CHUYEN DE 4 toán 9 ôn vào 10

TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: I  Nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì được gọi là một nghiệm của hệ I..  Đôi khi ta có thể dùng phươ

Trang 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ÂN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP

Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: (I)

 Nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì được gọi là một nghiệm của hệ (I)

 Nếu hai phương trình trên không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vụ nghiệm

 Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó

 Đôi khi ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đó cho về hệ phương trình vớihai ẩn mới, rồi sau đó sử dụng một trong hai phương pháp giải ở trờn

II

NỘI DUNG

Câu 1. Giải hệ phương trình

Lời giải

Từ phương trình dưới suy ra Thay vào phương trình trên ta có phương trình:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Câu 2. Giải hệ phương trình:

Lời giải

Cộng hai phương trình lại với nhau, ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Trang 2

Lời giải

Trừ phương trình trên cho phương trình dưới của hệ, ta có:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Lời giải

Nhân hai vế phương trình (1) với ta được (3)

Lấy (3) – (2) ta được:

Vậy hệ phương trình có một nghiệm

Câu 5. Giải hệ phương trình sau:

Lời giải

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Lời giải

Trang 3

Lời giải

Trang 4

Lời giải

Hệ phương trình tương đương với:

Lời giải

Điều kiện x  0.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Lời giải

Điều kiện Đặt , hệ phương trình đã cho trở thành

Trang 5

(thỏa mãn)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là

Lời giải

ĐK

Đặt Khi đó hệ phương trình trở thành:

Khi đó ta có:

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

Trang 6

Câu 19. Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình:

Lời giải

+ Điều kiện:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Trang 7

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNGI.HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I:

Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng

 Phương trình n ẩn x x1, , .,2 x gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay n x bởi i x x j; j bởi x thì phương trình i

không thay đổi

 Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:

 Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng

 Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét

Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:

1 Định lý Viét cho phương trình bậc 2:

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2  4P

Bước 3: Thay x y, bởi S P, vào hệ phương trình Giải hệ tìm S P, rồi dùng Viét đảo tìm x y,

Chú ý:

+ Cần nhớ: x2y2 S2 – 2 ,P x3y3 S3– 3 SP

+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u u x v v x  ,    và S u v P  , uv

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ

Trang 8

2

30 30

Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm

Phương pháp giải chung:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

+ Bước 2: Đặt S x y P xy  ,  với điều kiện của S P và, *  

+ Bước 3: Thay x y, bởi S P, vào hệ phương trình

Giải hệ tìm S P, theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m

Chú ý:

Khi ta đặt ẩn phụ u u x v v x  ,    và S u v P uv  ,  thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u v,

Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

Trang 9

3 4( 3) 21

3 2 3 4

Trang 10

9 - 5 12

u u

12

9 - 5

12

x x

Khi đó x y 0 hoặc g x y   , 0

+ Trường hợp 1: x y 0 kết hợp với phương trình  1 hoặc  2 suy ra được nghiệm

+ Trường hợp 2: g x y  kết hợp với phương trình  , 0    1 2 suy ra nghiệm (trong trường hợp này

hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm

B Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  

 

3 3

Trang 11

u v





  

(Do u, v ≥ 0)  x = 1y = 1

Vậy hệ có nghiệm (1,1)

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình

2 2

0 0 0 0

x y x y

2

x x

Trang 12

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAOA.PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC:

Điểm mấu chốt khi giải hệ bằng phương pháp biến đổi theo các hằng đẳng thức:

233 23 6532

y y y

(thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm  x y  ;  3;3.

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau

Trang 13

x y .Ta thấy khi x 0 thì hệ không có nghiệm.

Chia phương trình (1) cho x 2 0:

3 2 11 0

x y

Trang 14

x 

Kết luận:   x y  ; 0; 1 , 1; 2   

b) Điều kiện: y0,x y 0

Nhận thấy y 0 thì hệ vô nghiệm Ta xét khi y 0

Từ phương trình (1) ta sử dụng phương pháp liên hợp:

Thay vào (2) ta được: x3 5x214x 4 63 x2 x 1.

