c) Chứng minh rằng diện tích hình thoi ABCD gấp 8 lần diện tích tam giác BJK... LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1..[r]
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN Môn Toán (Vòng 1 – Đợt 2)
Ngày 20 tháng 6 năm 2020
Thời gian 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1
a) Giải phương trình: 3 x 3 2x x23x 9 6x x327
b) Giải hệ phương trinh:
2
x y
x y x y x y xy
Câu 2
a) Tìm x y, nguyên thỏa mãn: 3 3 3
x y x y
b) Với x y z , , 0 thỏa mãn x y z 3, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
x yz y zx z xy
Câu 3
Cho hình thoi ABCD với BAD 90 0 Đường tròn I nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BD BA, theo thứ tự tại các điểm J L, Trên đường thẳng LJ lấy điểm K sao cho BK song song với ID
a) Chứng minh rằng KB vuông góc với KC
b) Chứng minh rằng bốn điểm L C K I, , , cùng nằm trên một đường tròn
c) Chứng minh rằng diện tích hình thoi ABCD gấp 8 lần diện tích tam giác BJK
Câu 4
Với a b c , , 0 và không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng:
b c c a a b
…Hết…
Trang 2LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1
a) Điều kiện: x Phương trình tương đương: 3
2
2
1
0
x
x
Thỏa điều kiện ban đầu nên phương trình đã cho có ba nghiệm: S 0;1;3
b) Kết hợp với 2 2
2,
x y phương trình thứ hai của hệ tương đương:
2
2 2 2
x y x y x y xy
x y x y xy
x y xy
Vậy hệ cho tương đương:
2
2
2 1
5 2
4
x y
Từ đây tìm được x y 1
Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất x y ; 1;1
Câu 2
a) Ta có:
x y x y
Do x y, nguyên nên ta có: x 1 1;1; 2; 2 hay x 3; 2; 0;1
Với x Khi đó 2 y 0 hoặc y 1
Với x 0 Khi đó y 1 hoặc y 2
Trang 3Với x 1 Khi đó y 0 hoặc y 2.
Với x Khi đó 3 y22y Phương trình này không có nghiệm nguyên 2 0
Tóm lại, hệ đã cho có 6 nghiệm: x y ; 2;0 , 2;1 , 0;1 , 0; 2 , 1; 0 , 1; 2
b) Ta có:
3
x yz x x y z yz x xy zx yz x y x z
Tương tự, từ đó ta có:
2
xy yz zx
P
Áp dụng bổ đề với mọi a b c , , 0 ta có: 8 ,
9
ab bc ca a b c abbcca
ta có:
xy yz zx
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 1
Vậy giá trị lớn nhất của P là 3
4 đạt được khi x y z 1.
Câu 3
a) Do BC DA và KB DI nên KBCIDAIBAIJLKJC
Nên tứ giác BJKC nội tiếp, suy ra: 0
90
BKCBJC
IKC JBC ABJ LBJ LIC
Suy ra tứ giác LIKC nội tiếp
c) Gọi M là trung điểm BC,ta có: MKMBMC
MKB MBK JBK MK BJ S S
Trang 4Lại có:
BCD ABCD
BJK
Từ đây ta có điều phải chứng minh
Câu 4
Không mất tính tổng quát giả sử a 0, ta có điểu phải chứng minh
Xét a b c , , 0 ta chỉ cần chứng minh:
b c c a a b
Đặt
3
3
3
,
a x
b y
c z
với x y z , , 0, bất đẳng thức trở thành:
2
Xét x y z , , 0 Ta có:
3
Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tường đương với: 2 2 2
yz y z y z
Bất đẳng thức cuối đúng do x y , 0 nên ta có điều phải chứng minh
Từ đó ta cần chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:
2
2
x y z
Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi
0
x y z
z x y
Do x y z , , 0 nên đẳng thức không xảy ra
Do đó:
2
Từ đây ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi có một trong ba số bằng 0, hai số còn lại khác 0