Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thứcDựa vào chương trình SGK để biên soạn Chương trình Cơ bản + Nâng cao 1.. + Kết luận về cực trị của hàm số... + Kết luận về cực
Trang 1Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Dựa vào chương trình SGK để biên soạn Chương trình Cơ bản + Nâng cao
1 Hàm số y ax= 3+bx2+cx d a 0+ ( ≠ )
1) Tập xác định: D=¡
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn tại vô cực:
xlim y ?
xlim y ?
(Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết)
b) Chiều biến thiên:
+ y ' ?=
y' 0= ⇔ =x ?
+ BBT
x -∞ ? +∞
y' ?
y ?
+ Kết luận về chiều biến thiên của hàm số
+ Kết luận về cực trị của hàm số
(Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết)
3) Đồ thị
a) Điểm uốn
Lưu ý:
CT CHUẨN: Không yêu cầu phải có
CT NÂNG CAO: Nên có phần này
y '' ?=
y'' 0= ⇔ =x x ?0
Do y'' đổi dấu khi x đi qua x0
Kết luận tọa độ điểm uốn U x ;y( 0 0)
b) Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy: x 0= ⇒ =y ?
+ Giao điểm với Ox (nếu có): y 0= ⇔ =x ?
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x y
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn U ?;? làm tâm đối xứng.( )
Trang 2
2 Hàm số y ax= 4+bx2+c a 0( ≠ )
1) Tập xác định: D=¡
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn tại vô cực
xlim y ?
xlim y ?
(Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết)
b) Chiều biến thiên
+ y ' ?=
y ' 0= ⇔x?
+ BBT
x -∞ ? +∞
y' ?
y ?
+ Kết luận về chiều biến thiên của hàm số + Kết luận về cực trị của hàm số (Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết) 3) Đồ thị a) Điểm uốn: Lưu ý: CT CHUẨN: Không yêu cầu phải có CT NÂNG CAO: Nên có phần này + y '' ?= y'' 0= ⇔ =x x ?1,2 Do y '' đổi dấu khi x qua mỗi điểm x1,2 Kết luận tọa độ điểm uốn U1,2(x ;?1,2 ) b) Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ: + Giao điểm với Oy: x 0= ⇒ =y ? + Giao điểm với Ox (nếu có): y 0= ⇔ =x ?
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng
Trang 3Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỷ
Dựa vào chương trình SGK để biên soạn Chương trình Cơ bản + Nâng cao
3 Hàm số = + ( ≠ − ≠ )
+
ax b
y c 0, ad bc 0
cx d 1) Tập xác định: D \ d
c
= −
¡ 2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
+ → − − → − +
d lim y ? và lim y ? x
c là tiệm cận đứng
+
lim y và lim y y
c c c là tiệm cận ngang (Chỉ nêu kết quả khơng cần giải thích chi tiết)
b) Chiều biến thiên
+ ( )2
ad bc y'
cx d
−
= +
+ Kết luận y ' 0< hoặc y ' 0> với mọi x d
c
≠ −
+ BBT
x
-∞ d
c
− +∞
y' ? ?
y ? ?
+ Kết luận về chiều biến thiên của hàm số
+ Hàm số khơng cĩ cực trị
(Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết)
3) Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy: x 0= ⇒ =y ?
+ Giao điểm với Ox: y 0= ⇔ =x ?
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x y
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I ?;? của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.( )
Trang 4
Chỉ dành cho chưong trình Nâng cao
3 Hàm số = + + = + + ( ≠ ≠ )
2
a'x b' a'x b' (nên biến đổi hàm số về dạng đã nêu) 1) Tập xác định: D \ b'
a'
= −
¡ 2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
+ xlim y ?
xlim y ?
+
−
+
b' x a'
b' x a'
lim y ?
b' x lim y ? a' là tiệm cận đứng
+ ( )
x x
lim y Ax B 0
y Ax B lim y Ax B→−∞ 0
→+∞
− + =
− + =
b) Chiều biến thiên
+
2
2
aa'x 2ab'x bb' ca' y'
a'x b'
=
+
y' 0= ⇔ =x ?
+ BBT
x
-∞ b'
a'
− +∞
y' ? ?
y ? ?
