c) Viết phương trình đường tròn nhận BC làm đường kính. d) Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một điều kiện nào đó. ĐỀ SỐ 1.[r]
Trang 1Giáo viên:Lê Thị Hạnh
Tổ toán
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN THI HỌC KÌ II
I-MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
1) Về kiến thức:
- Nắm khái niệm và định lý về dấu của các nhị thức bậc nhất,
tam thức bậc hai
- Khái niệm cung và góc lượng giác, giá trị lượng giác của một
cung và các công thức lượng giác
- hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
- phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường
thẳng
- Biết dạng phương trình đường tròn, tiếp tuyến của đường
tròn…
2-về kĩ năng:
- Vận dụng tốt định lý về dấu để xét dấu các nhị thức, tam thức
và giải một số bất phương trình quy về bậc nhất, bậc hai
- Tính được giá trị lượng giác của một cung, và vận dụng các
công thức lượng giác để rút gọn một biểu thức hoặc chứng
minh một đẳng thức lượng giác
- Viết được phương trình tổng quát của một đường thẳng và
giải được một số bài toán liên quan đến đường thẳng trong mặt
phẳng
- Viết được phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính
II- MA TRẬN ĐỀ :
Mức độ
Nhị thức, tam
thức 2
1
3
3 5
4 Cung và góc lượng giác
1
1,5 1 1
2
2,5
Trang 2Hệ thức lượng
trong tam giác
và giải tam giác
2 1
1
0,5
3
1,5 Phương pháp
tọa độ trong
mặt phẳng
2 1
1 0,5
1
0,5
4
2
3
6 5,5
2
1,5
14
10 III MÔ TẢ MA TRẬN ĐỀ THI:
Câu 1) (1 điểm)
a) xét dấu nhị thức bậc nhất
b) xét dấu tam thức bậc hai
Câu2) (3 điểm)
Giải các bất phương trình sau:
a) (ax +b)(cx +d )≥ 0
b) thương của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
c) bất phương trình chứa căn hoặc bất phương trình chứa ẩn
trong dấu giá trị tuyệt đối
Câu 3) (2,5 điểm)
a) cho sina hoặc cosa Tính các giá trị lượng giác còn lại
b) chứng minh một đẳng thức lượng giác hoặc rút gọn một
biểu thức lượng giác
Câu 4) (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC có AB, AC, góc A Tính cạnh còn lại,
diện tích tam giác ABC, bán kính R
Câu 5) (2 điểm)
a) viết phương trình đường thẳng đi qua A và nhận ⃗n
làm vectơ pháp tuyến
b) viết phương trình đường thẳng BC
c) Viết phương trình đường tròn nhận BC làm đường kính
d) Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một điều kiện
nào đó
ĐỀ SỐ 1
