SKKN ON THI HSG LOP 8 VA LOP 9

XÐt h×nh ch÷ nhËt COAE vµ DOBF.[r]

Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Giúp học sinh lớp 8 và lớp 9 ôn luyện trong các kì thi

chọn học sinh giỏi.

Phần I Đặt vấn đề

1 mở đầu:

Trong các kì thi, đặc biệt là các kì thi chọn học sinh giỏi, các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thờng gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức hay các bài toán cực trị Đây là một dạng toán khó, để giải đợc HS cần có một vốn kiến thức nhất định đặc biệt là kĩ năng giải toán phải tốt Tuy nhiên muốn

có đợc những kĩ năng nh vậy thì trớc hết HS phải nắm đợc phơng pháp giải, từ những phơng pháp đó thông qua rèn luyện thì HS mới hình thành đợc kĩ năng giải toán

II Thực trạng của vấn đề:

Mặc dù số năm công tác đối với bản thân cha nhiều, là ngời thầy, tôi luôn trăn trở suy nghĩ , tham khảo tài liệu, cố gắng sắp xếp hợp lý một số

ph-ơng pháp và bài tập về chứng minh bất đẳng thức với mong muốn giúp học sinh tự tin hơn khi đứng trớc một số bài toán về bất đẳng thức cụ thể là các bài toán chứng minh bất đẳng thức Thực tế với trờng tôi là một trờng vùng đặc biệt khó khăn, khả năng tiếp nhận kiến thức của HS yếu; đặc biệt khả năng t duy lại càng hạn chế Cũng có nhiều năm chuyên môn cũng nh BGH nhà tr-ờng có phân công cho tôi công việc ôn thi HSG trong các kì thi chọn HSG cấp huyện, hoặc ôn thi cho HS trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Bản thân tôi đã áp dụng các phơng pháp này trong ôn tập và thấy một bộ phận HS

có thể tiếp thu đợc các phơng pháp và làm đợc một số bài tập chứng minh bất

đẳng thức, trớc đó công việc này đối với các em còn rất chi là xa lạ và mới“

mẻ ”

Phần ii: giảiquyết vấn đề

i các biện pháp thực hiện:

Trong quá trình ôn luyện trớc hết tôi củng cố lại cho HS các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức sau đó mới hình thành phơng pháp cho các em

1 Kiến thức cơ bản:

1.1 Định nghĩa bất đẳng thức:

Ta gọi hệ thức có dạng: a>b hoặc a b hoặc a<b hoặc a b là một bất dẳng thức Trong đó a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức

Hay hiểu theo cách diễn đạt khác:

Với hai số a, b bất kỳ :a b ⇔ a -b 0 ; a>b a - b>0

a b ⇔ a -b 0 ; a<b a - b<0

1.2 Các tính chất:

1 a > b và b >c ⇒ a > c

2 a >b ⇒ a + c > b + c; a-c>b-c

3 a > b và c > 0 ⇒ ac > bc

a > b và c < 0 ⇒ ac < bc

4 a > b và c > d ⇒ a + c > b + d

a > b ; c < d ⇒ a - c > b – d

5 a > b , ab > 0 ⇒ 1a < 1

b

6 a > b > 0 ; 0 < c < d ⇒ a

c >

b d

7 a > b > 0 ⇒ a n > b n

a > b ⇔ a n > b n (n lẻ)

a b

⇔ a n > b n ( n chẵn )

8 Nếu m > n >0 thì a >1 ⇒ a m > a n

a =1 ⇒ a m = a n

0 < a < 1 ⇒ a m < a n

1.3 Các bất đẳng thức cơ bản:

1 a 2 0 với mọi a Dấu bằng xẩy ra ⇔ a = 0

2 |a| 0 với mọi a Dấu bằng xẩy ra ⇔ a = 0

3 |a| a với mọi a Dấu bằng xẩy ra ⇔ a 0

4 |a+b| |a| + |b| với mọi a,b Dấu bằng xẩy ra ⇔ ab 0

5 |a − b| |a| - |b| với mọi a,b Dấu bằng xẩy ra ⇔ ab > 0

và |a| |b|

II các biện pháp tổ chức thực hiện

Trên cơ sở HS đã nắm đợc các kiến thức cơ bản, tiếp theo tôi đa ra các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức cho HS Đối với từng phơng pháp tôi

có đa ra các ví dụ và những bài tập vận dụng

2.1 Ph ơng pháp 1:

Sử dụng định nghĩa:

Với hai số a, b bất kỳ :a b ⇔ a -b 0; a>b a - b>0

a b ⇔ a -b 0 ; a<b a - b<0

a Phơng pháp giải: -Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A - B Nếu hiện A

- B dơng thì khẳng định đợc A > B là bất đẳng thức cần chứng minh.