+ Kết luận về chiều biến thiên của hàm số
+ Kết luận về cực trị của hàm số
(Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết)
3) Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy: x 0= ⇒ =y ?
+ Giao điểm với Ox: y 0= ⇔ =x ?
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x y
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I ?;? của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.( )
Trang 5Sơ đồ chi tiết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
1 Hàm bậc ba : y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
a TXĐ : D = R
b Sự biến thiên :
+ Chiều biến thiên: Đạo hàm y’ = A x2 + Bx + C ( Tính ∆ ) , Sau đây là các khả năng
có thể xẩy ra :
TH1:
<
<
∆
0 A
0
⇒ y’ < 0 với mọi x∈R ⇒ HS nghịch biến trên R (1) TH2:
>
<
∆
0 A
0
⇒ y’ > 0 với mọi x∈R ⇒ HS đồng biến trên R (2) TH3:
<
=
∆
0 A
0
⇒ y’ ≤ 0 với mọi x∈R ⇒ HS nghịch biến trên R (3) TH4:
>
=
∆
0 A
0
⇒ y’ ≥ 0 với mọi x∈R ⇒ HS đồng biến trên R (4) TH5, 6: ∆ > 0 Cho y’= 0 ⇔
=
⇒
=
=
⇒
=
) x ( y x x
) x ( y x x
2 2
1 1
(5) và (6) Căn cứ vào BBT để kết luận các khoảng mà hàm số tăng hoặc giảm
+ Cực trị :
* Các TH1, TH2, TH3, TH4 : Kết luận không có cực trị
* TH5: Hàm số đạt cực đại tại x = x1 và yCĐ = f(x1)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = x2 và yCT = f(x2)
* TH6: Hàm số đạt cực tiểu tại x = x1 và yCT = f(x1)
Hàm số đạt cực đại tại x = x2 và yCĐ = f(x2)
+ Giới hạn: a > 0 : =
∞
−
→
Limy
x -∞ , =
∞ +
→
Limy
x + ∞ ; a < 0 : =
∞
−
→
Limy
x +∞ , =
∞ +
→
Limy
∞
+ Bảng biến thiên : (Ứng với các trường hợp đạo hàm phía trên )
c Đồ thị :
+ Điểm đặc biệt : Tìm gđ của đồ thị (C) với Ox và Oy; điểm CT ; lấy thêm vài điểm khác
+ Vẽ đồ thị : Gồm các bước : Vẽ hệ trục ; Lấy điểm đặc biệt ; Vẽ đồ thị (Các dạng
đồ thị )
) x ( 1
∞ +
∞
−
CT CĐ(x2)
∞
−
∞ +
CĐ
CT )
x ( 1
) x ( 2
_
∞ +
∞
−
+
∞
+
∞
−
x
'
y
y
)
1
(
∞ +
∞
−
−
∞
+
∞
−
x
'
y
y
)
2
(
A 2
B
∞
−
+
∞
+
∞
−
x ' y y
) 3 (
+ 0
A 2
B
−
_
∞ +
∞
−
∞
+
∞
−
x ' y y
) 4 (
−
∞ +
∞
−
+
x ' y y
) 5 (
+ x01 − x02
∞ +
∞
−
+
x ' y y
) 6 (
+ x01 − x02
) 1 ( (2) (3) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
Trang 62 Hàm trùng phương : y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0 )
a TXĐ : D = R
b Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: Đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = x (4ax2 + 2b) Có thể xẩy ra 1 trong
4 trường hợp sau:
TH1: Nếu a < 0 và b < 0 thì y’= 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = f(0) Xem BBT để kết luận
khoảng tăng , giảm (1)
TH2: Nếu a > 0 và b > 0 thì y’= 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = f(0) Xem BBT để kết luận
khoảng tăng , giảm (2)
TH3: Nếu a < 0 và b > 0 thì y’= 0 ⇔
=
⇒
=
=
⇒
=
=
⇒
=
) x ( y x x
) 0 ( y 0 x
) x ( y x x
