BÀI TẬP SỐ PHỨC THAM KHẢO 1. Thực hiện Các phép tính. a. Tính căn bậc hai của số phức sau:[r]
Trang 1§Ò tuyÓn sinh míi
1
0
1 2sin
1 sin 2
x dx x
2
2
0
x
3
2
11 x 1dx
x
4
e
dx x
x x
1
ln ln 3 1
3
2
ln(x x dx
6
/ 2
0
sin 2 sin
1 3cos
dx x
7
/ 2
0
sin 2 cos
1 cos
dx x
8
/ 2 sin 0 (e x cos ) cosx x dx
9
/ 2
0
sin 2
cos 4sin
x
dx
10
1
0
2
) 2 (x e x dx
11
5
ln
3
dx
12
/ 2
0 sin sin 2 sin 3x x x dx
13
/ 2
0
cos 2 (sinx x cos )x dx
14
/ 2 5 0
cos xdx
15
3
2
4 8
7
2
x
16
e
dx x x
1
2
2ln
17
3
0
2
x
18
e
xdx x
x
1
3 ln 1
19
9
1
3 1 x dx
x
3
1
2 2x 1dx x
21
1
0
(x e x dx
22
3
3 5
1
2
dx x
x x
23
/ 3
2 / 4cos 1 cos
tgx
dx
24
2
1
2
2
1 dx
x x
25
2
0
sin
1 cos
x x
dx x
26
1
dx
27
/ 4
2
0
xtg x dx
28 1xx dx
29
5
3
) 2 2
30
2
0
2
2
) 2
e
x x
31
4
2
x
dx
1
0
2
4
2 2
Trang 235
2
xdx
36
0
1
1 x dx x
1
0
dx
38
2
1 2 ) 1 ln(
dx x
x
39
/ 2
0
sin 2
cos 1
x
dx x
40
/ 2
0
sin
1 3cos
x dx x
41
3
0
3
2
1 x x dx
42
1
0
2
) 1
(x xdx
43
/ 2 2004
2004 2004
0
sin
x dx
44
/ 2 3
0
4sin
1 cos
x dx x
1
0
2
x
46
3
3
dx x x
x
47
1
0
2
x
48
/ 2 3 0 sin 5
x
e x dx
49
3
0
3
3 1x .dx
x
50
0
1 2sin
1 sin 2
x dx x
51
0
1
2 2x 4
x
dx
52
e
dx x
x
1 2 ln
53
3
/
7
1
dx x
x
54
/ 2
0
cos3 sin 1
x dx x
55
/ 2
0
sin sin 2cos cos
2
xdx
x
56
2 0
sin sin 2 cos
x xdx
57
e
dx
x
x
1
ln
58
2 / 4
0 cos
x x dx
59
2
0
2
2
3
4
9 4
x
x x
x
60
1
0
3
) 1
(x xdx
61
e
x x
dx
1
2 ln
/ 2 3
0
4sin
1 cos
x dx x
63
/ 4
0 (sin cos ) cos
dx
64
1
2 3 0
1
x
x e x dx
65
2
ln
0
dx
e
x x
66
dx x
x x
1
2
) 1 (
67
/ 4
0
2
x tgxtg xdx
1
0
2 ) 1 ln( x dx x
Trang 369
2
1
2
) 1
x
x
1
0
x x
71
1
0
2
1 x
xdx
72
/ 2
/ 4
sin cos
1 sin 2
dx x
3
0
ln(x dx
x
74
/ 2
3 0
cos 2 (sin cos 3)
x
dx
75
/ 4
0
(x 1) cosx dx
76
/ 4
0
cos 2
1 2sin 2
x dx x
77
2
ln
0
2
2dx
e
e
x
x
78
/ 2 4
0
4sin
1 cos
x dx x
79
/ 2
2 0
cos
7 5sin cos
x dx
80
/ 4 2
0 cos
x dx x
81
3
3
dx x x
x
82
9
1
3 1 x dx x
83
e
dx x x
x
1
3
ln )
1
(
84 x2 2 x3 dx
85
1
0
2
3
1dx
x
x
86
3 ln
x
e
dx e
87
0
1
3
x x
88
2 /
0
5
n
dx x x x
89
/ 4
0 1 cos 2
x
dx x
90
1
0
2
x
91
5
ln
ln
2
2 e 1dx
e
x
x
92
1
0
dx e
x x
93
e
dx x x
x
1
2
ln
1
94
3
1 3
x x dx
95
8
ln
3
ln
2
.
