Đề thi Chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh năm học 2014 - 2015 môn Toán 9 (Đề tham khảo) của Trường THCS Trần Thị Nhượng giúp cho các bạn củng cố được các kiến thức về môn Toán lớp 9 thông qua việc giải những bài tập trong đề thi. Tài liệu phục vụ cho các bạn yêu thích môn Toán và các thầy cô dạy Toán THPT.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TP SA ĐÉC
TRƯỜNG THCS TRẦN THỊ NHƯỢNG
ĐỀ THAM KHẢO
(Đề gồm 2 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN: TOÁN 9
Ngày thi: 5/ 4/ 2015
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề)
ĐỀ BÀI:
Bài 1 (3 điểm)
a) Cho A = 13 - 2 42 Tính A
b) Rút gọn biểu thức B = 6 2 2 3 4 2 3
Bài 2 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng tổng của hai số tự nhiên ab ba chia hết cho 11
b) Phân tích đa thức sau thành nhân từ: x4 + 2x2 – 3
Bài 3 (2 điểm)
a) Tính tổng sau: M = 6 6 6 6 80
15.18 18.21 21.24 87.90 90
b) Tìm số ab sao cho bbb ab a b
Bài 4 (2 điểm)
Có hai đội cờ thi đấu với nhau Mỗi đối thủ của đội này phải thi đấu một ván
cờ với mỗi đấu thủ của đội kia Cho biết tổng số ván cờ bằng 4 lần tổng số đấu thủ của cả hai đội và một trong hai đội có số đấu thủ lẻ Vậy mỗi đội có bao nhiêu đối thủ ?
Bài 5 (3 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 4(1 x) 2 8 0
b) (x + 3)3 – (x + 1)3 = 56
c)
2 2
4 8 2
(1) (2)
Bài 6 (5 điểm)
1) Cho tam giác ABC có AB= 6cm, BC= 10 cm, CA= 8cm
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I là tâm của đường trong nội tiếp tam giác ABC Tính độ dài IO ?
2) Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của cạnh BC Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho DM E = B Chứng minh: a) Tam giác DBM đồng dạng với tam giác MCE
b) Tia DM là tia phân giác của góc BDE
Trang 2Bài 7 (3 điểm)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I thuộc đoạn AO sao cho
AO = 3.IO Qua I vẽ dây cung CD vuông góc với AB, trên đoạn CD lấy điểm K tuỳ
ý Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M
1 Chứng minh: Bốn điểm I, K, M, B cùng thuộc một đường tròn
2 Chứng minh rằng tâm F của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC nằm trên một đường thẳng cố định
3 Khi K di động trên đoạn CD, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn DF
HẾT
Họ và tên giám thị 1: Chữ ký:
Họ và tên giám thị 2: Chữ ký:
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ………
Giám thị coi thi không cần giải thích gì thêm
Trang 3PHÒNG GD&ĐT TP SA ĐÉC
ĐỀ THI THAM KHẢO HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC: 2014- 2015
1
a) A 13 2 42 = 2
b) B = 6 2 2 3 4 2 3
6 2 2 3 ( 3 1) 6 2 2 2 3
6 2 4 2 3 6 2( 3 1)
2 đ
2 a) ab ba=10a+ b+ 10b+ a= 11(a+b) nên chia hết cho 11 1đ b) x4 + 2x2 – 3 = [(x2)2 + 1]2 – 22 = (x - 1)(x + 1)(x2 + 3) 1đ
3a
b
15.18 18.21 21.24 87.90 90
Ta có bbb ab a b
3.37 .
