

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p

Trong các ch ng minh toán h c, xu t phát t m t s kh ng

đ nh đúng p, q, r…(ti n đ ), ta áp d ng các qui t c suy di n

Qui t c này đ c th hi n b ng h ng đúng:

N u An đi h c đ y đ thì An đ u toán r i r c

An không đ u toán r i r c

Suy ra: An không đi h c đ y đ

3 Qui t c tam đo n lu n

Qui t c này đ c th hi n b ng h ng đúng:

Ho c d i d ng s đ

Ch nh t, An th ng lên th vi n ho c v quê

Ch nh t này, An không v quê

Suy ra: Ch nh t này, An lên th vi n

Qui t c này đ c th hi n b ng h ng đúng:

Hôm nay An h c bài

Hôm nay An ph m n u n

Suy ra: Hôm nay An h c bài và ph m n u n

Qui t c này đ c th hi n b ng h ng đúng:

Hôm nay An đi h c Toán r i r c và h c Anh v n

Suy ra: Hôm nay An h c Toán r i r c

7 Qui t c mâu thu n (ch ng minh b ng ph n ch ng)

Ta có t ng đ ng logic

ch ng minh v trái là m t h ng đúng ta ch ng minh n u

thêm ph đ nh c a h vào các ti n đ thì đ c m t mâu thu n

Ví d Cho a, b, c là 3 đ ng th ng phân bi t và a//c và

b//c ch ng minh a//b

⇔

D ng s đ

Hãy ch ng minh: Cm b ng ph n ch ng

8 Qui t c ch ng minh theo tr ng h p

D a trên h ng đúng:

Ý ngh a: n u p suy ra r và q suy ra r thì p hay q c ng có

th suy ra r

• Ch ng minh r ng:

ch ng minh m t phép suy lu n là sai hay

không là m t h ng đúng Ta ch c n ch ra

m t ph n ví d

Ch ng minh suy lu n sau:

Theo lu t logic, ta có

à

1 nh ngh a V t là m t kh ng đ nh p(x,y, ), trong đó x,y là

các bi n thu c t p h p A, B, Cho tr c sao cho:

- B n thân p(x,y, ) không ph i là m nh đ

- N u thay x,y,… thành giá tr c th thì p(x,y, ) là m nh đ

Ví d

- p(n) = “n +1 là s nguyên t ”

- q(x,y) = “x2 + y = 1”

- r(x,y,z) = “x2 + y2 >z”

2 Các phép toán trên v t Cho tr c các v t p(x), q(x)

theo m t bi n x ∈ A Khi y, ta c ng có các phép toán t ng

“∃x ∈ A, p(x)”

Ví d Các m nh đ sau đúng hay sai

nh ngh a Cho p(x, y) là m t v t theo hai bi n x, y xác đ nh trên A×B Ta đ nh ngh a các m nh đ l ng t hóa c a p(x, y)

nh sau:

“∀x ∈ A,∀y ∈ B, p(x, y)” = “∀x ∈ A, (∀y ∈ B, p(x, y))”

“∀x ∈ A, ∃y ∈ B, p(x, y)” = “∀x ∈ A, (∃y ∈ B, p(x, y))”

“∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” = “∃x ∈ A, (∀y ∈ B, p(x, y))”

“∃x ∈ A, ∃y ∈ B, p(x, y)” = “∃x ∈ A, (∃y ∈ B, p(x, y))”

- M nh đ “∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + 2y < 1” đúng hay sai

M nh đ sai vì không th có x = a ∈ R đ b t đ ng th c

a + 2y < 1 đ c th a v i m i y ∈ R (ch ng h n, y = –a/2 + 2 không th th a b t đ ng th c này)

- M nh đ “∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x + 2y < 1 ” đúng hay sai?

M nh đ đng vì t n t i x0 = 0, y0 = 0 ∈ R ch ng h n th a

x0 + 2y0 < 1

trên A×B Khi đó:

1) “∀x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” ⇔ “∀y ∈ B, ∀x ∈ A, p(x, y)”

2) “∃x ∈ A, ∃y ∈ B, p(x, y)” ⇔ “∃y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)”

3) “∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” ⇒ “∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)”

Chi u đ o c a 3) nói chung không đúng

V i v t theo 2 bi n

Qui t c đ c bi t hóa ph d ng:

N u m t m nh đ đúng có d ng l ng t hóa trong đó

m t bi n x ∈ A b bu c b i l ng t ph d ng ∀, khi y n u thay th x b i a ∈ A ta s đ c m t m nh đ đúng

Ví d :

“M i ng i đ u ch t”

“Socrate là ng i”

V y “Socrate c ng ch t”

T p h p là m t khái ni m

c b n c a Toán h c

Ví d : 1) T p h p sinh viên c a

m t tr ng đ i h c

2) T p h p các s nguyên 3) T p h p các trái táo trên m t cây c th

Lu t De Morgan:

Ví d

Tích các c a t p h p A v i t p h p B là t p h p bao g m t t c các c p th t (x,y) v i

Ký hi u A.B ho c

Chú ý: Tích c a 2 t p h p không có tính ch t giao hoán

h p

t p X và Y là m t qui t c sao cho m i x thu c X t n t i

duy nh t m t y thu c y đ y = f(x)

Ta vi t:

Ngh a là

f–1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} đ c g i là nh ng c c a B

Nh v y y ∈ f(A) ⇔ ∃x ∈ A, y = f(x);

y ∉ f(A) ⇔ ∀x ∈ A, y ≠ f(x)

f –1 (B)

a n ánh Ta nói f : X → Y là m t đ n ánh n u hai ph n t

khác nhau b t k c a X đ u có nh khác nhau, ngh a là:

Ví d Cho f: N →R đ c xác đ nh f(x)=x2 +1 (là đ n ánh)

Nh v y f : X → Y là m t đ n ánh

⇔ (∀x, x' ∈ X, f(x) = f(x') ⇒ x = x')

⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) có nhi u nh t m t ph n t )

⇔ (∀y ∈ Y, ph ng trình f(x) = y (y đ c xem nh tham s )

Ví d Cho f: R →R đ c xác đ nh f(x)=x3 +1 (là toàn ánh)

g: R →R đ c xác đ nh g(x)=x2 +1 (không là toàn ánh)

Ví d Cho f: R →R đ c xác đ nh f(x)=x3 +1 (là song ánh)

g: R →R đ c xác đ nh g(x)=x2 +1 (không là song ánh)

trong đó Y ⊂ Y' Ánh x tích h c a f và g là ánh x t X vào Z

xác đ nh b i: h : X → Z

x h(x) = g(f(x))

Ta vi t: h = gof : X → Y → Z

1 Ph ng pháp

V i nh ng bài toán ch ng minh tính đúng đ n c a m t bi u

th c m nh đ có ch a tham s n, nh P(n) Quy n p toán

h c là m t k thu t ch ng minh P(n) đúng v i m i s t nhiên n ≥N0

B c c s : Ch ra P(N0) đúng

B c quy n p: Ch ng minh n u P(k) đúng thì P(k+1)

đúng Trong đó P(k) đ c g i là gi thi t quy n p

G i P(n) = “1+3+…(2n-1)=n2 “

+ B c c s :

Hi n nhiên P(1) đúng vì 1= 12

d ng n