1e dx
96
2
0 sin
x x dx
3
1
2
1 ln
ln
e
dx x
x
x
98
/ 2
2 0
(2x 1) cos x dx
6
2 2x 1 4x 1
dx
100
/ 2
0 (x 1)sin 2x dx
10
dx
102
e
dx x x
x
1 1 2ln
ln 2 3
Trang 4103
3 2
1
.ln
e
(§H D 07) 104
4 6
tg x dx cos x
( §H A08 )
4
0
sin
4 sin 2 2 1 sin cos
(§H B08) 106
2 3 1
ln x dx x
( §H D08 )
107 I(cos 3 x 1 ) cos 2 x dx (Khối A 2009)
BÀI TẬP SỐ PHỨC
PHẦN I.
VẤN ĐỀ 1 PHẦN THỰC, ẢO , BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
Trang 5
1 Xác định phần thực , phần ảo của các số phức sau :
a) z = 2 + 5i b) z = 2 i c) z = 3 d) z = 0
2 Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức
b) z = 2i c) z = 3 d) z = 2 4i
ĐS : a) A(3;2) b) B(0; 2) c) M(3;0) d) N( 2;4)
3 Cho các số phức z 3 2i,z 2 i,z 1 3i
a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức
b) Viết số phức liên hợp của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức
c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức
Giải a) K(3;2)
3
, M(2;1) , N(1; 3) b) z 3 2i có số phức liên hợp là z = 3 2i , biểu diễn bởi điểm K(3; 2)
z 2 i có số phức liên hợp là z = 2 i , biểu diễn bởi điểm M(2; 1)
z 1 3i c
3 1
2
ó số phức liên hợp là z = 1+3i , biểu diễn bởi điểm N(1;3) c) z 3 2i có số đối là 3 2i , biểu diễn bởi điểm K'( 3; 2)
z 2 i có số đối là 2 i , biểu diễn bởi điểm
3
M'( 3; 1)
z 1 3i có số đối là 1 3i , biểu diễn bởi điểm N'( 1; 3)
4 Cho z = (2a 4) + (3b + 6)i với a,b Tìm điều kiện của a và b để :
a) z là số thực b) z là số ảo
a) b = 2 b) a = 2
5 Tìm các số thực a,b sao cho z = z với từng trường hợp sau :
a) z = ( 3a 6) + i , z = 12 + (2b 9)i
a = 6, b = 2 b) z = (2a 5) (3b 1)i , z = (2b 1) + (3a 5)i a = 2, b = 0
VẤN ĐỀ 2 CÁC PHÉP TỐN SỐ PHỨC
1 Tính z + z , z z , z z với :
a) z = 3+2i , z = 4 + 3i HD : a) z + z = 7+5i , z z = 1 i , z z = 6 + 17i
b) z = 2-3i , z = 5 + 4i b) z + z = 7+ i , z z = 3 7i,
2 2 2
2 2
z z = 22 7i
2 Tìm nghịch đảo của các số phức sau :
a) z = 3 + 4i b) z = 1 2i c) z = 2 + 3i
HD : z = a + bi z.z = |z| a b a) i b)
3 Thực hiện các phép tính sau :
A = (1 i) B = (2 + 4i) D = (1+ i) 13i E = F = G =
H I = 1 / ( i) J = K =
Trang 67 1
50 50
2
4 Xác định phần thực và phần ảo của số phức sau :
