Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC và điểm H thuộc cạnh BC.. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MBH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NCH tại P P H.. Chứng minh tứ giác AMPN
Trang 1UBND HUYỆN H KHÊ
PHÒNG GD&ĐT H KHÊ
ĐỀ ÔN THI SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (LÀM BÀI))
Bài 1: (4 điểm)
a Thực hiện trục căn ở mẫu biểu thức A =
6 4 3 2
3 2
b Thực hiện tính giá trị của biểu thức B = 2 2 42x2x 2 2 42x2x
với x =
2 3
c Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x x 1 m
Bài 2: (6.0 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
a.
0 1
0 1 4
4 2 2
y x
xy y
x
b
x x
x
x 1 1 1
c
11
1 5 5
y x
y x
d
1 4
1 4
1 4
y x
z
x z
y
z y
x
Bài 3:(6 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N
thuộc cạnh AC và điểm H thuộc cạnh BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác MBH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NCH tại P (P H).
a Chứng minh tứ giác AMPN nội tiếp trong một đường tròn.
b Đường thẳng HP cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMPN tại điểm thứ hai Q Chứng minh AQ song song với BC.
c Khi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, AH là đường cao của tam giác ABC HP cắt MN tại I Chứng minh I là trung điểm của MN.
Bài 4:(2.0 điểm) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh:
a p2 - 1 chia hết cho 6.
b p4 - 1 chia hết cho 48.
Bài 5:(2.0 điểm)
Chøng minh r»ng:
b
a 1
.
a
b 1
.
3 80 víi a 3, b 3
DÊu b»ng x¶y ra khi nµo ?
UBND HUYỆN H KHÊ
PHÒNG GD&ĐT H KHÊ
ĐÁP ÁN ÔN THI SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: Toán
Trang 2Thời gian làm bài: 150 phút (LÀM BÀI))
ĐÁP ÁN Bài 1:
2 1
1 ) 2 1 )(
3 2 (
3 2 )
3 2 (
2
3
2
3 2
1 2 ) 2 1
)(
2
1
(
2
1
Thay x vào ta được B =
3 4 2
3 2 3 4 2
3 2
- Nhân với lượng liên hợp:
3
) 3 4 2 )(
3 2 ( 3
) 3 4 2
)(
3
2
Thực hiện nhân và rút gọn:
3
3 4 3 3 2 3 4 2 4 3 4 3 3 2 3
4
2
3
3 4 3 2 3
3 4 3 2 3 4 3
4
3
3 2 1 ( 13 2
Bài 2:
0 1
0 1 4
4 2
2
y
x
xy y
x
0 1
0 1 ) 2
y x
x y
0 1
0 ) 1 2
)(
1 2
(
y x
x y x
y
Được:
0 1
0 1 2
y x
x y
hoặc
0 1
0 1 2
(
y x
x y
Giải hệ:
0 1
0 1 2
y x
x y
Giải hệ:
0 1
0 1 2
(
y x
x y
x
x x
x 1 1 1
x
x x
x x
x ( x 2 x -1)2 = 0
x 2 x -1=0 x2 - x - 1 = 0
Giải phương trình được x
Điều kiện và đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm
Có: x5 + y5 = (x+y)(x4 -x3y + x2y2 - xy3 + y4)
= (x+y)( x4 + y4 -xy(x2 +y2) +x2y2)
= (x+y)( (x2 + y2)2 - 2x2y2 - xy((x+y)2-2xy) + x2y2)
= (x+y)(((x +y)2 -2xy)2- 2x2y2 - xy((x+y)2-2xy) + x2y2)
Thay x + y = 1 được :
x5 + y5 = (1-2xy)2 -2x2y2 - xy(1-2xy) + x2y2
= 1 - 4xy + 4x2y2 - 2x2y2 - xy + 2x2y2 + x2y2
= 1 - 5xy + 5x2y2
Đặt t = xy ta được phương trình :
5t2 - 5t + 1 = 11 t2 - t - 2 = 0
Trang 3Giải phương trỡnh được : t1 = -1; t2 = 2
Giải cỏc hệ:
1
1
xy
y x
và
2
1
xy
y x
được nghiệm : ;12 5
2 5 1
; ;12 5 2
5 1
Điều kiện của ẩn : x, y, z 1/4
Nhân vế-vế cả ba phơng trình với 2 rồi cộng lại, ta đợc phơng trình:
4x + 4y + 4z = 2 4 x 1 + 2 4y 1 + 2 4 z 1 (*)
Biến đổi (*) <=> ( 4 x 1-1)2 + ( 4y 1-1)2 + ( 4 z 1-1)2 = 0
<=> 4 x 1 = 4y 1 = 4 z 1 = 1 <=> x = y = z = 1/2 thỏa mãn đ/kiện
Bài 4:
- Tứ giỏc MBHP nội tiếp MPH + MBH = 1800
- Tứ giỏc NCHP nội tiếp NPH + NCH = 1800
- Cộng được MPH + NPH + MBH + NCH = 3600
- Thay MPH + NPH = 3600 - MPN và MBH + NCH = 1800 - MAN vào được:
3600 - MPN + 1800 - A = 360
- MPN + MAN = 1800 tứ giỏc AMPN nội tiếp trong một đường trũn
- MPH + MBH = 1800 và MPH + MPQ = 1800 MBH = MPQ
- MPQ + MAQ = 1800 nờn MBH + MAQ = 1800 BC // AQ
(Cú thể chứng minh CHN = NPQ = NAQ)
- MN là đường trung bỡnh của ABC MN//BC MN// AQ
- MAQN là hỡnh thang cõn AM = QN và AN = QM
- MA = MH (MN đi qua trung điểm AH và vuụng gúc với AH)
- MH = MA = QN
- Tương tự: NH = NA = QM
- MHNQ là hỡnh bỡnh hành I là trung điểm của MN
Bài 4 :
- p là số nguyờn tố lớn hơn 3 nờn p là số lẻ p2 lẻ p2 - 1 chẵn p2 - 1 chia hết cho 2
- p là số nguyờn tố lớn hơn 3 nờn p khụng chia hết cho 3 p = 3k 1
- p2 - 1 = 9k2 6k = 3(3k2 2k) p2 - 1 chia hết cho 3
- Do (2,3) = 1 nờn p2 -1 chia hết cho 6
A
H
P Q
I
Trang 4- p4 - 1= (p2 -1)(p2 + 1)
- p là số lẻ p2 lẻ p2 + 1 chẵn p2 + 1 chia hết cho 2
- p là số lẻ Đặt p = 2k+1 p2 - 1 = 4k2 + 4k = 4k(k+1).Do k(k+1) chia hết cho 2 nên p2
- 1 = 4k(k+1) chia hết cho 8
- Do (3,8) = 1 nên p2 - 1 chia hết cho 24 (p2 -1)(p2 + 1) chia hết cho 48
Bài 5:
Ta cã: 21a+(3/a) =(3/a) + a/3 + 62a/3 2
3
3 a
a + (62.3/3) = 64 (1) a 3 DÊu b»ng x¶y ra <=> (3/a) = a/3 vµ a = 3 <=> a = 3
L¹i cã: (21/b) + 3b =(21/b) + 7b/3 + 2b/3 2
3
7
21 b
b + (2.3/3) = 16 (2) b 3 DÊu
b»ng x¶y ra <=> (21/b) = 7b/3 vµ b = 3 <=> b = 3
Tõ (1) vµ (2) suy ra B§T cÇn chøng minh !
DÊu b»ng x¶y ra <=> a = b = 3