Anh 9 - Unit 3 Listen

b)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vuông góc OXY tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC cân tại A.. Trong đó nhất thiết phải có mặt hai chữ số 1 và 9.[r]

TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI (LẦN I)

Môn thi: Toán ;năm học 2010 – 2011

(Đề gồm 01 trang) Thời gian làm bài 180 phút

Bài 1: (6 điểm) Cho hàm số y x3  x2 m2xm

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m0

b) Tìm a để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 3 2 3 2

3

c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

2

5 2

1 : )

Bài 2: (4 điểm)

a) Giải phương trình: 6sinx2cos3x5sin2xcosx

b) Giải hệ phương trình:

























0 3

4

0 2

2 2 2

4 2

y x y x x

y x xy x

Bài 3: (4 điểm)

a) Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có A’ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy

AB = a, cạnh bên AA’ = b Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) Tính tan và thể

tích khối chópA’BB’C’C

b)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vuông góc OXY tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

cân tại A Biết phương trình cạnh BC: x  y2 0 đường phân giác trong của góc B có

phương trình 2x  y90,và đường cao qua điểm A của tam giác có phương trình x  y4 0

Bài 4: (4 điểm)

a) Từ các số tự nhiên, lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau Trong đó nhất thiết phải

có mặt hai chữ số 1 và 9

b) Cho hàm số:

2

2 6 2









x

x mx

Tìm m để hàm số nghịch biến trên 0;

Bài 5: (2 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn abc9

2 2 2

2 2

2













ca

a c bc

c b ab

b a

HẾT

Họ và tên thí sinh dự thi:………

lechungqx@yahoo.com.vn

TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LẦN I NĂM HỌC 2009 –

2010

Môn: TOÁN

(Đáp án – Thang điểm gồm 04 trang)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2,00 điểm)

 Tập xác định:D = R

 Sự biến thiên:

y'3x2 6x,y'0x0;x2

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

 

    x x y y ,lim lim Bảng biến thiên:

x - 0 2 + 

y’ + 0 - 0 +

y

0 +

- -4

Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ;0) và (2;+  ), nghịch biến trên khoảng (0;2) Hàm số đạt cực đại y CD 0 tại x = 0, hàm số đạt cực tiểu y CT 4 tại x = 2  Đồ thị: y

-1 0 2 3

x

-4

0,5 0,5 0,5 0,5 2 Xác định m … (2,00 điểm)

3 Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số yx3 3x2và đường thẳng 2 3 3a a y  Để pt có 3 nghiệm 4a33a2 0  0;2 \ ) 3 ; 1 ( 0 ) 2 )( 1 ( 0 ) 3 ( 2 2              a a a a a …….(2,00 điểm)

1

1

Ta có y y x  m  x m m

3 ) 2 3

2 ( ) 3

1 3

1 ( '

2 2

y’ = 0 có hai nghiệm x1;x2  m  3và pt đường thẳng cực trị y = m  xm m

3 ) 2 3

2 (

2 2

(d) Các điểm cực trị A x y 1 , 1,B x 2 ,y2 đối xứng nhau qua  : 1 5

 (d)  () tại trung điểm I của AB (*) Ta có 1 2 1

2

I

(*) 

2

2 2

0

0 5

m







0,5

0,5 0,5 0,5

0,5

II

1 Giải phương trình lượng giác (2,00 điểm)

+ Với cosx = 0 pt vô nghiệm

+ Với cosx  0 pt đã cho (tanx1)(3tan2 x3tanx1)0

 x  x k ;kZ

4 1

1

1

2 Giải hệ phương trình (2,00 điểm)

Hệ pt đã cho



























0 ) 2 1 ( 3 ) (

0 ) 2 1 ( 2 2 2 2

y x

y x

y x y x

Đặt u x2 y;v12y

Khi đó hệ pt trở thành































0 ) 3 ( 0

3

0

2 2 2

2

v v x

xv u v

x u

xv u

































x u

v u

v u

x

3

3

; 0

0

; 0 0

Hệ pt có nghiệm: (0;0) ; (1;2) ; (2;2)

0,5 0,5 0,5 0,5

a B’

Gọi H là tâm của tam giác ABC AH  ( ABC)

M là trung điểm của BC

Ta có

a

a b HM

H

3 2 '

A’ C’

3 '

2

2 a b H

A   B

 M

H

A C

0,5 0,5

b

12

3

' 3

'

a b a S

H A

Vtrụ =

4

3

'

2 2 2

a b a S

H

6

2 '

a b a V

V

V  tru  A BC  

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ pt

) 5

; 7 ( 5

7 0

9 2

0 2

B y

x y

x

y x

































A Lấy điểm M(2;0)  BC

Gọi M’ đối xứng với M qua đường phân giác góc B

Suy ra M’(6;-2)  AB

Suy ra pt AB: 7x - y - 44 = 0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ pt

) 2

; 6 ( 2

6 0

44 7

0 4





































A y

x y

x

y x

B H C

Gọi H là hình chiếu của A lên BC, suy ra tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:

) 1

; 3 ( 1

3 0

2

0 4

H y

x y

x

y x

































Ta thấy H là trung điểm của BC, suy ra tọa độ điểm C(-1;-3)

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

IV

a

b

Gọi số gồm 6 chữ số khác nhau là: abcdef

+ 1 và 9 xếp vào 6 vị trí từ a đến f có 2

6

A cách chọn

+ a2;3;4;5;6;7;8 có 7 cách chọn sau khi xếp số 1 và 9

+ Còn lại 7 số sắp xếp vào 3 vị trí có 3

7

A cách chọn

Suy ra có 7.A62.A73 = 44100 số

2 ) 2 (

14 4

'









x

mx mx

 





y

 













 f(x) mx2 4mx 14 0, x 0;

+ Với m = 0 không thỏa mãn

+ Với m  0 ta xét hai trường hợp:

1

1

0,5

0,5

V

TH1:



























0

0 14 4

0

m

m m

TH2:





















































0 / 14

0 4 0

0 14 4

0 0 0

m

m

m m

P S

m

(vô nghiệm)

… (2điểm)

0,5

0,5

c a b

c a

Ta có:

+

3 2 2

2 2 2

2

3 1

1 1 2

1

ba a

a b a

+

a b

3 1

3 2   đẳng thức xảy ra khi a = b

2

1 2

1 2

1 ( 3 3

c a b c a

3 3 3

1 3







c b

Dấu bằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3

0,5

0,5

0,5

0,5