Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.[r]
Trang 1ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011 KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A
- Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
-PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm).
Câu I ( 2 điểm)
Cho hàm số y=x3+(1 −2 m)x2+(2 −m)x +m+2 (1) m là tham số.
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m=2.
2 Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x+ y+7=0 góc α , biết cos α= 1
√26 .
Câu II (2 điểm)
1 Giải bất phương trình: √log1
2
2 (4 − x 2 x )− 4 ≤√5 .
2 Giải phương trình: √3 sin2 x (2 cos x+1)+2=cos 3 x +cos 2 x −3 cos x
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân: I ¿∫
0
4
x+1
(1+√1+2 x)2dx .
Câu IV(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB ¿a√2 Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: ⃗IA=−2 ⃗IH , góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 600
.
Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH).
Câu V(1 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x2+y2+z2≤ xyz Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= x
x2+yz+
y
y2+zx+
z
z2+xy .
PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ chọn làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B ).
A Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x+ y+1=0 , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng √3 .
Câu VII.a (1 điểm)
Cho khai triển: (1+2 x )10(x2+x +1)2=a0+a1x+a2x2+ +a14x14 Hãy tìm giá trị của a6 .
B Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích bằng
11
2 và trọng tâm G
thuộc đường thẳng d: 3 x+ y − 4=0 Tìm tọa độ đỉnh C.
2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x+ y − z +1=0 ,đường thẳng d:
x −2
y − 1
z −1
−3
Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trình của đường thẳng Δ nằm trong (P), vuông góc với d và cách
I một khoảng bằng 3√2 .
Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: (i− z z +i)3=1
ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM
Trang 2ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
MÔN:TOÁN, Khối A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH.
I(2đ) 1(1đ) Khảo sát hàm số khi m = 2
Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 3x ❑2 + 4
a) TXĐ: R
b) SBT
•Giới hạn: xlim y ; limx y
•Chiều biến thiên:
Có y’ = 3x2 6x; y’=0 x =0, x =2
y’ + 0 0 + y
4
0
+
Hàm số ĐB trên các khoảng ( ; 0) và (2 ; +), nghịch biến trên (0 ; 2)
0,25
•Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) = 4;
c) Đồ thị:
Qua (-1 ;0) Tâm đối xứng:I(1 ; 2)
0,25
2(1đ) Tìm m
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có véctơ pháp ⃗n1=(k ;−1)
d: có véctơ pháp ⃗n2=(1 ;1)
Ta có
cos α=|⃗n1 ⃗n2|
|⃗n1||n⃗2|⇔
1
√26=
√2√k2+1⇔12 k2
−26 k+12=0 ⇔
k1=3 2
¿
k2=2 3
¿
¿
¿
¿
¿
0,5
Yêu cầu của bài toán thỏa mãn ít nhất một trong hai phương trình: y❑
=k1
(1) và y❑
=k2 (2) có nghiệm x
0,25
4 y
I 2 -1
1 2
Trang 33 x2+2(1 −2 m) x +2− m=3
2
¿
3 x2+2(1 −2 m) x +2− m=2
3
¿
¿
¿
¿
Δ❑1
≥ 0
¿
Δ❑ 2≥ 0
¿
¿
¿
¿
8 m2− 2m −1 ≥0
¿
4 m2− m−3 ≥ 0
¿
¿
¿
¿
m≤ −1
4;m ≥
1 2
¿
m≤ −3
4;m≥ 1
¿
¿
¿
¿
1 2
0,25
II(2đ) 1(1đ) Giải bất phương trình
Bpt
⇔
log1
2
2 2 x
4 − x − 4 ≥ 0
log1
2
2 2 x
4 − x ≤ 9
⇔
−3 ≤ log1
2
2 x
4 − x ≤− 2(1)
¿
¿
2 ≤ log1
2
2 x
4 − x ≤3 (2)
¿
¿{
¿
¿ ¿
0,25
Giải (1): (1)
⇔ 4 ≤ 2 x
4 − x ≤ 8 ⇔
3 x − 8
4 − x ≥ 0
5 x −16
4 − x ≤ 0
⇔ 8
3≤ x ≤
16 5
¿{
0,25
Giải (2): (2)
⇔1
8≤
2 x
4 − x ≤
1
17 x − 4
9 x − 4
4 − x ≤0
17 ≤ x ≤
4 9
¿{
0,25
Vậy bất phương trình có tập nghiệm
có nghiệm
có nghiệm
Trang 42(1đ) Giải PT lượng giác
Pt ⇔√3 sin 2 x (2 cos x +1)=(cos 3 x −cos x )+(cos 2 x −1)−(2 cos x+1)
⇔√3 sin 2 x (2 cos x +1)=− 4 sin2x cos x −2 sin2x −(2cos x+1)
⇔(2 cos x+1)(√3 sin 2 x +2 sin2x +1)=0
0,5
• √3 sin2 x+2sin2x +1=0 ⇔√3 sin 2 x − cos 2 x=− 2 ⇔sin(2 x− π
⇔ x=− π
6+kπ
0,25
•
x= 2 π
3 +k 2 π
¿
x=− 2 π
3 +k 2 π
¿ (k ∈ Z)
¿
¿
¿
Vậy phương trình có nghiệm: x= 2 π
3 +k 2 π ; x=−
2 π
3 +k 2 π và
x=− π
6+kπ
0,25
III(1đ) 1(1đ) Tính tích phân.
