Tang quy thay co HINH OXYZ

Tìm to D sao cho t giác ABCD là hình bình hành... Vi t ph ng trình mp(BCD).[r]

= Tr c Oy: 0

0

xz

=

= Tr c Oz: 0

0

xy

A B M

A B M

A B M

x kxx

k

y kyy

k

z kzz

A B I

A B I

A B I

=+

A B C G

A B C G

a) Ch ng minh r ng: A, B, C là 3 nh c a m t tam giác

b) Tính chu vi và di n tích c a tam giác ABC

c) Tìm to D t giác ABCD là hình bình hành

α

C B

C

B A

D

C

d) Tính dài ng cao c a tam giác ABC h t nh A

e) Tính các góc c a tam giác ABC

6) Cho i m M( 1;2;3)− Tìm to hình chi u vuông góc c a M:

a Trên tr c Ox b Trên m t ph ng Oyz

9) Cho 4 i m (3; 1;2), (1;2; 1), ( 1;1; 3), (3; 5;3).A − B − C − − D − Ch ng minh ABCD là hình thang

10) Tìm t a c a tr ng tâm t di n ABCD v i

(3; 1;6), ( 1;7; 2), (1; 3;2), (5;1;6)

11) Cho tam giác ABC v i (1;0;3), (2;2;4), (0;3; 2).A B C −

a Ch ng minh ∆ABC vuông t i A, t ó tìm tâm và bán kính c a ng tròn ngo i ti p ABC∆

b Tính góc C c a tam giác

12) Cho (1;2; 3), (3;2;0), ( 4;2;5).A − B C −

a Ch ng minh A, B, C là 3 nh c a m t tam giác

b Tìm to D sao cho t giác ABCD là hình bình hành

c Tìm , a b i m M a( +2;2b−1;1) thu c AC

13) a) Tìm trên tr c Oy i m cách u hai i m (3;1;0), ( 2;4;1).A B −

b) Tìm trên mp(Oxz) i m cách u ba i m (1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1).A B − C −

Cho tam giác ABC, bi t (1;2; 3), (3;2;0), ( 4;2;5).A − B C − Xác nh t a chân ng cao

xu t phát t nh A c a tam giác ABC

14) Cho tam giác ABC, bi t (2; 1;3), (4;0;1), ( 10;5;3).A − B C − Hãy tìm dài ng phân giác trong góc A c a tam giác ABC

15) Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ bi t (1;0;1), (2;1;2), (1; 1;1),A B D − '(4;5; 5).C − Tìm to các nh còn l i c a hình h p

B ng ph ng pháp t a :

B c 1: Ch n H tr c t a Oxyz

+ D a vào gi thi t tam di n vuông

+ D a vào gi thi t v dài ch n t a

B c 2: Suy ra t t c các i m trong bài toán v i t o c th

B c 3: Gi i yêu c!u bài toán theo “ngôn ng ” t a

Hãy gi i các bài toán sau:

Bài 1: Cho hình l"p ph ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng a G i M, N l!n l t là trung

≠

⇔

⊥ α

* Nh$n xét:

N u hai vect u , v không cùng ph ng và chúng có giá

song song v i mp ( )α thì ch n c 1 vect pháp c a mp ( )α :

1-3 Ph ng trình các m t ph ng Oxy, Oyz, Oxz

1) L"p ph ng trình m t ph ng ( )α bi t ( )α :

a i qua A(1; 2; 1) và có 1 vect pháp (1;3;2).n

b Qua A(2; 0; -1) và song song v i mp( )β : x−y=0

z

y x

α

C

B A

O

α

a Qua A(1; 0; 2) và song song v i mp Oxy

b Qua M(2; -1; -3) và vuông góc v i Ox

c Qua I(-1; 2; 4) và song song v i mp(P): 2x−3y+5z− =1 0

d ( )α là m t ph ng trung tr c c a o n AB v i A(1; 3; 2), B(-1; 1; 0)

4) Vi t ph ng trình mp( )α qua 3 i m A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6)

5) Vi t ph ng trình m t ph ng i qua 3 hình chi u c a M(1; -3; 1) lên các tr c to , 6) Cho m t ph ng ( )α : 2− x+3y− + =z 7 0 Vi t ph ng trình mp i qua A(1; 1; 0), B(-1; 2; 7) và vuông góc v i mp ( )α

7) Cho t di n OABC có OA, OB, OC ôi m t vuông góc Bi t O(1; 1; 1), A(2; 3; 5), B(3; -2; 2) Hãy vi t ph ng trình các m t ph ng (OAC), (OBC)

