Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P) 2.. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2.[r]
Trang 1ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC Môn : TOÁN Khối : B
Thời gian làm bài : 180 phút không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (m là tham số) (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2
2 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0
2 Giải hệ phương trình:
¿
(x − y)(x2+y2)=13 (x+ y)(x2− y2)=25
¿{
¿
(x, y )
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 5 = 0 và các điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0)
1 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P)
2 Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Câu IV (2 điểm)
1 Tính tích phân: I=∫
1
√e
3 −2 ln x
x√1+2 ln xdx
2 Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3 x
2+4
2+ y3
y2
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh tự chọn câu V.a hoặc câu V.b
Câu V.a
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1), đường cao qua đỉnh B có phương trình là x – 3y – 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình là x + y + 1 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác
2 Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n 2) Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n
Câu V.b
1 Giải phương trình 9x2
+x − 1 –10 3x2
+x −2 +1 = 0
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên A'A = b Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) Tính tg và thể tích của khối chóp A'.BB'C'C
–––––––––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––––––––––
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC Môn : TOÁN Khối : B
( Đáp án – Thang điểm có 4 trang )
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1) của hàm số (1,00 điểm)
Với m = 2 thì y = x3 - 3x2 + 4
TXĐ : D =
Sự biến thiên : y’ = 3x2 – 6x , y' = 0 x = 0, x = 2
0,25 Bảng biến thiên :
YCĐ = y(0) = 4; yCT = y(2) = 0
0,50
Đồ thị
0,25
2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời (1,00đ)
y' = 3x2 + 2(1 - 2m)x + 2 - m = f(x)
Yêu cầu bài toán phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
¿
¿
¿
Δ'=4 m2− m−5>0
f (1)=−5 m+7>0 S
2=
2 m−1
3 <1
¿
¿
0,25
5
4 < m <
7 5
0,50
Trang 3II 2,00
1 Giải phương trình (1,00 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với :
tgx=1
sin(x − π
4)=
√2 2
sin x − cos x=0 sin x − cos x=1 ⇔¿
¿
0,25
x = π4 + k, x = + k2 hoặc x = π2 + k2 (k Z) 0,50
2 Giải hệ phương trình (1,00 điểm)
Hệ đã cho tương đương với :
(x − y)(x2+y2)=13
¿
x + y¿2=25 (x − y )¿
¿
0,25
x − y¿3=1
¿
x+ y¿2=25
¿
¿
¿
0,25
x=−2 , y=− 3 x=3 , y=2
¿
0,25
1 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên (P) (1,00 điểm)
Hình chiếu A'B' của AB trên (P) là giao tuyến của (P), (Q), trong đó (Q) là
Ta có AB
⃗
= (2;0;–4) và véctơ pháp tuyến của (P) là n
⃗
p =
(2;1,2)
Véc tơ pháp tuyến của (Q) là n
⃗
Q = [ n
⃗
p , AB
⃗
]
=(4 ; 12 ; 2)
0,25
A'B': {2 x − y+2 z +5=0 2 x +6 y +z− 4=0
0,25
2 Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A B và tiếp xúc với (P) (1,00 điểm)
Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu (S) cần tìm (S) có phương trình
x2 + y2 + z2 2ax 2by 2cz + d = 0
(S) đi qua O, A, B {− 8 c +d +16=0 d=0
−4 a+d +4=0
{d=0 a=1 c=2
(1)
0,25
(S) tiếp xúc với (P) d(I,(P)) =OI 2ab+ 2c+5 = 5 √a2+b2+c2 0,25
Trang 4Kết hợp (1) suy ra b = 14 hoặc b = 32 0,25 Vậy, có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
(S):x2 +y2+z22x + 12 y 4z = 0 hoặc (S) x2 + y2 + z2 2x + 43 y4z = 0 0,25
1 Tính tích phân (1,00 điểm)
Đặt t = √1+2 ln x t2 = 1 + 2lnx tdt = 1x dx và 3 2lnx = 2 t2 0,25 với x = 1 thì t = 1; với x = √e thì t = √2 0,25
I=∫
1
√e
(2 −t2)tdt
1
√e
= (2 t − t3
3)∨√2
4√2− 5
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A (1,00 điểm)
Ta có A = 3 x2+4
2+ y3
y2 =
3 x
1
x +
2
y2 + y
0,25
A = x
4 +
1
x + 2 (y12+
y
8+
y
8) + x + y
2 1 +
3
2 + 2 =
9
Với x = y = 2 thì A = 9
2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
9
1 Xác định tọa độ các đỉnh B, C của ABC (1,00 điểm)
Đường thẳng AC qua A(2;1)và vuông góc với đường thẳng x3y+7= 0 nên
AC có phương trình 3x + y 7 = 0
0,25
tọa độ C là nghiệm của hệ {3 x + y −7=0 x + y +1=0 {y=−5 x=4 C(4; -5)
0,25
Vì B thuộc đường thẳng: x – 3y + 7 = 0 B(3t + 7; t)
tọa độ trung điểm của AB là I (3t +92 ;
t +1
0,25
Vì I thuộc trung tuyến qua C nên 3 t +92 +t +1
2 +1=0 t = 3 B(-2; -3) 0,25
2 Đại số tổ hợp (1,00 điểm)
Số tam giác thỏa điều kiện đề bài là 10 C n2 + n C102 0,25
Từ giả thuyết suy ra 10 C n2 + n C102 = 2800 n2 + 8n 560 = 0
0,50
1 Giải phương trình (1,00 điểm)
Đặt t = 3x2
+x , phương trình đã cho trở thành: t2 10t + 9 = 0 t=1 t=9
¿
0,50 Với t = 1, ta được x2 + x = 0 x = 0 hoặc x = 1 0,25 Với t = 9, ta được x2 + x = 2 x = 1 hoặc x = 2 0,25
Trang 52 Tính tg và thể tích của khối chóp A’.BB’C’C (1,00 điểm)
Gọi E là trung điểm cạnh BC ,H là tâm tam giác ABC Vì A’.ABC là hình chóp đều nên góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) là =A’EH 0,25
AE = a√3
2 ,AH =
a√3
3 , HE =
a√3
√A ' A2− AH2=√9 b2−3 a2
3
tg = HEA ' H=¿ 2√3 b2−a2
a
0,25
SABC = a2√3
4 VABC.A’B’C’ = A’H.SABC = a2√3 b2− a2
4
VA’.ABC = 13 A’H.SABC = a2√3 b2− a2
12
0,25
VA’.BB’C’C =VABC.A’B’C’ –VA’.ABC= 1
3 A’H.SABC = a2√3 b2− a2
========== Hết ============
B’
b
a B