De thi HK I

Nếu trong một thời gian như nhau cả hai cùng làm việc thì tiện được cả thảy 84 dụng cụ.. Tính số dụng cụ mà mỗi người đã tiện được.[r]

TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ

THCS&THPT TIÊN YÊN

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2011-2012

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1:(2,5 điểm)

a) Thực hiện phép tính:

12 5 6 2 10 3 5 2

A





b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

3n 2n 3n 2n

   chia hết cho 10

Bài 2:(1 điểm)

Tìm x biết:

3, 2

x     

Bài 3: (1,5 điểm): Tìm x y  , biết: 25  y2  8(x 2009) 2

Bài 4(2 điểm): Trong một xưởng cơ khí, người thợ chính tiện xong dụng cụ hết 5

phút, người thợ phụ hết 9 phút Nếu trong một thời gian như nhau cả hai cùng làm việc thì tiện được cả thảy 84 dụng cụ Tính số dụng cụ mà mỗi người đã tiện được

Bài 5(3điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của của tia

MA lấy điểm E sao cho ME = MA Chứng minh rằng:

a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC HBC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎITOÁN 7 CẤP TRƯỜNG

Bài1:a (1,0 điểm)

 

10

12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4

10 3

12 4

12 5 9 3

2 3 3 1 5 7 1 2

5 7 6

2 3 2

2 3 4 5 7 9









b (1,5điểm) Với mọi số nguyên dương n ta có:

3n 2 2n 2 3n 2n

   = 3n 2 3n 2n 2 2n

   (0,25đ) =3 (3n 2 1) 2 (2n 2 1)

   (0,25đ) =3 10 2 5 3 10 2n n n n1 10

= 10( 3n -2n) (0,25đ)

Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n

    10 với mọi n là số nguyên dương.(0,25)

Bài2(1,0 điểm)

1 2 3

3

1 7 2

3 3

2

3 3

(0, 25 )

1

3

(0, 25 )

x x

x

x

d

 

 

  



  





















Bài3:(1,5 điểm)

25 y   8(x 2009) 

Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2

8(x-2009)2 + y2 =25 (*) (0,25đ)

Vì y2 0 nên (x-2009)2 25

8

 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 (0,5đ) Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) (0,25đ) Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y  ) (0,25đ)

Từ đó tìm được (x=2009; y=5) (0,25đ)

Bài4(2,0 điểm):

Gọi x,y lần lượt là dụng cụ của người thợ chính, thợ phụ Ta có số dụng cụ tỉ lệ

nghịch với thời gian làm việc nên 1 1

x y



và x + y = 84 (0,5đ)

Nên

270

x y x y

Vậy

1

5

x

x

(0,25đ)

1

9

y

y

0,25đ)

Vậy : Người thợ chính làm được 54 dụng cụ

Người thợ phụ làm được 30 dụng cụ (0,25đ)

Bài5(3 điểm) Vẽ hình (0,25đ)

a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có :

AM = EM (gt )

AMC = EMB (đối đỉnh )

K

H

E

M B

A

C I

BM = MC (gt )

Nên : AMC = EMB (c.g.c ) (0,5đ)

 AC = EB

Vì AMC = EMB  MAC = MEB

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE (0,5đ)

b/ (0,75 điểm )

Xét AMI và EMK có :

AM = EM (gt )

MAI = MEK ( vì AMCEMB )

AI = EK (gt )

Nên AMI EMK ( c.g.c ) (0,5đ)

Suy ra AMI = EMK

Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )

 EMK + IME = 180o

c/ (1 điểm )

Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o

HBE

 = 90o - HBE = 90o - 50o =40o

(0,5đ)

HEM

 = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o

BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM

Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o

TRƯỜNG PTDT NỘI TRÚ

THCS&THPT TIÊN YÊN

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2011-2012

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (1.5 điểm)

Thực hiện tính:

2 4

4 2

2

2

2











x x

x

x với x 2 6  3

Bài 2: (2.0 điểm)

a) Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 4

a b a b Với a b; là các số dương

b) Cho x y; là hai số dương và x y  1.Tìm giá trị nhỏ nhất của

xy

P

2

1

M

xy x y

Bài 3: (3,0 điểm)

1

x

a) Tìm tập xác định của D

b) Rút gọn biểu thức D

c) So sánh D với 3

Bài 4: (2,5 điểm)

Hình chữ nhật ABCD có M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD Trên tia đối của tia CB lấy điểm P DB cắt PN tại Q và cắt MN tại O Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM tại H

a Chứng minh HM = HN

b Chứng minh MN là phân giác của góc QMP

Bài 5(1 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2 2 6 5

2

x x x

với x >0

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1: (1.5 điểm)

Thực hiện tính:

2 4

4 2

2

2

2











x x

x

x với x 2 6  3

2

1 ) 2 2

( 2

) 2 2

( 2

) 2 )(

2 (

) 2 )(

2 ( 2 2











































x x

x x

x x

x x

x

x x x

x

0,75

2 3

1 )

2 3 (

1 3

2 6 2

1











Bài 2(2 điểm)

b) Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 4

a b a b Với a b; là các số dương

b) Cho x y; là hai số dương và x y  1.Tìm giá trị nhỏ nhất của

xy

P

2

1

M

xy x y

a) 1 1 4

a b a b 4  2 4  2 0



















b a ab

b a

0,50

1 2

4 ) ( 2

4 2

2

1















y x xy

y x xy

2

1 4

1 4

1 )

( 4























xy xy

xy y

x xy y

x

xy

2 2

M

xy x y

) (

3 4 2

1 2

3 4 2

1 3

2

4

2 2

2 2



















y x xy y

xy x xy y

x

xy

2

1

đạt GTNN tại x = y =

2

1

2 2

xyx y đạt GTNN tại x = y = 21 Nên M đạt GTNN tại x = y = 21 0,25

Bài 3(3 điểm)

1

x

a)Tìm tập xác định của D: x0 và x1 0,5

b) Rút gọn biểu thức D = x x 1

x

c)D = x x 1

x

= x 1 1 2 x. 1 1 3

Bài 4: (2,5 điểm)

-Chứng tỏ MBND là hình bình hành 

O là trung điểm của MN

- OH // AB  OH  MN

- HMN cân tại H (Trung tuyến vừa

là đường cao)  HM = HN

1

- OH // BM được: HM HQ OQ OB

- ON // BP được: OQ OB NQ NP

 HM HQ NQ NP  NH//PM

  HNM =  NMP

  HMN =  NMP  MN là phân

giác của góc QMP

1,5

Bài 5 (1 điểm)

A = x + 5 3

2x

x x

0,5

0,5

C D

P

M

N

Q

O H