8) Vi t ph ng trình m t ph ng qua M(0; 2; -1), song song v i Ox và vuông góc v i mp(P): x− + =y z 0

9) Vi t ph ng trình mp qua A(-3; 0; 1) và vuông góc v i 2 m t ph ng (P):

12) Vi t ph ng trình m t ph ng i qua i m M(1; 1; 1), c t các tia Ox, Oy, Oz t i các

i m A, B, C sao cho th tích t di n OABC nh% nh t

13) Cho t di n ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)

a Vi t ph ng trình mp(BCD)

b Vi t ph ng trình mp qua A, B và song song v i CD

c G i G là tr ng tâm ∆BCD Vi t ph ng trình mp qua G và song song (ABC) 14) L"p ph ng trình m t ph ng:

a i qua i m (1;2;3)G và c t các tr c to t i các i m A, B, C sao cho G là

tr ng tâm tam giác ABC

b i qua i m (2;1;1)H và c t các tr c to t i các i m A, B, C sao cho H

là tr c tâm tam giác ABC

15) Cho hai i m (0;0; 3), (2;0; 1)A − B − và m t ph ng (P): 3x−8y+7z− = Tìm t a 1 0

i m C trên m t ph ng (P) sao cho tam giác ABC u

1) Xác nh vect ch ph ng c a các ng th ng cho b$i ph ng trình sau:

d x− = = − và i m (1;0;1)z A Tìm trên d :

a) i m M sao cho AM = 2

b) i m B, C sao cho tam giác ABC u

c) i m B, C sao cho tam giác ABC vuông cân t i A

a) Vuông góc v i m t ph ng ( )P : x− −y 2z+ = 5 0

b) Song song v i m t ph ng ( )P : x− −y 2z+ = 5 0

D ng 2: L P PH! NG TRÌNH !&NG TH#NG

1) Vi t ph ng trình tham s và chính t c c a ng th ng d trong m i tr ng h p sau:

a Qua A(2; 0; − 1) và có 1 vect ch ph ng ( 1;3;5)u −

b Qua A(2; 3; − 1) và B(1; 2; 4)

c Các ng th ng qua i m M0(x y z0; ;0 0) ( x y z0 .0 0 ≠0) và song song v i

m i tr c to 2) Vi t ph ng trình ng th ng d :

a) Qua A(4; 3; 1) và song song v i t

m t ph ng ( ), ( )α β c t nhau và vi t ph ng trình tham s c a giao tuy n gi a hai m t

a) Tìm to hình chi u vuông góc c a i m A trên ng th ng d

b) Vi t ph ng trình mp(α ) ch a d sao cho kho ng cách t A n (α) l n nh t 11*) (Kh i B_2007) Trong không gian v i h to Oxyz, cho hai i m A(1;4;2), B(−1;2;4) và ng th ng : 1 2

b) Tìm to M thu c ng th ng ∆ sao cho MA2 + MB2 nh% nh t

12*) (Kh i B_2006) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho i m A(0;1;2) và hai

a)) Vi t ph ng trình m t ph ng (P) qua A , ng th i song song v i d1 và d2

b) Tìm to d i m N thu c d1 và i m M thu c d2 sao cho ba i m A, M, N

6 2

D ng 2: Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song

Ph ng pháp: Cho hai m t ph ng song song ( ), ( )α β v i:

( ) : α ax+by+cz+d = 0( ) : β ax+by+cz+D= 0Lúc ó:

( );( )d( ) d A( ;( )) 2d 2D 2

+ + , v i A∈( )βLUY N T P:

1) Xác d nh kho ng cách t các i m M1(1; 1;2), − M2(4;3;0), M3( 1;4;3)− n m t ph ng ( ) : α x+2y+2z−10 0.=

2) Cho t di n ABCD có 4 nh: (1;1;1), ( 2;0;2), (0;1; 3)A B − C − và (4; 1;0)D −

a) Tính chi u cao AH c a tam giác ABC

b) Tính chi u cao c a t di n ABCD xu t phát t nh A

3) Cho 4 i m ( 1; 2;4), ( 4; 2;0), (3; 2;1)A − − B − − C − và (1;1;1)D Tính chi u cao c a t di n ABCD xu t phát t nh D

(Ph ng trình t ng quát c a ng th ng trong không gian)

Tr ng h/p 2: Hai m t ph ng ( ) ( )α , β song song nhau:

