Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG.2[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012
Môn thi : TOÁN (ĐỀ 183 )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
m
y x m
x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1
2 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đường thẳng
d: x – y + 2 = 0 những khoảng bằng nhau
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình
2
x
2 Giải phương trình 7 x2 x x 5 3 2 x x 2 ( x )
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
3 0
3
x
dx
.
Câu IV (1,0 điểm) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên các cạnh AB, AC sao cho
DMN ABC
Đặt AM = x, AN = y Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y Chứng minh rằng: x y 3 xy
Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z 0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
16
P
x y z
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).
A Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai đường thẳng
d1:
, d2:
Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n , biết rằng n N thỏa mãn phương trình
log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3
B Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG
2 Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d:
và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0 Gọi M là giao điểm của d và (P) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới bằng 42
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
4
1
25
y x
Hết
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 183)
Với m =1 thì
1 1 2
y x
x
a) Tập xác định: D \ 2
0.25
b) Sự biến thiên:
2
' 1
y
1 ' 0
3
x y
x
lim
x
y
,
lim
x
y
, lim ( 1) 0 ; lim ( 1) 0
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x – 1
0.25
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 , 3; ;
hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
1;2 , 2;3
Cực trị: Hàm số đạt giá trị cực trị: yCĐ = 1 tại x = 1; yCT = 3 tại x = 3
0.25
c) Đồ thị:
0.25
+ +
-
1
3
Trang 3Với x2 ta có y’ = 1- ( 2)2
m
Hàm số có cực đại và cực tiểu phương trình (x – 2)2 – m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2
0
m
0.25
Với m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm là:
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(2 m ; 2 m 2 m ); B(2 m ;2 m 2 m )
Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình:
2 m m 2 m m
0.25
0 2
m
m
Đối chiếu điều kiện thì m = 2 thoả mãn bài toán
Vậy ycbt m = 2
0.25
1
Giải phương trình
2
x
Khi đó PT 1 sin 2 x cos x 1 2 1 sin x sin x cos x
1 sin x 1 cos x sin x sin cos x x 0
1 sin x 1 cos x 1 sin x 0
0.25
x x
2 2 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 2
2
x k
0.25
2
2
x x PT
2
x x
0
2
x x
x x
x
x
0.25
x 1
Trang 4Tính tích phân
3 0
3
x
dx
1.0
Đặt u = x 1 u2 1 x 2 udu dx ; đổi cận:
Ta có:
2
1
2
1
3
3 6ln
2
Dựng DH MN H
Do DMN ABC DH ABC
mà D ABC là
tứ diện đều nên H là tâm tam giác đều ABC.
0.25
Trong tam giác vuông DHA:
2
1
Diện tích tam giácAMN là
0
.sin 60
AMN
0.25
Thể tích tứ diện D AMN là
.
Ta có: SAMN SAMH SAMH
x y 3 xy
0.25
Trước hết ta có:
4
x y
(biến đổi tương đương) x y 2 x y 0 0.25 Đặt x + y + z = a Khi đó
(với t =
z
a, 0 t 1)
0.25
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t 0;1
Có
9
Lập bảng biến thiên
0.25
D
A
B C
H
M N
Trang 5
0;1
64 inf
81
t
GTNN của P là
16
Do B là giao của AB và BD nên toạ độ của B là nghiệm của hệ:
21
;
5
x
B
y
0.25
Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc giữa AC và AB bằng góc giữa AB và BD, kí hiệu
(1; 2); (1; 7); ( ; )
(với a 2 + b 2 > 0) lần lượt là VTPT của các đường thẳng AB, BD,
AC Khi đó ta có: c os n AB, nBD c os nAC, nAB
3
2
7
a
0.25
- Với a = - b Chọn a = 1 b = - 1 Khi đó Phương trình AC: x – y – 1 = 0,
A = AB AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
(3; 2)
A
Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC BD nên toạ độ I là nghiệm của hệ:
7
;
2
x
x y
I
y
Do I là trung điểm của AC và BD nên toạ độ
4;3 ; 14 12 ;
5 5
0.25
- Với b = - 7a (loại vì AC không cắt BD)
0.25
Phương trình tham số của d1 và d2 là:
0.25
Giả sử d cắt d1 tại M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và cắt d2 tại N(2 + m ; - 2 + 5m ; - 2m)
MN
Do d (P) có VTPT nP(2; 1; 5)
nên k MN : knp
0.25
Giải hệ tìm được
1 1
m t
Khi đó điểm M(1; 4; 3) Phương trình d:
1 2 4
3 5
0.25
Trang 6VII.a Tìm phần thực của số phức z = (1 + i) , biết rằng n N thỏa mãn phương trình
log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3
1.0
Điều kiện: 3
n N n
Phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3 log4(n – 3)(n + 9) = 3
0.25
(n – 3)(n + 9) = 43 n2 + 6n – 91 = 0
7 13
n n
Vậy n = 7
0.25
Khi đó z = (1 + i)n = (1 + i)7 = 1 i 1 i 23 1 i (2 ) i 3 (1 ).( 8 ) 8 8 i i i
Giả sử B x y ( ;B B) d1 xB yB 5; ( ; C x yC C) d2 xC 2 yC 7
Vì G là trọng tâm nên ta có hệ:
2 6
3 0
B C
B C
0.25
Từ các phương trình trên ta có: B(-1;-4) ; C(5;1)
0.25
Ta có BG (3;4) VTPT n BG(4; 3)
Bán kính R = d(C; BG) =
9
5 phương trình đường tròn: (x – 5)2 +(y – 1)2 =
81
Ta có phương trình tham số của d là:
3 2
2 1
toạ độ điểm M là nghiệm của hệ
3 2 2 1
2 0
x y z
(1; 3;0)
M
0.25
Lại có VTPT của(P) là n P(1;1;1)
, VTCP của d là ud(2;1; 1)
Vì nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u u nd, P (2; 3;1)
Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đóMN x ( 1; y 3; ) z
Ta có MN vuông góc với u
nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 = 0
2 0
x y z
0.25
Giải hệ ta tìm được hai điểm N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5)
0.25 Nếu N(5; -2; -5) ta có pt
:
(thoả mãn) (không thoả mãn)
Trang 7Nếu N(-3; -4; 5) ta có pt
:
VII.b
Giải hệ phương trình
4
1
25
y x
1.0
Điều kiện:
0 0
y x y
Hệ phương trình
4
y x
0.25
2
3
25
10
y
x y
x y
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
0.25
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được điểm từng phần như
đáp án quy định.
(không thỏa mãn đk) (không thỏa mãn đk)