Trang 31) (1 điểm):
Xét dấu các biểu thức sau:
a) f (x)=3 x −2
b) f (x)=2 x2+3 x −5
2) (3 điểm)
a) (2 x −1)(5 − x)≥ 0
b) 2 x − 2 x+5 > 1
x
c) |5 −8 x|≤11
3) (2,5 điểm)
a) Cho sin a=1
3 , biết π2<a<π
Tính cos a ,tan a ,cot a
b) Chứng minh đẳng thức sau:
cos2x − sin2x
cot2x − tan2x=sin
2
x cos2x
4) (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC có: BC=8, AB=5 , B=60 ∘ ,
a) tính độ dài cạnh AC
b) tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao h b hạ từ đỉnh B
5) (2 điểm)
Cho tam giác ABC có: A (2,3), B(1,1),C (1,4)
a) viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A (2,3)
và nhận n(¿− 3,2)⃗
¿ làm véctơ pháp tuyến
b) viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC
c) viết phương trình đường tròn nhận BC làm đường kính d) viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M (1,− 2) và tạo với
BC
một góc 60∘
ĐÁP ÁN:
Câu 1)
(1
a) Ta có: 3 x −2=0 ⇒ x=2
3
Bảng xét dấu
Trang 4điểm) x
- ∞ 32 + ∞
3 x −2 - 0 + Vậy f (x)>0 khi x ∈(2
3,+∞) ,
f (x)<0 khi x ∈(− ∞,2
3) ,
f (x)=0 khi x=2
3 b) ta có: 2 x2+3 x − 5=0⇒ x1=1 , x2=− 5
2 bảng xét dấu
x
− ∞ − 52 1
+∞
2 x2+3 x − 5 + 0 - 0 + Vậy f (x)>0 khi x ∈(− ∞, −5
2 )∪(1 ,+∞)
f (x)<0 khi x ∈( −5
2 ,1)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2
(3
điểm)
a) đặt f (x)=(2 x −1)(5 − x)
Ta có: 2 x −1=0 ⇒ x=1
2
5 − x=0 ⇒ x=5
Bảng xét dấu
x
− ∞ 12 5
+∞
2 x −1 - 0 + +
5 − x + + 0
-(2 x −1)(5 − x) - 0 + 0 -Vậy f (x)≥0 khi x ∈[12,5]
b) ⇔ 2 x2−3 x −5
x (x+5) >0
đặt f (x)= 2 x
2
−3 x − 5
x (x +5)
ta có:
2 x2−3 x − 5=0 ⇒ x1=− 1, x2= 5
2
0,5
05
0,25
Trang 5x+5=0 ⇒ x=− 5
Bảng xét dấu
x − ∞ −5 −1 0
5
2 +∞
2 x2−3 x − 5 + + 0 - - 0 +
x - - - 0 + +
x+5 - 0 + + + +
f (x) + - 0 + - 0
+ vậy f (x)>0 khi
x ∈(− ∞, −5)∪(− 1,0)∪(5
2,+∞)
c)
¿
⇔− 11≤ 5 −8 x ≤11
⇔
5 − 8 x ≤ 11
5 − 8 x ≥− 11
¿
⇔
x ≥ −3
4
x ≤2
¿
¿⇔ −3
4 ≤ x ≤2 {
¿
0,5
0,25
0,5
0,5
Câu 3
(2,5
điểm)
a) ta có:
¿
sin 2a+cos2a=1 ⇔cos a=−√1 −sin2a=−√1 −1
9=−
2√2 3
¿ (vì π2<a<π nên cos a<0 )
tan a= sin a cos a=
1
3:(
−2√2
3 )=
−1
2 √ 2=
−√2 4
cot a= 1 tan a=− 2√2 b) Vế trái=
0,5
0,5 0,5
Trang 6cos2x − sin2x
cos2x
sin 2x −
sin2x
cos 2x
( cos 2x −sin2x)sin2x cos2x
cos4x − sin4x
( cos2x −sin2x)sin2x cos2x
(cos2x − sin2x)(cos2x +sin2x)
sin 2x cos2x
0,5
0,5 Câu 4)
(1,5
điểm)
a) Đặt BC=a , AC=b , AB=c theo định lý cosin:
¿
¿
∘
b2=a2+c2− 2 ac cos B