I ¿∫
0
4
x+1
(1+√1+2 x)2dx
•Đặt t=1+√1+2 x ⇒ dt=dx
√1+2 x ⇒ dx=(t − 1)dt và x= t2−2 t
2
Đổi cận
0,25
•Ta có I =
(t2−2 t+2)(t −1)
2
4
t3−3 t2+4 t −2
2∫
2
4 (t −3+4
t −
2
t2)dt 1
2
4
¿
= 1
2(t2
2− 3 t+ 4 ln|t|+
2
t)∨¿
0,5
= 2 ln 2−1
(1đ) Tính thể tích và khoảng cách
Trang 5•Ta có ⃗IA=−2 ⃗IH⇒ H thuộc tia đối của tia IA và IA = 2IH
BC = AB √2 ¿2 a ; AI= a ; IH= IA
a
2
AH = AI + IH = 3 a
2
0,25
•Ta có HC2=AC2
+AH2−2 AC AH cos 450⇒HC= a√5
2
Vì SH⊥(ABC)⇒ (SC;(ABC))❑ =SCH❑ =600
SH=HC tan600=a√15
2
0,25
•
a√2¿2a√15
a3
√15 6
V S ABC=1
3S Δ ABC SH=1
3.
1
2¿
0,25
•
}
⇒BI ⊥(SAH)
Ta có
B ;(SAH)=1
a
2
d (K ;(SAH))
d (B ;(SAH))=
SK
1
2⇒d (K ;(SAH))= 1
2d¿
0,25
V (1đ) Tim giá trị lớn nhất của P
P= x
x2+xy+
y
y2+zx+
z
z2+xy .
Vì x ; y ; z>0 , Áp dụng BĐT Côsi ta có: P≤ x
2√x2yz+
y
2√y2zx+
z
2√z2xy =
¿1
4( √2yz+
2
√zx+
2
√xy)
0,25
1
4(1y+
1
z+
1
z+
1
x+
1
x+
1
y)=1
2(yz+zx+ xyxyz )≤1
2(x2+y2+z2
1
2(xyzxyz)=1
B A
S
I K
Trang 6Dấu bằng xảy ra ⇔ x= y =z=3 Vậy MaxP = 12 0,25
PHẦN TỰ CHỌN:
VIa(2đ) 1(1đ) Viết phương trình đường tròn…
KH: d1: x + y +1=0; d2:2 x − y −2=0
d1 có véctơ pháp tuyến ⃗n1=(1 ;1) và d2 có véctơ pháp tuyến
⃗
n2=(1 ;1)
• AC qua điểm A( 3;0) và có véctơ chỉ phương ⃗n1=(1 ;1) ⇒ phương trình AC: x − y − 3=0
C=AC ∩ d2⇒ Tọa độ C là nghiệm hệ:
¿
x − y −3=0
2 x − y −2=0
⇒C (−1 ;−4 )
¿
0,25
• Gọi B (x B ; y B) ⇒ M ( x B+3
y B
2 ) ( M là trung điểm AB)
Ta có B thuộc d1 và M thuộc d2 nên ta có:
¿
x B+y B+1=0
x B+3 − y B
⇒ B(−1 ;0)
¿{
¿
0,25
• Gọi phương trình đường tròn qua A, B, C có dạng:
x2
+y2+2 ax +2 by +c=0 Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường tròn ta có:
¿
6 a+c=− 9
− 2a+c=−1
−2 a −8 b +c=−17
⇔
¿a=−1 b=2 c=− 3
¿{ {
¿
⇒ Pt đường tròn qua A, B, C là:
x2 +y2−2 x+4 y −3=0 Tâm I(1;-2) bán kính R = 2√2
0,5
2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P)
•Gọi ⃗n=(a ;b ; c)≠ ⃗ O là véctơ pháp tuyến của (P)
Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0
Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0 b = a-2c
Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0
0,25
Trang 7• d(C;(P)) =