3.37
b a b ab
a ab
Vậy a= 3, b=7 Số ab= 37
2 đ
4
Gọi x, y là số đối thủ của mỗi đội (ĐK: x,y là số nguyên dương)
Vì mỗi đấu thủ của đội này phải thi đấu một ván cờ với mỗi đối
thủ của đội kia, nên tổng số ván cờ đã thi đấu là: x.y
Theo giả thiết, ta có:
xy= 4(x+y) (x-4)(y-4)= 16
= 1.16= 2.8=4.4
x hoặc y là số lẻ, nên ta có thể đồng nhất x- 4= 1 và y- 4=16
Suy ra x= 5; y= 10 Vậy: Một đội có 5 đấu thủ, đội kia có 20 đối thủ
2 đ
4(1 x) 8 0 2.1 x = 8 (1)
* Nếu x 1, (1) 2(1- x) = 8 x = - 3 (thỏa mãn đk)
* Nếu x > 1, (1) 2 (x - 1) = 8 x = 5 (thỏa mãn đk)
Vậy, S = {- 3; 5}
1 đ
b)(x + 3)3 – (x + 1)3 = 56
x3 + 9x2 +27x + 27 – x3 – 3x2 – 3x – 1 = 56
6x2 + 24x + 26 = 56
6(x2 + 4x - 5) = 0
1 đ
Trang 4 x(x- 1) + 5(x - 1) = 0
(x - 1)(x + 5) = 0
x = 1 hoặc x = - 5.Vậy S = {1; - 5}
c)
2 2
4 8 2
(1) (2)
Từ pt (1) suy ra 8 y2 hay 0 y 8
Từ pt (2) suy rax2 2 x y 2 2 x
Nếu x 2 y 2 2 Nếu x 2 y 2 2 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm:
2
2 2
x y
2 2
x y
1 đ
6
1) Trong tam giác ABC có BC2 100;AB2 AC2 100 Vậy tam
giác ABC vuông tại A (theo ĐL Pytago đảo)
Ta có S p r 6.8 6 8 10 r r 2cm
I là giao điểm của ba phân giác của tam giác ABC, kẻ
IH BC tại H, IK CA tại K, ; ILAB tại L Suy ra tứ giác
ALIK là hình vuông cạnh r Ta có BL= BH= AB- r= 6- 2= 4cm
O là trung điểm của BC Nên BO= 5cm,
HO= BO- BH= 1cm
Trong tam giác OIH vuông tại H có: OI 1 4 5cm
0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ 2) Vẽ hình đúng
2
2 2
x
x
x
Trang 5a)
0
0
180 180
Mà
M B D M
Mặt khác: B C (do ABC cân)
Nên DBM đồng dạng MCE (g.g)
2đ
c) Từ a) suy ra: DB DM ,
MC ME Do BM = MC nên DB DM
BM ME
Mà
2
B M , nên DBM đồng dạng DME (c.g.c)
Suy ra
D D Vậy DM là tia phân giác của B E D
1 đ
Câu
7.1
1 Chứng minh : Bốn điểm I, K, M, B cùng thuộc một đường tròn
Ta có KMB 90 0 ( vì chắn nửa đường tròn (O)
1 đ
Lại có KIB 90 0 (gt) nên các tam giác KMB, KIB đều nội tiếp một đường
tròn đường kính là cạnh huyền BK Hay bốn điểm I, K, M, B cùng thuộc
một đường tròn.
Câu
7.2 2 Chứng minh : Tâm F của (CKM) thuộc một đường cố địnhVẽ đường kính CE của (CKM) , ta có KE // AB
( vì cùng CD) MKE MAB (đ/vị)
1 đ
Lại có MKE MCE (cùng chắn cung ME của (F) )
MAB MCB (cùng chắn cung MB của (O) )
Suy ra MCE MCB C, E, B thẳng hàng C, F, B thẳng hàng
Suy ra F thuộc đường thẳng CB cố định
Câu
7.3
3 Tính độ dài ngắn nhất của DF
Kẻ DH CB tại H DH không đổi
Ta có DF DH nên DF ngắn nhất bằng DH
1 đ
Trang 6Ta có 2 2 2 2 2 2 4 2
CI CO IO R CD
2
CB BI BA R CB
Lại có DH.CB=BI.CD ( bằng nửa S CBD) DH BI CD.
CB
DH
9
3
R R
R R
Vậy DF ngắn nhất bằng 8 3
9
R
Ghi chú: Học sinh làm bài theo cách khác hợp lí đạt điểm tối đa.