8 2 +5 2− 2 8 5 cos 60¿
❑
=49⇒ b=7
b) s Δ ABC= 1
2ac sin B=
1
28 5 sin 60
∘
=10 √ 3 (đvdt) mặt khác: s Δ ABC= 1
2b h b ⇒ h b=2 s Δ ABC
20√3 7
0,5 0,5
0,5 Câu 5)
(2
điểm)
a) đường thẳng d đi qua A (2,3) và nhận
n(¿− 3,2)
⃗
¿ vậy phương trình tổng quát của d dạng:
−3( x −2)+2( y −3)=0
⇔ −3 x+2 y =0
b) ta có: u=¿⃗BC=(0,3)⃗
¿ vậy vectơ pháp tuyến ⃗n=(3,0)
Đường thẳng BC đi qua B (1,1) và nhận
⃗
n=(3,0) làm vecto pháp tuyến
Phương trình của BC có dạng:
3(x −1)+ 0( y −1)=0
⇔ x − 1=0
c) Gọi I(a , b) là tâm của đường tròn đường kính BC nên I là trung điểm của
BC Vậy I(1,5
2)
Mặc khác, BC=√9=3 nên bán kính
0,5 0,25
0,25
0,25
Trang 72 =
3 2
Vậy phương trình đường tròn có dạng:
y −5
2¿
2
= 9 4
x − 1¿2+ ¿
¿
d) Δ đi qua M (1,− 2) nên có dạng:
a(x −1)+b( y +2)=0
⇔ax +by − a+2 b=0
nên Δ có nΔ(¿⃗a , b)
¿ và ⃗nBC(3,0)
theo đề bài ta có :
cos (Δ, BC)= |3 a+b 0|
√a2+b2√32+02=
1 2
⇔2.| 3 a| =3√a2
+b2
⇔36 a2 =9 a 2 +9 b 2
⇔ a2
=b2
3
Chọn b=√3 thì
a=1
¿
a=−1
¿
¿
¿
¿ Vậy phương trình của Δ có dạng:
x+√3 y −1+2√3=0 hoặc − x +√3 y+1+2√3=0
0,25
0,25
0,25
B-ĐỀ 2:
1) (1 điểm):
Xét dấu các biểu thức sau:
a) f (x)=2 x +1
b) f (x)=3 x2− x − 4
2) (3 điểm)
a) (2 − x)(3 x +1)≥ 0
b) x −22 > 1
x −1
c) x − 4¿
2
(x +1)
¿
¿
√ ¿
3) (2,5 điểm)
Trang 8a) Cho cos a=3
4 , biết 0<a< π
2
Tính cos a ,tan a ,cot a
b) Chứng minh đẳng thức sau:
(tan2 x − tan x)(sin 2 x − tan x)=tan2x
4) (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC có: AC=3, AB=7 , A=60 ∘ ,
a) tính độ dài cạnh BC
b) tính diện tích tam giác ABC
c) tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
5) (2 điểm)
Cho tam giác ABC có: A (2,1), B(4,2), C(3,3)
a) viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A (2,1)
và nhận n(¿2, −5)⃗
¿ làm véctơ pháp tuyến
b) viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC
c) viết phương trình đường tròn nhận BC làm đường kính d) viết phương trình đường thẳng qua C(3,3) và cách đều hai đỉnh
A (2,1) , B (42)
ĐÁP ÁN:
Câu 1)
(1
điểm)
a) Ta có: 2 x +1=0 ⇒ x= − 1
2
Bảng xét dấu
x - ∞ −1
2 + ∞
2 x +1 - 0 + Vậy f (x)>0 khi x ∈(−1
2,+∞) ,
f (x)<0 khi x ∈(− ∞, −1
2) ,
f (x)=0 khi x=−1
2 b) ta có: 3 x2− x −4=0 ⇒ x1=− 1 , x2= 4
3 bảng xét dấu
0,25
0,25
Trang 9x − ∞ −1 43
+∞ 3 x2− x −4 + 0 - 0 +
Vậy f (x)>0 khi x ∈(− ∞, −1)∪(4 3,+∞) f (x)<0 khi x ∈(−1,4 3) 0,25 0,25 Câu 2 (3 điểm) a) đặt f (x)=(2 − x)(3 x +1) Ta có: 2− x=0 ⇒ x=2 3 x+1=0 ⇒ x=−1 3 Bảng xét dấu x − ∞ −1