Biến đổi phương trình đã cho tương đương:

B KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 THEO ẨN x, HOẶC y

Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai theo ẩn x hoặc y ta có thể nghỉ đến các hướng xử

lý như sau:

* Nếu  chẵn, ta giải x theo y rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp

* Nếu  không chẵn ta thường xử lý theo cách:

+ Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có  chẵn hoặc tạo thành các hằng đẳng thức

+ Dùng điều kiện  0 để tìm miền giá trị của biến x y, Sau đó đánh giá phương trình còn lại trên miền giá

trị x y, vừa tìm được:

Ta xét các ví dụ sau:

Trang 15

1 (3 1) 2 12





 

 suy ra phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: x 2y 1 thay vào phương trình thứ hai ta có:

Giải tương tự như trên ta được x 0.

Kết luận: Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm: ( ; ) (0;1),(1;2)x y 

Trang 16

Do x  3 6y   9 3 y 1 suy ra phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: x 2y 1 thay vào phương trình 2 của hệ ta có:

Từ phương trình dễ thấy để phương trình có nghiệm thì: x   1 0 x 1.

Ta viết phương trình thứ nhất dưới dạng:

2

2y  7y 10 x y   3 x 1 y1.

Để bình phương được ta cần điều kiện: x 1 y 1 x2 x y

Ta bình phương hai vế được:

2y  8y 8 x y  3 x 2x 2 x1 y1 (1).

Ta đưa phương trình (2) về dạng: x1 y   1 x2 x 2xy2y 3 (2) Thế (2) vào (1) ta được:

Trang 17

Ta viết phương trình (1) thành: 4x y  1 3y 4x Bình phương 2 vế ta thu được:

2 3y 4x  8x 4y1 Thay vào phương trình (2) của hệ ta có:

Trường hợp 1:y2x thay vào phương trình (1) ta có: 2x 12 vô nghiệm

Trường hợp 2: y 2x 4 thay vào phương trình (1) ta thu được:

Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy,

Bunhicopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ x y,

Ngoài ra ta cũng có thể dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ đó có hướng đánh giá, so sánh phù hợp

Trang 19

a) Hiển nhiên x y 0 là một nghiệm của hệ Ta xét x 0 và y 0 Cộng theo vế hai phương trình trong

Trang 20

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 0

Thay x y vào phương trình còn lại ta có: x x2 2  5x 3 4x2 5x 3

Để ý rằng x 0 không phải là nghiệm Ta xét x 0, chia phương trình cho x2 thì thu được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất    x y ; 3;3

a)

2 4

Giải

a) Điều kiện: 0 32

4

x y

Trang 21

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất x y 1

Nhận xét: Việc nhìn ra được quan hệ x y là chìa khóa để giải quyết bài toán Đây là kỹ năng đặc biệt quan

trọng khi giải hệ bằng phương pháp đánh giá cũng như chứng minh bất đẳng thức.

D MỘT VÀI BÀI TẬP MINH HỌA

2 2 2

Trang 22

y  Thay vào (2) 2  x 1 Thử lại  1;2 là nghiệm của hệ.

y  Thay vào (2)2  x 1 Thử lại   là nghiệm của hệ.1; 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm  1;2 và   1; 2

x y





 

Vậy hệ phương trình có nghiệm (6;42) hoặc (2;10)

Trang 23

2

y x y x

x y

Trang 24

*Xét y  thì (2) 2x  (x2 5)2   Đặt x 5 x2 – 5 nên ta có hệ phương trình :a

2

2 2 2

5

15

Vậy hệ phương trình đã cho có 8 nghiệm…

Trang 25

5 1 16

7 1 18

5 1 16

7 1 18

59 1 1 148

x y z

x x

y y

Trang 26

Vậy nghiệm của hệ đã cho là  3;0 ,  2;1

5

15

Trang 27

( 2 5) 2( 2 5) 3 15 0

12

x y

Trang 28

Phương trình  3 vô nghiệm vì     ' 1 4 3 0.

Thế x 2 vào phương trình  2 ta được

2 y 2 2  y 1     y y TM

Vậy nghiệm của hệ phương trình là    x y ; 2;2 .

