Trường BDVH 218 Lý Tự Trọng 1 Lưu Văn Thám sưu tầm và thực hiện.. P là hình chiếu vuông góc của C trân AN và Q là hình chiếu vuông góc của M trên AB.[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012
MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I
1 Giải hệ phương trình : xy(x y) 2 3 3
9xy(3x y) 6 26x 2y
2 Giải phương trình: x 4 2 4 x 2 2x
Câu II
1 Tìm 2 chữ số tận cùng của số A = 41106 + 572012
2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y 3 2x 1 x 5 4x2 với 1 x 5
Câu III
Cho ABC nhọn (AB > AC ) nội tiếp đường tròn (O) Giả sử M, N là 2 điểm trên cung nhỏ
BC sao cho MN // BC và tia AN nằm giữa hai tia AM và AB P là hình chiếu vuông góc của C trân AN và Q là hình chiếu vuông góc của M trên AB
1 Giả sử CP giao QM tại T Chứng minh rằng T nằm trên đường tròn (O)
2 NQ giao (O) tại R khác N Giả sử AM giao PQ tại S Chứng minh rằng 4 điểm A, R, Q, S thuộc một đường tròn
Câu IV
Với mỗi số n nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 cố định, xét tập n số thực đôi một khác nhau X={x1 ; x2 ; ; xn} Kí hiệu C(X) là số các giá trị khác nhau của các tổng xi + xj (1 i < j n) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của C(X)
-
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012
BÀI GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN (Vòng 2)
Câu I 1 Giải hệ phương trình : xy(x y) 2 3 3
9xy(3x y) 6 26x 2y
(1) (2) (I)
(I)
2 2
3x y 3xy 6
27x y 9xy 3x y 3xy 26x 2y
3 2 2 3 3 2 2 3
x 3x y 3xy y 27x 27x y 9xy y
(x + y)3 = (3x – y)3 x + y = 3x – y x = y thay vào (1)
2x3 = 2 x = y = 1 Thử lại hệ nhận nghiệm duy nhất x = y = 1
2 Giải phương trình: x 4 2 4 x 2 2x (1) ĐK: 4 x 4
* Với x = 0 thay vào (1) thỏa 0 là nghiệm của (1)
* Với x 0: (1) x 4 x 2 2x 4 x 2 x 4 2
4 – x = 4x + 16 + 8 x 4 + 4 5x – 16 = 8 x 4
2
2
5
25 25x 160x 256 64x 256 25x 96x 0 25x 96 0 (do x 0)
Vậy phương trình có hai nghiệm 0 ; 96
25
Câu II.1 Tìm 2 chữ số tận cùng của số A = 41106 + 572012
Ta có : 574 = 10 556 001 1 mod(100) 572012 1 mod(100)
415 =115 856 201 1 mod(100) 41105 1 mod(100) 41106 41 mod (100)
41106 + 572012 42 mod(100) Vậy A có 2 chữ số tận cùng là 42
2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y 3 2x 1 x 5 4x2 với 1 x 5
Áp dụng bất đẳng thức TB cộng, TB nhân ta có:
2x 1= (2x 1).1 2x 1 1 x
2
2 2 2 x 5 4x 3x 5
x 5 4x x (5 4x )
Khi x = 1 thì y = 4, vậy giá trị lớn nhất của y là 4
Trang 3Câu III
Cho ABC nhọn (AB > AC ) nội tiếp đường
tròn (O) Giả sử M, N là 2 điểm trên cung nhỏ
BC sao cho MN // BC và tia AN nằm giữa hai
tia AM và AB P là hình chiếu vuông góc của C
trân AN và Q là hình chiếu vuông góc của M
trên AB
1 Giả sử CP giao QM tại T Chứng minh rằng T
nằm trên đường tròn (O)
2 NQ giao (O) tại R khác N Giả sử AM giao PQ
tại S Chứng minh rằng 4 điểm A, R, Q, S thuộc
một đường tròn
1 MN//BC
T nằm trên đường tròn ngoại tiếp ACM T (O) (đpcm)
2 Q, P nhìn AT theo góc vuông tứ giác APQT nội tiếp QPT QAT BAT mà
Tứ giác NMAR nội tiếp NMA R 180 o mà NMA QSA QSA R 180 o
Tứ giác QSAR nội tiếp (đpcm)
Câu IV Với mỗi số n nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 cố định, xét tập n số thực đôi một khác nhau
X={x1 ; x2 ; ; xn} Kí hiệu C(X) là số các giá trị khác nhau của các tổng xi + xj (1 i < j n) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của C(X)
Không mất tính tổng quát ta giả sử x1 < x2 < < xn
x1 + x2 < x1 + x3 < <x1 + xn < x2 + xn < x3 + xn < < xn-1+ xn (1)
Số số hạng (mỗi số hạng là tổng xi + xj) của đãy (1) là (n – 1) + (n – 2) = 2n – 3
Vậy C(X) 2n – 3
Khi X = {1; 2; ; n) thì các số hạng của tổng (1) chính là các số tự nhiên liên tiếp từ 3 tới 2n 1
mà 1 + 2 = 3 là tổng nhỏ nhất, (n-1)+n = 2n – 1 là tổng lớn nhất C(X) = 2n 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của C(X) là 2n – 3
Với X={x1 ; x2 ; ; xn} thì số tổng xi + xj (1 i < j n) nhiều nhất có thề lập được
2 C(X)
n(n 1) 2 Xét X = {2; 22; 23; ; 2n} ta chứng ming rằng hai tổng 2i
+ 2j và 2p + 2q luôn có giá trị khác nhau với i, p và j, q không đồng thời bằng nhau và 1 i < j n, 1 p < q n
Giả sử 2i
+ 2j = 2p + 2q Không mất tính tổng quát ta giả sử i p
2i (1+ 2j-i) = 2p(1+ 2q-p) 1+ 2j-i = 2p-i(1+ 2q-p) Nếu p i 1+ 2j-i
là số lẻ mà
2p-i(1+ 2q-p) là số chẵn vô lý p = i j = q i, p và j, q đồng thời bằng nhau (vô lý)
Vậy khi X = {2; 22
; 23; ; 2n} thì C(X) = n(n 1)
2 nên giá trị lớn nhất của C(X) là
n(n 1) 2
-Nhận xét chung: Đề năm nay các bài đều dễ (trừ bài 4), chắc là điểm chuẩn cao
1
1
R
P Q
T
A
S