2 2
1 1
Xem BBT để kết luận khoảng tăng , giảm (3)
TH4: Nếu a > 0 và b < 0 thì y’= 0 ⇔
=
⇒
=
=
⇒
=
=
⇒
=
) x ( y x x
) 0 ( y 0 x
) x ( y x x
2 2
1 1
Xem BBT để kết luận
khoảng tăng , giảm (4)
+ Cực trị :
TH 1: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = f(0)
TH 2: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và yCT = f(0)
TH 3: Xem BBT để kết luận
TH 4: Xem BBT để kết luận
+ Giới hạn: a> 0 : =
∞
−
→
Limy
x +∞ và =
∞ +
→
Limy
x + ∞ ; a< 0 : =
∞
−
→
Limy
x -∞ và =
∞ +
→
Limy
-∞
+ Bảng biến thiên :
c Đồ thị :
* Điểm đặc biệt : Tương tự như HS bậc ba
* Vẽ đồ thị : Thứ tự các bước vẽ như HS bậc ba Các dạng đồ thị của hàm trùng phương
ứng với các trường hợp như sau :
y’
x
y
+
0
∞
−
∞
− CĐf(0 − ∞
)
(1)
y’
x
y
∞
+
+ 0
∞
−
0
_
∞
f(0)
(2)
y’
x
y
∞+
+
∞−
0 _
0 0
x2
CT f(0)
x y
∞+
+ 0 _
f(0)
0 0
x2
+
_
0
∞
−
) x ( CD
CD
2
) x ( CT
CT
2
) 1
) 4 (
Trang 7a +∞ −∞
_
∞ +
∞
−
+
x
'
y
y
)
1
(
+
∞
− +∞
_
∞ +
∞
−
x '
y y
) 2
(
c
a
c
a
c a
c
d
−
c
d
−
3 Hàm nhất biến : y = ax bcx d++ ( c ≠ 0 ; ad –bc ≠ 0 )
a TXĐ : D = R \
−
c d
b Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: Đạo hàm : y’ = ( cx d ) 2
bc ad
+
−
Có thể xẩy ra 1 trong 2 trường hợp sau : TH1: ad - bc > 0 ⇒ y’> 0 với mọi x∈D⇒ HS tăng trên 2 khoảng: (-∞,−dc );(−dc ,+∞ ) (1) TH2: ad - bc < 0 ⇒ y’< 0 với mọi x∈D⇒ HS giảm trên 2 khoảng: (-∞,−dc );(−dc ,+∞ ) (2)
+ Cực trị: Không có
+ Tiệm cận : ( có TCĐ và TCN )
* y’ > 0 : − =+∞
−
→
y lim
c
d
x và + =−∞
−
→
y lim
c
d
x ⇒ đường thẳng x =
c
d
− là TCĐ y’ < 0 : − =−∞
−
→
y lim
c
d
−
→
y lim
c
d
x ⇒ đường thẳng x = −cd là TCĐ
*
c
a y lim
±∞
→ ⇒ đường thẳng y =
c
a
là TCN
+ Bảng biến thiên :
c Đồ thị :
* Điểm đặc biệt : Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ ; lấy thêm vài điểm khác
* Vẽ đồ thị : Gồm các bước : Vẽ hệ trục ; vẽ hai đường tiệm cận ; lấy điểm đặc biệt , từ đó vẽ đồ thị Các dạng đồ thị ứng với 2 trường hợp trên như sau:
Trang 8LUYỆN TẬP
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số
a) y x= 3−3x2−9x+35 b) y=2x3−6x+1 c) y=3x3−3x
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số
a) = −1 3− +2 3 −4
3
y x x x b) y= − +x3 3x2 −4 c) y= − +x3 3x
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số
a) y x= 3−3x2+4x−2 b) = −1 3− −2 5 +1
Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số
a) =1 3− + −2 2
3
y x x x b) y= − +x3 6x2−12x+4
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số
a) = 4 −2 2+2
4
x
y x b) y= − +x4 6x2−5 c) y x= 4 +4x2+1
TCÑ
TCN
TCÑ
TCN
Trang 9Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số
a) = −
+
2 4 1
x y
+
=
−
3 1
x y
−
=
−
2 1 1
x y
−
= +
1 2
x y
x
Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số (dành cho CTNC)
a) = + +
+
1
y
− +
=
−
2
y
+ +
=
+
1
y
− −
=
−
2
y x