4)(3)

y x

y x y

Giải hệ  2 ta được x0;y 4

Vậy hệ phương trình có nghiệm là x3;y hoặc 2 x0;y  4

Trang 29

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x y z   3

u v

Trang 30

Nếu 3x2y thì: 2 1

9

y

  (không thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là: S    1; 1 , 1; 1    

2 2

2( )(1 ) 4

Với x y  là nghiệm của hệ phương trình0

Nhận thấy nếu x 0thì y  và ngược lại.0

Xét x 0; y  hệ phương trình tương đương với0

Trang 31

2 2 2

1 0( 1)( 2) 0

+ Với a1,b 3

2

1 13

x y

Giải được nghiệm của hệ: ( ; ) (1;2) và (x;y)=(-2;5)x y 

Trang 32

Câu 23. Tìm x, y, z thoả mãn hệ sau:

3 3 3

Với x 2 hoặc y  hoặc 2 z 2thay vào hệ ta đều có x y z  2

Vậy với x y z   thoả mãn hệ đã cho2

Câu 24 Giải hệ phương trình:

2

212

22

1

22

Trang 33

Vì phương trình y2   vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệmy 1 0

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm      x y ; 0;0 ; 3;3

A B

x x y

Trang 34

            (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là  1;5

Trang 35

Bình phương 2 vế của phương trình (2) ta được:  x y2    4 x y 2 xy 4 3 

Khi đó hai số x y, là hai nghiệm của phương trình t2 2 1 0t       t 1 x y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất    x y ; 1;1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CÓ CHỨA THAM SỐPHẦN I MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

 Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.

 Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm  x y theo tham số , m;

 Bước 2: Thế nghiệm x y, vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m;

Trang 36

 Bước 3: Kết luận.

 Dạng 3: Tìm mối liên hệ giữa x y, không phụ thuộc vào tham số m.

 Phương pháp:

 Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm  x y theo tham số , m;

 Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế làm mất tham số m;

b a

Bài 2. Hải phòng 2013-2014_Cho hệ phương trình   2x x23y m y m 3  I ( m là tham số)

a) Giải hệ phương trình  I khi m 1

b) Tìm m để hệ  I có nghiệm duy nhất  x y thỏa mãn ; x y  3

Lời giải a) Với m 1, hệ phương trình  I có dạng:

m m   m   m  m  m

Vậy với m 6 thì hệ phương trình  I có nghiệm duy nhất  x y thỏa mãn , x y  3

Trang 37

Bài 3. Hòa bình 2014-2015_Cho hệ phương trình:   2x x y 2y 52m1.

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: x2  2y2 2

a) Giải hệ phương trình khi m 2;

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất  x y thỏa mãn:;

2x y  3

Lời giải a) Giải hệ phương trình khi m 2

Ta có: 2x y x y 23 x y x 1 2 x y11

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  1;1

b) Ta có y2 –m1x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

2x y 2 m 1 2 – m1 m 4m 1 3 – m 2  với mọi 3 m.

Bài 5. Cho hệ phương trình :  2ax x ay3y54

a) Giải hệ phương trình với a1

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Lời giải a) Với a1, ta có hệ phương trình:

Trang 38

Vậy với a1, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:   x y;   1; 2.

25

3

42

y

x y

x

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu a0, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: 2 2 6

3



a (luôn đúng, vì a2 0 với mọi a )

Do đó, với a0, hệ luôn có nghiệm duy nhất

Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a

Bài 6. Cho hệ phương trình:   bx2x ay4y 5 15b Tìm a b, biết hệ có nghiệm  x y12

a) Giải hệ phương trình  I với m 1

b) Chứng minh hệ phương trình  I có nghiệm duy nhất với mọi m Tìm nghiệm duy nhất đó theo m.

Lời giải a) Thay m 1 ta có hệ phương trình

Ta có: m2 2m  3 (m 1)2   nên PT 2 0 m  1 có nghiệm duy nhất m

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m

Từ  1 ta có: 23 1

m y





Trang 39

Bài 8. Cho hệ phương trình   3x y x y 52m9 có nghiệm  x y Tìm ; m để biểu thức A xy x   1

a) Giải hệ phương trình khi m 2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x y thỏa mãn ;  x y12

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất   3 có nghiệm duy nhất m2  1 0 m 1  *

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất

2 111

m x m m y m

Kết hợp với  * ta được giá trị m cần tìm là m  1.

a) Giải hệ phương trình khi a 2

b) Giải và biện luận hệ phương trình.

c) Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

d) Tìm a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x y đạt GTNN.

Trang 40

Vậy với a 2 hệ phương trình có nghiệm  ; 5 3;

a  hệ phương trình đã cho vô nghiệm

c) Với a 0thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  2 2 2

2

11

Vậy a 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên

d) Với a 0thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  2 2 2

Trang 41

Trừ vế theo vế của  1 cho  2 ta có: 2x2y2015 k 2x y 2015 k  3

Vì hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt nên ta có: 2 x y     a b c d  4

Từ  3 và  4 suy ra a b c d   2015 k

HẾT

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	1,42 MB