Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ NHẤT (31/08/2010)
Môn Toán – Khối A-B Thời gian 180 phút
Phần dành chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)
Câu 1: Cho hàm số y = x3 3mx2 3(m21)x (m21) (1)
a) Với m = 0, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương
Câu 2: a) Giải phương trình: sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin2(2x+
4
) = 0
b) Giải phương trình: 4 2
2 1
log x 4 2
Câu 3 : Tính tích phân:
3
2 1
3 ln (1 )
x dx x
Câu 4 : Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có thể tích V Các mặt phẳng (ABC'),(AB C' ),(A BC' )cắt nhau tại O Tính thể tích khối tứ diện O.ABC theo V
Câu 5 : Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4(x y ) 4(y z ) 4(z x ) 2( x y z )
Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (phần A hoặc B )
A Theo chương trình chuẩn
Câu 6a : a) Cho đường tròn (C) có phương trình : x2y2 4x 4y 4 0 và đường thẳng (d) có phương trình : x + y – 2 = 0 Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B Tìm toạ
độ điểm C trên đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất
b) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng có phương trình :
1
( ) :
'
2
'
4
3
Viết phương trình đường thẳng () đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng (d1), (d2)
Câu 7a : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :
7 4
3
1
x x
( với x > 0 )
B Theo chương trình nâng cao
Câu 6b : a) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1) , đường
cao và đường phân giác trong qua đỉnh A,C lần lượt là : 3x -4y + 27 =0 và x + 2y – 5 = 0
b) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đường thẳng () có phương trình :
2 1 0
2 0
x y z
x y z
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng () sao cho : MA + MB nhỏ nhất
(1 x x ) a a x a x a x Tính hệ số a4 - Hết
Trang 2-ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu 1
(2
điểm)
a (1.0 điểm) Khảo sát…
Với m=0, ta có: y=x3-3x+1
TXĐ D=R
y’=3x2-3; y’=0 1
1
x x
lim
x
y
0,25
BBT
-1
0,25
Hs đồng biến trên khoảng ( ;-1) và (1;), nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Hs đạt cực đại tại x=-1 và ycđ=3, Hs đạt cực tiểu tại x=1 và yct=-1 0,25
Đồ thị : cắt Oy tại điểm A(0;1)
và đi qua các điểm B(-2;-1), C(2;3)
Đồ thị nhận điểm A(0;1) làm tâm đối xứng
0,25
b (1.0 điểm) Tìm m để …
Ta có y’= 3x2-6mx+3(m2-1)
y’=0 1
2
1 1
2
2 1
2 2
y (m 1)(m 3)
y (m 1)(m 2m 1)
0,25
Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương thì ta phải có:
'
' 0
1 0 0
( 1) 0 (0) 0
y
CD
CT
m R
m x
m af
0,25
y
-2 1 -1 -1
1 2
3
x 0
Trang 3Vậy giá trị m cần tìm là: m ( 3;1 2)
0,25
Câu 2
(2.0
điểm)
a (1.0 điểm) Giải phương trình
sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin2(2x +
4
)=0
sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x +
2
)
0,25
x =
2
+ k2 , kZ
Cách khác: sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin2(2x +
4
)=0 2
0,25
2 1
log x 4 2
Điều Kiện
x 1 0
0 2x 1 1 x 1
x 2 0
0,25
2 1