V i giá tr nào c a thì hai m t ph ng ó:

a) Song song v i nhau b) Trùng nhau c) C t nhau

V i giá tr nào c a thì hai m t ph ng ó:

a) Song song v i nhau b) Trùng nhau

βα

Ch 5: V- TRÍ T! NG I GI0A

!&NG TH#NG VÀ M"T PH#NG I-LÝ THUY T:

K t lu"n: ( ) //α ∆ K t lu"n: ∆ ⊂( )α K t lu"n: ∆ c t ( )α t i i m

0( 0 1 0; 0 2 0; 0 3 0)

M x +a t y +a t z +a t Nh$n xét:

2) Ch ng minh r ng ng th ng ( )

1: 2 2

a Xác nh hình chi u vuông góc H c a A lên m t ph ng ( )α

Ch 6: V- TRÍ T! NG I GI0A HAI !&NG TH#NG

S 1 XÉT V- TR- TRÍ T! NG I C2A HAI !&NG TH#NG OXYZ:

/

2 2 1

2 2 1

3

1 3

= − +

= +

= −a) Ch ng t% r ng hai ng th ng chéo nhau

b) Vi t ph ng trình m t ph ng i qua g c O, song song v i và

uCách 2: B c 1: G i H là hình chi u vuông góc c a M0 lên ∆

(to H ph thu c 1 !n t )

B c 2: Xác nh H d a vào: M H u0 =0

(d M ; )∆ = M HNh$n xét: N u gi i quyêt bài toán theo cách 2 thì khoa h c và m b o c nhi u yêu

c!u nh : x hình chi u, vi t ph ng trình ng th ng vuông góc…

D ng 2: Kho ng cách gi a hai ng th ng chéo nhau

B c 1: G i H∈d1, K∈d2(lúc này H, K có to ph thu c 2 !n t t ) , '

a) Ch ng t% ABCD là m t t di n b) Tính kho ng cách gi a hai ng th ng AB và CD

11) Cho t di n OABC v i A(0;0;a 3 , ) B a( ;0;0 , ) C(0;a 3;0 () a>0) G i M là trung i m

Cho A a( ;0;0), (0; ;0), ( ; ;0), (0;0; ) ,(B a C a a D d a>0,d >0) G i A’, B’ theo th t là hình

a) Vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ABC

b) Vi t ph ng trình c a ng phân giác trong c a góc A

Ch nâng cao: !&NG TH#NG-M"T PH#NG

Bài toán 1: Vi,t ph ng trình ng th ng ∆ qua A và c%t c 2 ng th ng a b,

(

u bi t:

(a):

11

10

y kz

Vi t ph ng trình hình chi u c a ∆ theo ph2 ng ∆ lên mp ( ).1 α

D ng toán: Tìm i m M ∈ mp( ) : α ax+by+cz+d = sao cho t(ng kho ng cách 0

MA+MB nh6 nh t, v i A B, là 2 i m cho tr c không thu c mp( )α

Thu"t toán i v i bài toàn liên quan n ng th ng hoàn toàn t ng t

Bài toán xác nh M thu c d sao cho bi u th c MA MB− t GTLN c l"p lu"n t ng t

(

α

*

2) (HVKTQS-1995)

Cho hai i m ( 1;3; 2), ( 9;4;0)A − − B − và mp(P): 2x− + + = Tìm i m K trên (P) sao y z 1 0cho AK BK+ t GTNN

3) ( HNN-I 1997)

Cho hai i m (1;2;3), (4;4;5)A B trong mpOxyz

a) Vi t ph ng trình ng th ng (AB) Tìm giao i m P c a nó v i mp(Oxy)

Ch ng t% r ng: Q Oxy∀ ∈ , bi u th c QA QB− có giá tr l n nh t khi Q trùng

v i P

b) Tìm trên mp(Oxy) i m M sao cho: MA MB+ nh% nh t

4) ( HHH-AB1997)

Cho mp ( ) : 2α x− + + =y z 1 0và hai i m (3;1;0)P và ( 9;4;9)Q − Tìm to i m M thu c mp ( )α sao cho MP MQ− t giá tr l n nh t

D ng toán: Tìm trên ng th ng d i m M sao cho MA MB+ t GTNN, v i A, B

là hai i m không thu c d

Ph ng pháp:

Cách 1: Dùng các ph ng pháp i s , gi i tích tìm GTNN ch a bi u th c MA MB+(ch ph thu c 1 !n )

b) K( AA’, BB’ vuông góc v i d Tính dài A’B’

a) Vi t ph ng trình hình chi u c a ∆ theo ph2 ng ∆ lên mp ( ).1 α

b) Tìm trên mp( )α sao cho MM1+MM2 t GTNN, bi t M1(3;1;1), M2(7;3;9)

a) Tìm trên d i m S sao cho SA SB SC+ + t GTNN

b) Tính th tích hình chóp O.ABC

G i ý: G i G là tr ng tâm c a tam giác ABC Lúc ó SA+SB+SC =3SG

SA+SB+SC t GTNN ⇔ S ≡G' v i 'G là hình chi u vuông góc c a G lên d

4) ( H A-2004) Cho hình l)ng tr ng ABC.A’B’C’ Bi t A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B’(-a;0;b) a>0; b>0

a) Tính kho ng cách gi a 2 ng th ng B’C và AC’ theo , a b

b) Cho a; b thay #i, nh ng luôn th%a a+ = Tìm , b 4 a b kho ng cách gi a 2

ng th ng B’C và AC’ l n nh t

5) (D* b) 2004) Cho 2 i m A(2;0;0) và M(1;1;1)

a) Tìm t a O’ i x ng v i O qua ng th ng AM

b) Gi s' (P) là mp thay #i nh ng luôn i qua ng th ng AM và c t các tr c Oy,

b) Xác nh i m A trên ∆ và i m B trên 1 ∆ sao cho o n AB có 2 dài nh% nh t 7) (D* b) 2007) Cho các i m ( 3;5; 5), (5; 3;7)A − − B − và m t ph ng ( ) :P x+ + = y z 0

a) Tìm giao i m I c a ng th ng AB v i m t ph ng (P)

b) Tìm i m M ∈( )P sao cho: MA2+MB2 nh% nh t

a) CMR: dvà AB chéo nhau, tính góc và kho ng cách gi a chúng

b) Tìm t a i m M trên ng th ng d sao cho2MA+3MB t giá tr nh% nh t

= − = = nên :& $ l n nh t b ng khi b =

K t lu"n: So sánh hai tr ng h p trên, ta th y :& $ l n nh t hay mp(R) t o v i tr c Oy góc

l n nh t khi b = Lúc ó: 2 R x+ y− z+ = 6

Bài t$p 3: Cho S x + y +z − x+ y+ z+ = và mp P x− +y z+ = Tìm M ∈ S sao cho kho ng cách t M n mp(P) là nh% nh t? L n nh t?

* Chu vi tam giác ABM AB AM MB= + +

Vì AB không #i Chu vi tam giác ABM nh% nh t ⇔ AM +MB nh% nh t

Bài t$p 3: Trong không gian v i h t a Oxyz, cho các i m A − ) )− B )− ) và

Lúc ó: & (MA +MB )=OA +OB = + + + + + =

Bài t$p 3: Trong không gian v i h t a Oxyz, cho 2 ng th ng :

*L u ý: !&NG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

* ng tròn (C) trong không gian Oxyz c xem là giao tuy n c a (S) và mp( )α

11) (HVNH-2001) Cho hai m t ph ng song song ( ) : 2 P1 x − + y 2 z − = 1 0, ( ) : 2 P2 x − + y 2 z + = 5 0

và A(−1;1;1) n m trong kho ng gi a 2 m t ph ng ó G i (S) là m t c!u b t k, qua A và ti p xúc

a) Vi t ph ng trình mp(Q) ch a tr c Ox và c t (S) theo m t ng tròn có bán kính b ng 3 b) Tìm to i m M thu c (S) sao cho kho ng cách t M n mp(P) l n nh t

7) Cho i m D(−1; 1; 2) và m t ph ng ( )α i qua 3 i m A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8)

a Vi t ph ng trình mp( )α

b Vi t ph ng trình m t c!u tâm D, bán kính R= 5 Ch ng t% m t c!u này c t mp( )α 8) Cho hai i m A( 1;3;0), (0;1; 2)− B − và ( ) : S x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 2 y − = L 7 0 "p ph ng trình m t

ph ng (P) qua A, B và c t (S) theo 1 giao tuy n là ng tròn có bán kính 77

b L"p ph ng trình m t c!u (S) có tâm I thu c d và I cách (P) m t kho ng b ng 2, bi t (S)

c t (P) theo 1 giao tuy n là ng tròn có bán kính b ng 3

10) Cho (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 z = có tâm I và 0

2 : 0

* L u ý các d ng toán liên quan nh tìm ti p i m, t ng giao

b) Vi t ph ng trình ti p di n c a m t c!u (S), bi t ti p di n song song song v i hai ng