3 2
+∞ 3 x+1 - 0 + +
2− x + + 0
-(2 − x)(3 x +1) - 0 + 0
-Vậy f (x)≥0 khi x ∈[−1 3, 2] b) ⇔ 2 x − 2 − 1 x −1>0 ⇔ x (x −2)(x −1)>0 đặt f (x)= x (x −2)(x − 1) Bảng xét dấu x − ∞ 0 1 2
+∞ x - 0 + + +
x − 2 - - - 0 +
x −1 - - 0 + +
f (x) - 0 + - + vậy f (x)>0 khi x ∈(0,1)∪(2 ,+∞)
c)
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
Trang 10¿x ≠ 4 x+1>0
¿
⇔
¿
¿x ≠ 4
x >− 1
x − 4¿2(x +1)>0
¿
⇔
¿
¿⇔¿ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
x>−1 và x ≠ 4
0,5
Câu 3
(2,5
điểm)
a) ta có:
¿
sin2a+cos2a=1 ⇔sin a=√1− sin2a=√1 − 9
16=√
7 4
¿ (vì 0<a< π
2 nên sin a>0 )
tan a= sin a cos a=√
7
4 :
3
4=√
7 3
cot a= 1 tan a=
3
√ 7=
3 √ 7
7 c) Vế trái= (sin 2 x
cos 2 x −
sin x cos x )(2sin x cos x −
sin x cos x)
¿ (sin 2 x cos x − cos2 x sin x cos 2 x cos x )(
2 sin x cos2x −sin x
(sin(2 x − x) cos2 x cos x ) sin x (
2 cos 2x −1 cos x )
sin2x cos2 x cos2 x cos2x
tan2x
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
Câu 4)
(1,5
điểm)
a) Đặt BC=a , AC=b , AB=c theo định lý cosin:
a2=b2+c2−2 bc cos A
32+72−2 3 7 cos 60 ∘
37
⇒ a=√ 37
b) s Δ ABC= 1
2b c sin 60
∘
= 1
2.3 7
√ 3
2 =
21√3
4 (đvdt)
0,5
0,5
Trang 11mặt khác: s Δ ABC=a b c
4 R ⇒ R= a b c
4 s =
√ 37 3 7
4 21√3 4
=√37
Câu 5)
(2
điểm)
a) đường thẳng d đi qua A (2,1) và nhận
n(¿2, −5)
⃗
¿ vậy phương trình tổng quát của d dạng:
2(x − 2)−5 ( y − 1)=0
⇔2 x −5 y+1=0
b) ta có: u=¿⃗BC=(−1,1)⃗
¿ vậy vectơ pháp tuyến ⃗n=(1,1)
Đường thẳng BC đi qua B (4,2) và nhận
⃗
n=(1,1) làm vecto pháp tuyến
Phương trình của BC có dạng:
1(x − 4)+1( y −2)=0
⇔ x + y −6=0
d) Gọi I(a , b) là tâm của đường tròn đường kính BC nên I là trung điểm của
BC Vậy I(7
2,
5
2)
Mặc khác, BC=√2 nên bán kính R=BC
2 =
√ 2 2
Vậy phương trình đường tròn có dạng:
y −5
2¿
2
= 1 2
x −7
2¿
2
+ ¿
¿
d) Δ đi qua C(3,3) có dạng:
a(x −3)+b( y −3)=0
⇔ax +by − 3 a− 3 b=0
Theo đề bài ta có:
d ( A , Δ)=d (B , Δ)
⇔|a 2+b 1 −3 a − 3 b|
√a2+b2 =
|a 4 +b 2 −3 a− 3 b|
√a2+b2
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 12⇔|a+2 b| = |a − b|
⇔
a+2 b=a − b
¿
a+2 b=b − a
¿
¿
¿
⇔
¿
b=0
¿
a=− b
2
¿
¿
¿
¿
¿
¿
Với b=0 chọn a=0 ta được phương trình:
x − 3=0
Với a=− b
2 chọn b=2⇒ a=− 1 ta được
phương trình: − x +2 y − 3=0
Vậy phương trình của Δ có dạng:
x − 3=0 hoặc − x +2 y − 3=0
0,25