x
2( 1)(2 1) ( 1)(2 1)
2
2
2
x
x
, so với đk chỉ nhận nghiệm 1 7
2
Câu 3
(1.0
điểm)
Tính tích phân
3
2 1
3 ln (1 )
Đặt
2
dx
u 3 ln x du
x dx
1 dv
v (1 x)
(1 x)
I
3
3 1 1
ln 3 ln 4 ln 2 ln 3 ln 2
1
m m
m m
m
Trang 4Câu 4
(1.0
điểm)
Gọi I = AC’A’C, J = A’BAB’
(BA'C) (ABC') = BI
(BA'C) (AB'C) = CJ
Goi O = BI CJ
O là điểm cần tìm
Ta có O là trọng tâm tam giác BA’C
0,25
Gọi H là hình chiếu của O lên mp(ABC)
Do ABC là hình chiếu vuông góc của BA’C trên (ABC) nên H là trọng tâm ABC 0,25
Gọi M là trung điểm BC Ta có: 1
Câu 5
(1.0
điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :
3
3
1
dấu bằng xảy ra khi x y z 1 Vậy GTNN của P bằng 12 0,25 Câu
6a
(2.0
điểm)
Chương trình chuẩn
a (1.0 điểm)
(C) có tâm I(2;2), bán kính R=2
Tọa độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ:
0,25
J
I
O
H
M
B'
A'
C'
C B
A
Trang 52 2
0 2
2 0
0
x y
x y
y
Hay A(2;0), B(0;2)
2
ABC
S CH AB (H là hình chiếu của C trên AB)
ABC
Dễ dàng thấy CH max ( ) ( )
2
C
x
0,25
Hay : y = x với :
(2; 2)
d I
C
Vậy C (2 2; 2 2) thì SABC max
Chú ý: Giải C ( ) ( )C có hai điểm C Có thể chọn điểm C theo một trong hai cách sau:
-d(C ;(AB))1 d(C ;(AB))2 chọn C1
- C, I nằm cùng phía đối với đường thẳng AB
0,25
b (1.0 điểm)
Nhận xét: A(d1) và A(d2)
Giả sử ( ) ( 1)
( ) ( 2)
Với Id1 I(2t-1; -1-2t; 2+t)
Hd2 H(4t’; -2; 3t’)
0,25
1 2 (1 4 ')
23
3 2 (2 2)
10
1 (3 3 ')
23 18 3
5 5 10
cbt
k R k
I
0,5
Vậy phương trình đường thẳng ( ) đi qua 2 điểm I và H là: 0,25
H 4
A
y
x
M
2
2 O
C
Trang 61 56
2 16
3 33
Cách khác: Viết phương trình mp (P) đi qua A và chứa (d1) Gọi B = (d2)(P) Đường
thẳng ( ) cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Câu
7a
(1.0
điểm)
Ta có:
1 1
7
7 3
0
1
k
x
Để số hạng thứ k không chứa x thì
4
[0;7], k
k k
0.5
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: 74
1 35
Câu
6b
(2.0
điểm)
Chương trình nâng cao
a (1.0 điểm)
Phương trình đường thẳng chứa cạnh BC:
1
( ) qua B
( ) : 4 3 5 0
BC d
BC
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 4 3 5 0 ( 1;3)
C
0,25
Gọi KAC, KBC, K2 theo thứ tự là hệ số góc của các đường thẳng AC, BC, d2
Ta có:
0 1 (loai) 3
AC
AC
AC
AC
K
K K
0,25
Vậy pt đường thẳng AC đi qua C và có hệ số góc k=0 là: y = 3
+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
3 4 27 0 ( 5;3)
3 0
A y
0,25
Pt cạnh AB là: 5 3 4 7 1 0
Vậy AB: 4x+7y-1=0
AC: y=3
BC: 4x+3y-5=0
0,25
b (1.0 điểm)
+ Xét vị trí tương đối giữa AB và, ta cú:
cắt AB tại K(1;3;0)
Ta cú KB 2KA
A, B nằm về cùng phía đối với
0,25
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua và H là hình chiếu của A trên 0,25
Trang 7 H( 1;t;-3+t) (với PTTS của :
1 3
x
y t
)
Ta có . 0 1.0 ( 4).1 ( 4 ).1 0 4
(1; 4;1) '(0;4;1)
Gọi M là giao điểm của A’B và d
(1;13 4; )
3 3
M
Lấy điểm N bất kỳ trên
Ta cú MA+MB=MB+MA’=A’BNA+NB
Vậy (1;13 4; )
3 3
Câu
7b
(1.0
điểm)
Ta có:
(1+x+x2)12 = [(1+x)+x2 ]12 = =
12(1 ) 12(1 ) 12k(1 ) k.( )k 12
0,25
=
2 4 0 10 10
+C [C ]+
0 8 1 9 2 10
4 12 12 12 11 12 10 1221
a C C C C C C