; THI <I H C:

HÌNH H C GI I TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

A- 2010 1) Trong không gian Oxyz, cho ng th ng ∆ x− = y = z+

− và m t ph ng (P):

x− y+ = G i C là giao i m c a ∆ và (P), M là m t i m thu c ∆ Tính kho ng z

cách t M n mp(P), bi t MC =

2) Trong không gian Oxyz, cho i m A ) )− và ng th ng ∆ x+ = y− = z+

Tính kho ng cách t A n ∆ Vi t ph ng trình m t c!u tâm A, c t ∆ t i hai i m B, C

m t c!u ( )S : x 2 + y 2 + z – 2x – 4y – 6z –11 0 2 = Ch ng minh r ng: m t ph ng (P) c t m t c!u

n m t ph ng (P) b ng nhau

B-2009 1) Trong không gian v i h to Oxyz, cho t di n ABCD có các nh A(1;2;1),

B(−2;1;3), C(2;−1;1) và D(0;3;1) Vi t ph ng trình m t ph ng (P) i qua A, B sao cho

kho ng cách t C n (P) b ng kho ng cách t D n (P)

2) Trong không gian v i h to Oxyz, cho m t ph ng ( )P : x – 2y 2z – 5 0 + = và hai i m A(−3;0;1), B(1;−1;3) Trong các ng th ng i qua A và song song v i (P), hãy

vi t ph ng trình ng th ng mà kho ng cách t B n ng th ng ó là nh% nh t

D-2009 1) Trong không gian v i h t a Oxyz, cho các i m A (2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0)

và m t ph ng ( )P : x y z 20 0 + + − = Xác nh t a i m D thu c ng th ng AB sao cho

1) Tìm to hình chi u vuông góc c a i m A trên ng th ng d

2) Vi t ph ng trình mp(α ) ch a d sao cho kho ng cách t A n (α) l n nh t

B-2008 Trong không gian v i h to Oxyz cho ba i m A(0;1;2),B(2;-2;1), C(-2;0;1)

1) Vi t ph ng trình m t ph ng i qua ba i m A,B,C

2) Tìm to c a i m M thu c m t ph ng 2x +2y +z -3 = 0 sao cho MA=MB=MC

D-2008 Trong không gian v i h to Oxyz ,cho b n i m A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)

1) Vi t ph ng trình m t c!u i qua 4 i m A,B,C,D

2) Tìm to tâm ng tròn ngo i ti p tam giác ABC

D* b) A 1-2008 Trong không gian v i h t a Oxyz cho hai ng th ng

Trong không gian v i h t a Oxyz cho ng th ng

1

5 9

2

3 :

ng th ng d:

= + +

= +

−

4

0 1 z y x

y x

1 Tìm t a i m D thu c ng th ng d sao cho th tích c a kh i t di n ABCD

b ng 1

2 Vi t ph ng trình tham s c a ng th ng i qua tr c tâm H c a tam giác ABC và vuông góc v i m t ph ng (ABC)

D* b) D-2008 Trong không gian Oxyz cho m t ph ng (α): 2x – y + 2z +1 = 0 và:

2 2

1 1

1 :

1 Tìm t a giao i m c a d v i (α) Tính sin c a góc gi a d và (α)

2 Vi t ph ng trình m t c!u có tâm thu c d ti p xúc v i hai m t ph ng (α) và (Oxy)

A-2007 Trong không gian v i h to Oxyz, cho hai ng th ng

2) Vi t ph ng trình ng th ng d vuông góc v i m t ph ng (P): 7x + y - 4z = 0

và c t hai ng th ng d1 và d2

B-2007 Trong không gian v i h to Oxyz, cho hai i m A(1;4;2) , B(−1;2;4) và ng th ng

mp( )P : 2x− + + = y z 1 0

1) Vi t ph ng trình m t ph ng ch a AB và vuông góc v i m t ph ng (P)

2) Tìm to i m M thu c (P) sao cho MA +MB nh% nh t

D* b) 2-A-2007 Trong không gian v i h to Oxyz Cho các i m A( 2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(2; 4; 6) và

ng th ng d:

=

−++

=+

−

024236

0236

zyx

zyx1) Ch ng minh các ng th ng AB và OC chéo nhau