-Muốn chứng minh A  B hãy xét hiện A - B Nếu hiện A - B không âm thì khẳng định đợc A  B là bất đẳng thức cần chứng minh.

Các dạng còn lại thì cũng làm tơng tự

b Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Cho a,b,c > 0 chứng minh rằng (a + b + c) ( 1

a +

1

b +

1

c ) 9

Giải: Xét hiệu H = (a + b + c) ( 1

a +

1

b +

1

c ) - 9

= ( a

b +

b

a - 2) + (

a

c +

c

a - 2) + (

b

c +

c b

- 2)

= (a −b)

2

( a− c )2

(b − c )2

bc

Do a,b,c > 0 ⇒ H 0 Theo định nghĩa bất đẳng thức:

⇒ (a + b + c) ( 1

a +

1

b +

1

c ) 9

Dấu = xẩy ra ⇔ H = 0 ⇔ a = b = c

Ví dụ2: Cho a > 0, b > 0 chứng minh rằng: a3+b3

2 ≥(a+b2 )3

Giải: Xét hiệu: A = a3+b3

2 −(a+b2 )3

Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta đợc: A = 3

8 (a + b) (a - b)2 Vì a > 0 , b

> 0

⇒ a + b > 0 mà (a - b)2 0 ⇒ A 0

Theo định nghĩa ⇒ a3+b3

Dấu bằng xẩy ra ⇔ a = b

1.3 Bài tập tơng tự:

Bài 1: Chứng minh: x2 + 1 2x

Bài 2: Chứng minh: a

b +

b

a 2 với ab > 0

Bài 3: Chứng minh:

a) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx

b) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 2 (x + y + z)

Hớng dẫn câu a) bài 3: Nhân cảc hai vế với 2 ta có BĐT:

2x ❑2 + 2y ❑2 + 2z ❑2 2xy+ 2yz + 2zx Sau đó xét hiệu:

2x ❑2 + 2y ❑2 + 2z ❑2 - 2xy- 2yz - 2zx = x2-2xy+y2+y2-2yz+z2+z2 -2zx+x2

2.2Ph ơng pháp 2: Sử dụng tính chất

Phơng pháp giải: Sử dụng một hay nhiều tính chất đã nêu ở 2.2 để biến đổi.

Từ đó khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh

a.Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Cho a, b > 2 Chứng minh ab > a + b

Giải: Ta có: a > 2 , b > 0 ⇒ ab > 2b (1) (Tính chất 3)

b > 2 , a > 0 ⇒ ab > 2a (2) (Tính chất 3)

Từ (1) và (2) ⇒ 2ab > 2 (a + b) (Tính chất 4)

⇒ ab > a + b (Tính chất 3)

Ví dụ 2: Cho x 0, y 0, z 0 Chứng minh rằng:

(x + y) (y + z) (z + x) 8xyz

Giải: Ta có: (x-y)2 ⇒ x2 - 2xy +y2 0

⇒ x2 + 2xy +y2 4xy (Tính chất 2)

⇒ (x+y)2 4xy (1) Tơng tự ta có: (y+z)2 4yz (2)

(x+z)2 4xz (3) Nhân từng vế (1),(2),(3) ⇒ [(x+y)(y+z)(x+z)]2 (8xyz )2 (Tính chất 6)

⇒ (x+y)(y+z)(x+z) 8xyz (Tính chất 8)

b.Bài tập tơng tự:

Bài 1: Cho a , b > 2 Chứng minh rằng >2

Bài 2: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d

Chứng minh rằng ab >ad+bc

3 Ph ơng pháp 3 : Biến đổi tơng đơng

3.1 Phơng pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi

nó tơng đơng với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.