a −2 c¿2+c2
¿
a2
+¿
√¿
√3⇔|2 a+c¿ |
⇔ a=c
¿
a=7 c
¿
¿
¿
¿
¿
0,5
•TH1: a=c ta chọn a=c=1 Pt của (P): x-y+z+2=0 TH2: a=7 c ta chọn a =7; c = 1 Pt của (P):7x+5y+z+2=0
0,25
VII.a (1 đ) Tìm hệ số của khai triển
• Ta có
2 x+1¿2+3
4
x2+x +1=1
4¿
nên
1+2 x¿10
1+2 x¿12+ 9
16 ¿
1+2 x¿14+3
8¿
x2+x +1¿2= 1
16 ¿
(1+2 x )10¿
0,25
• Trong khai triển (1+2 x )14 hệ số của x6 là: 26C146
Trong khai triển (1+2 x)12 hệ số của x6 là: 26C126
Trong khai triển (1+2 x )10 hệ số của x6 là: 26C106 0,5
• Vậy hệ số a6= 1
162
6
C146 +3
82
6
C126 + 9
162
6
VI.b(2đ) 1(1đ) Tìm tọa độ của điểm C
• Gọi tọa độ của điểm C( x C ; y C)⇒G(1+ x C
3 ;
y C
3 ) Vì G thuộc d
⇒3(1+x C
3 )+ y C
3 −4=0⇒ y C=−3 x C+3⇒C (x C ;−3 x C+3)
•Đường thẳng AB qua A và có véctơ chỉ phương ⃗AB=(1 ;2)
⇒ ptAB:2 x − y −3=0
0,25
• S Δ ABC=1
2AB d (C ; AB)=
11
2 ⇔ d (C ;AB)=11
√5⇔|2 x C+3 xC −3 − 3|
11
√5
Trang 8⇔|5 x C − 6|=11⇔
x C=−1
¿
x C=17 5
¿
¿
¿
¿
¿
0,5
• TH1: x C=−1 ⇒C (−1 ;6)
TH2: x C=17
36
0,25
2(1đ) Viết phương trình của đường thẳng
• (P) có véc tơ pháp tuyến ⃗n(P )=(1;1 ;−1) và d có véc tơ chỉ phương
⃗
.u=(1;−1 ;−3)
I=d ∩(P)⇒ I (1 ;2 ;4)
• vì Δ⊂(P); Δ⊥ d ⇒ Δ có véc tơ chỉ phương ⃗u Δ=[⃗n(P) ; ⃗u]=(− 4 ;2 ;−2)
¿2(−2 ;1 ;− 1)
0,25
• Gọi H là hình chiếu của I trên Δ ⇒ H ∈mp(Q) qua I và vuông góc
Δ
Phương trình (Q): −2(x −1)+( y −2)−(z −4 )=0 ⇔− 2 x+ y − z+4=0
Gọi d1=(P)∩(Q) ⇒d1 có vécto chỉ phương
[⃗n(P) ;⃗ n(Q)]=(0 ;3 ;3)=3(0;1 ;1) và d1 qua I
⇒ ptd1:
x=1 y=2+t
z =4+t
¿{ {
Ta có H ∈ d1⇒ H (1;2+t ;4+t)⇒ ⃗ IH=(0 ;t ;t)
•
IH=3√2⇔√2 t2=3√2⇔
t=3
¿
t=−3
¿
¿
¿
¿
¿
0,5
• TH1: t=3 ⇒ H (1 ;5;7)⇒ pt Δ: x −1
− 2 =
y − 5
z −7
− 1
TH2: t=−3 ⇒ H (1 ;−1 ;1)⇒ pt Δ: x −1
−2 =
y +1
z −1
−1
0,25
VII.b 1 đ Giải phương trình trên tập số phức.
ĐK: z ≠ i
• Đặt w= z +i
i− z ta có phương trình: w3=1⇔(w −1)(w2
+w+1)=0
0,5
Trang 9w=1
¿
w2
+w+1=0
¿
w=1
¿
w= −1+i√3
2
¿
w= −1− i√3
2
¿
¿
¿
⇔¿
¿
¿
¿
• Với w=1⇒ z+i
i − z=1⇔ z=0
• Với w= −1+i√3
i − z=
− 1+i√3
2 ⇔(1+i√3)z =−√3 −3 i ⇔ z=−√3
• Với w= −1− i√3
i − z=
− 1− i√3
2 ⇔(1 −i√3)z =√3 − 3i ⇔ z=√3
Vậy pt có ba nghiệm z=0 ; z=√3 và z=−√3
0,5