Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 năm 2015-2016 môn Toán - Trường THPT Đào Duy Từ (Phần đáp án) giới thiệu đáp án đề thi học sinh giỏi và thang điểm để người đọc tiện tra cứu. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1SỞ GD & ĐT THANH HÓA ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10
Môn thi TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)
Đáp án và hướng dẫn chấm có 04 trang HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
1 Cho hàm số f x mx2 m 3 x m 3 Tìm các giá trị thực của m để: 4.0 a) Phương trình f x 0 có 2 nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1 2 x 2x1 22 2.0
PTf x 0 có 2 nghiệm phân biệt x , x1 2
m 0
m 5
(1) 0.5
Theo Viet :
1 2
m 3
m
m 3
m
Kết hợp (a) với x1 2x2 2 (c), ta tính được
1
2
2 x
m
m 1 x
m
0.5
m
m
2
Kết hợp với (1), ta được các giá trị cần tìm của m là
m
2
m
2
0.5
Ta tìm m để f x 0 vô nghiệm f x 0, x 0.5 Với m 0 : f x 0 trở thành 3x 3 0 (không thỏa mãn) 0.5 Với m 0 :
5
thì f x 0, x
5
thì bất phương trình f x 0 có nghiệm.
0.5
2 a) Giải phương trình 2 x 2 x 12 7 x 1 2 13 x 3 1 1 2.0
Trang 2Vì x2 x 1 0, x PT
2
u 7
0.5
x 2
0.5
Với u 1:
7
x 4
Vậy phương trình có tập nghiệm là : S 1; 1;2;4
2
0.5
b) Giải bất phương trình x x 4 x2 4x x 2 2 (2)2 2.0
ĐK: 0 x 4 Đặt x24x t;0 t 2 , suy ra x2 4xt2 0.5 Được BPT : t3 t 2 0 t 1 t 2 t 2 0 t 1, vì t2 t 2 0; t 0.5 Kết hợp đk thì 1 t 2 Khi đó 1 x2 4x 2 1 x24x 4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S2 3;2 3 0.5
3 a) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình m 2 1 x21x2 m
Đặt x2 1 t;t 1 Ta được phương trình t2 m 2 t 1 2m 0 1
Nhận thấy với mỗi giá trị t 1 thì x t2 1
Nên bài toán thỏ mãn khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1 nghiệm t 1
0.5
Ta có: Phương trình có nghiệm kép t0 1:
2
m 2
1 2
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt t1 1 t2:
Có t1 1 t2 t11 t 2 1 0 t t1 2 t1t2 1 0 2
0.5
Theo Viet: 1 2
1 2
3
Kết hợp với (a), ta được các giá trị cần tìm của m là m 4;
3
0.5
Trang 3Đặt x 1 t Hệ phương trình trở thành :
2 2
2 2
0.5
Cộng vế với vế (1) và (2) ta được:
2 2
2 2
1
0.5
t2 y2 0 t y
Với t y , thay vào (2): 2y 1 0 y 1
2
, suy ra t 1
2
nên x 3
2
Với ty, thay vào (2): 4y 1 0 y 1
4
4
nên x 3
4
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm x; y là : 3 1;
2 2
và 3 1;
4 4
0.5
4 a) Xác định tọa độ các điểm A,B để 12 12
Phương trình đường thẳng AB là: x y 1
a b và M AB nên 2 1 1 1
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cop-xki với 2 bộ số 2;1 và 1 1;
a b
2
0.5
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a 2
2 1
0.5
Do đó
5 a 1
Vậy A 5;0 , B 0;5
2
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có AD // BC,
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang đã cho biết rằng cot ADC 2. 2.0
2 4; 4 6
E t t Theo giả thiết E t 3 I3; 3 , E2; 6 0.5
5
Vì CAC C c c ; 2 3 BI 1; 3 , BC c 4; 2c 3
Trang 4 2 2
5 1
3 22 35 0
5 10 5 20 25 5
3
c c
c IBC
c
Suy ra C5; 7 hoặc 7 5; `
3 3
Với C5; 7 , ta thấy I là trung điểm của AC nên A1; 1 , vì E là trung điểm
của AD nên D3; 13 Vậy C5; 7 , A1; 1 , và D3; 13
Với 7 5; ,
3 7
tương tự ta có 11 13; , 1 23;
0.5
5 a) Chứng minh tích BI CI
Ta có:
sin
BD
và
sin
CE
Nên
2
2 sin sin
cos cos
(1)
0.5
Xét IBC , có BIC 1350 nên sin sin 2 sin 2
2
2
B
BI CI BC (2) 0.5
Từ (1) và (2) suy ra : 1
2
BI CI
BD CE không đổi (ĐPCM) 0.5
b) Cho các số thựca,b,c [ 1 ; 2 ] Tìm GTNN của 2 4(( ) )
2
ca bc ab c
b a P
b a b a c c
b a ab
b a c c
b a
2 2
2
) ( ) ( 4
) ( 4
) ( 4
) (
0.5
Do a,b,c [ 1 ; 2 ] nên ab 0, chia tử và mẫu của M cho (a b) 2 ta được:
1 4
1 1
4
1
2 2
t t b
a
c b
a c
M
với t c
a b
Do a,b,c [ 1 ; 2 ]
1
4
0.5
Xét hàm số f (t) t 2 4t 1 trên 41;1
Hàm số là đồng biến trên ; 1
4
1
, nên f 1 f (t) f 1 6
4
0.5
Đẳng thức xảy ra khi t 1 a b 1
c 2
c 2 6
0.5
Trang 5……… Hết ………