3.2 Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 2 (a2 + b2) với mọi a , b

Giải: (a + b)2 2(a2 + b2) (1)

⇔ a2 +2ab +b2 - 2a2 - 2b2 0

⇔ -(a2 - 2ab + b2) 0

⇔ -( a - b)2 0 (2)

Bất đẳng thức (2) luôn đúng ⇒ bất đẳng thức (1) đúng (đpcm)

Ví dụ 2:

Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng

a) a2

+b2

4 ≥ ab

b) a2+b2+1 ≥ ab+a+b

Giải:

a) a2+b2

4 ≥ ab

⇔ 4 a2

+b2≥ 4 ab ⇔ 4 a2

− 4 a+b2≥ 0

⇔(2 a −b)2≥ 0 (bất đẳng thức này luôn đúng)

Vậy a2

+b2

4 ≥ ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)

b) a2 +b 2 +1 ≥ ab+a+b

⇔2(a2

+b2+1)>2(ab+a+b)

⇔ a2− 2ab+b2 +a 2−2 a+1+b2− 2b +1≥ 0

b −1¿2≥0

a −1¿2+ ¿

a −b¿2+ ¿

⇔¿

Bất đẳng thức cuối đúng

Vậy a2+b2+1 ≥ ab+a+b

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

3.3 Bài tập tơng tự

Bài 1: Với mọi a, b Chứng minh a4 + b4 a3b + ab3

Bài 2: Chứng minh rằng, nếu <1 và <1 thì <

4.3 Ph ơng pháp 4 : Dùng bất đẳng thức quen thuộc

a Phơng pháp giải: Sử dụng các bất đẳng thức sau đây:

Các bất đẳng thức hay dùng:

1) Các bất đẳng thức phụ:

a) x2+y2≥ 2 xy

b) (x+ y)2≥ 4 xy

c) a

b+

b

a ≥2

* Bất đẳng thức Côsi: Cho a1, a2,….,an là các số không âm Khi đó ta có:

a1+a2+…+an

n

√a1a2… a n

Dấu bằng xảy ra ⇔ a1= a2 = …= an

* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho hai dãy số a1,a2,…và b1,b2,…bn khi đó ta có:

(a1b1+ a2b2 + …+ anbn)2 (a1 +a2 + …+ an )(b1 +b2 + …+bn )

Dấu bằng xẩy ra ⇔ a1

b1

=a2

b2

= =a n

b n

với quy ớc nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0

b Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh rằng:

a2

b+c+

b2

c +a+

c2 a+b ≥ a+b+c

2

Giải: Do a, b, c >0 ⇒ a2

b+c>0 và

b+c

4 >0

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số a2

b+c và

b+c

4 ta có

a2

b+c+

b+c

4 ≥2√ a2

b+c.

b +c

4 =2.

a

2=a

b+c ≥ a −

b+c

4

Tơng tự ta có: b2

a+c ≥ b −

a+c

4

c2

a+b ≥ c −

a+b

4

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc:

a2

b+c+

b2

a+c+

c2

a+b ≥(a+b+c )−

a+b+c

a+b +c

2

Vậy a2

b+c+

b2 a+c+

c2 a+b ≥

a+b+c

2 (đpcm)

Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số không âm và a+b+c=1 Chứng minh rằng:

√a+b + √b+c + √c+a √6

Giải: a, b, c 0 ⇒ a+b 0; b+c 0; c+a 0

⇒ √a+b , √b+c , √c+a có nghĩa

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski với 2 bộ số:

a1=1, a2=2, a3=3, b1= √a+b , b2 √b+c , b3= √c+a

ta có: (1 √a+b +1 √b+c +1 √c+a )2 (1+1+1)(a+b+b+c+c+a)

⇔ √a+b+√b +c +√c+a¿2≤ 3 2

¿

(vì a+b+c=1)

⇔ ( √a+b+√b +c +√c+a ≤√6 (đpcm)

*Lu ý: + Việc chứng minh các bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức

Bunhiacôpxki ở đây không đề cập mà chỉ hớng dẫn các em chứng minh bất

đẳng thức bằng cách sử dụng một hoặc nhiều bất đẳng thức đã biết khác.

+ Khi sử dụng bất đẳng thức Côsi thì cần chú ý các số áp dụng phải có điều kiện 0 còn bất đẳng thức Bunhiacôpxki thì không cần điều kiện các số 0 nhng phải áp dụng cho 2 bộ số.

c Bài tập tơng tự:

Bài 1: Chứng minh rằng : a2+b2+c2≥ ab+bc+ac

Hớng dẫn: Sử dụng BĐT Bunhiacỗpki cho hai cặp số: (1,1,1) và (a,b,c)

Bài 2: cho a, b, c >0 Chứng minh

√ a

b+c+√ b

a+c+√ c

a+b>2

Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số: và 1 ta có:

+1  2   2  

Làm tơng tự sau đó cộng vế với vế ta sẽ đợc BĐT cần chứng minh

Bài 3: Cho a+b = 2 Chứng minh a4+b4 2

5 Ph ơng pháp làm trội ( hoặc làm giảm)

a Phơng pháp giải: Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C) rồi

chứng minh C B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A và B) Tơng tự đối với phơng pháp làm giảm

b Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 3 ta có:

A = + +….+ + <

( Đề thi HSG lớp 8 huyện Bá Thớc năm học 2008 - 2009)

Giải:

Ta có: (2n+1)2>2n(2n+2) Thật vậy: (2n+1)2>2n(2n+2)  1>0 đúng Do đó ta có:

A = + + + + + < + + + =

( - + - +… + - ) = ( - < Suy ra điều phải chứng minh

c Bài tập tơng tự

Bài 1: Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng

+ + +……+ >

Hớng dẫn: Với k = 1, 2, 3, , n-1 Ta có:

>

Bài 2: Chứng minh rằng với n là số nguyên dơng ta có:

:

1+ 1

√2+

1

√3+ +

1

√n>2(√n+1− 1)

Hớng dẫn:

Ta có: 1

√k=

2

2√k>

2

√k +√k +1=2(√k +1 −√k)

11 Ph ơng pháp đồ thị và hình học

11.1 Phơng pháp giải: Vận dụng các kiến thức hình học để chứng minh các

bài toán về bất đẳng thức đại số.

11.2 Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với a, b ta có: √a+b<√a+√b

Giải: Xét Δ ABC có Â = 900, AB = √a ,

AC = √b

Theo định lý Pi ta go ta có: BC = √a+b

Trong Δ ABC ta có: BC < AB + AC

⇒ √a+b<√a+√b (đpcm)

Ví dụ 2: Cho a,b,c,d > 0 Chứng minh rằng:

√a2+b2+√c2+d2≥√(a+ c)2+(b+ d )2

Giải: Trên trục hoành Ox đặt liên tiếp hai đoạn OA = a, AB = c, còn trên trục

Oy đặt liên tiếp OC = b, CD = d Xét hình chữ nhật COAE và DOBF Theo

định lý pitago ta có:

OE = √a2+b2

EF = √c2

+d2

OF = √(a+c )2+(b+ d )2

⇒ √a2 +b 2

+√c2 +d 2≥√(a+ c)2+(b+ d )2

Dấu bằng xảy ra ⇔ Δ OAE Δ EFG ⇔ a

b=

c d

Ví dụ 3: Cho x, y là 2số thoả mãn:

¿

2 x + y −2 ≥ 0

2 x − y − 2≤ 0

2 y − x − 4 ≤ 0

¿ { {

¿

Chứng minh: x2 + y2 4

5

Giải:

Gọi I(x;y) là điểm trên

mặt phẳng Oxy trong đó x, y thoả mãn

đề bài Tập hợp các điểm I(x,y) là miền

ặt phẳng giới hạn bởi tam giác ABC

Nh vậy muốn chứng minh x2 + y2 4

5

b

a 

b

y

O

C

B A a b

G F

D d

E

C

A 2

x y

B

ta cần chứng minh : OI2 4

5

Mà OH AB; OI OH 1

OH2=

1

OA2+

1

OB2

Vậy OH2 = 4

5 Hay x2 + y2

4 5

11.3 Bài tập t ơng tự

Bài 1: Chứngminh rằng với a > b > 0 thì √a −√b<√a − b

Bài 2: Chứng minh rằng với x, y, z, t > 0 thì

√(x2+z2) (y2+z2)+√(x2+t2)(y2+t2)≥( x + y ) ( z+t )

Bài 3: Chứng minh rằng: | √x2−6 x +34 −√x2− 6 x+10|≤ 4

III Kết luận

Học sinh biết đợc càng nhiều phơng pháp chứngminh bất đẳng thức thì khi giải các loại bài tập liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức có nhiều hớng suy nghĩ nên dễ tìm ra cách giải qua đó cũng phát triển đợc t duy và nâng cao đợc năng lực sáng tạo

Trên đây là một vài kinh nghiệm mà tôi đã tích luỹ trong quá trình giảng dạy và hớng dẫn học sinh học toán, rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy, các cô cùng các bạn đồng nghiệp

-2

PHòNG GIáO DụC VINH

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán

" Giúp học sinh THCS hệ thống các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức"

(sáng kiến viết lần 1)

Năm học 2007-2008