a) i + (2 4i) (3 5i) b) ( 2 5i) c) (2 + 3i)(2 3i) d) i(2 i)(3+i)
Đs : a) 1 2i b) 23+10 2i c) 20 d) 1 7i
1 3
5 Cho z = i
2 2 1
Hãy tính : , z,z ,(z) ,1 z z
z
HD : Vì |z| = 1 Ta có : z i z ,(z) 1 ,1 z z 0
6 Giải các phương trình sau trên tập số phức : với ẩn z
a) iz + 2 i = 0
b) (2 + 3i)z = z 1 c) (2 i)z 4 = 0
d) (iz 1)(z + 3i)(z 2+3i) = 0 e) z 4 0
VẤN ĐỀ 3 CĂN BẶC HAI VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC
1 Tìm các căn bậc hai của các số phức sau :
a) z = 1 b) z = 9 c) z = 5 + 12i d) z = i
e) z = 1+ 4 3i f) z = 17+ 20 2i g) z = 8 + 6i h) z = 46 14 3i
2
Gọi w = a+bi là căn bậc hai của số phức z = 1 , tức là w 1 a 1,b 0
2
co ù2 là 1 b) 3i c) 2 + 3i, 2 3i d) (1 i) e) 2 + 3i, 2 3i
2 f) 5 + 2 2i , 5 2 2i g) 1 +3i, 1 3i h) 7 3i , 7 3i
2
2 Giải các phương trình bậc hai sau trên tập số phức :
Trang 7
PHẦN II.
BÀI TẬP SỐ PHỨC THAM KHẢO
1 Thực hiện Các phép tính
a 1 i 1 i
1 i 1 i
Đáp số : a 0 b 7 3 6 14 3 3i
2 Giải các phương trình :
a (3 + 4i)z = (1 + 2i)(4 + i) b 2iz + 3 = 5z + 4i c 3z(2 – i) + 1 = 2iz(1 + i) + 3i
Đáp số: a z 42 19i
25 25
29 29
89 89
3 Tính : 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20
Hướng dẫn: Tính tổng cấp số nhân có công bội là 1 + i Đáp số: -210 + (210 + 1)i
4 Tìm x và y để:
a (x + 2y)2 = yi b (x – 2i)2 = 3x + yi
Đáp số: a x 2 x 2;
5 Tính:
a (1 + i)2 b (1 + i)3 c (1 + i)4 d (1 + i)5
6 Tính căn bậc hai của số phức sau:
a 1 2i 2 b 16 – 30i c 8 + 6i d 1 – i
Đáp số:a (1 i 2) b (5 3i) c (3 i) d 1 2 i 1 2
7 Giải các phương trình:
a 2z2 + 3z + 5 = 0 b) z22z 5 0 c) z2 4z20 0 d) 3z2 z 5 0
e z4 – 3z2 + 4 = 0 f)z4 z212 0 g) z2 + (3 – 2i )z + (5 – 5i) = 0 h z2 – (2+ i)z+ (-1 + 7i) = 0
ĐS:a) 3 31i
g) -1 + 3i, -1 – i h 3 – i, -1 + 2i
8 Gọi , là hai nghiệm của phương trình: z2 + (2 – i)z + 3 + 5i = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
a 2 2
Đáp số: a -3 - 14i b -55 + 24i c 79 27i
34 34
9 Giải các phương trình :
a z3 – 1 = 0 b z3 + 1 = 0 c z4 – 1 = 0 d z4 + 1 = 0
ĐS: a)1; 1 3i; 1 3i
b) -1;1 3 1i; 3i
2 2 2 2 c) 1; i; -1; -I d)
Trang 8PHẦN III.
MỘT SỐ ĐỀ THI NĂM TRƯỚC Câu 1 : ( Đề TN 2008, phân ban lần I )
Tính giá trị biểu thức : P (1 3 ) i 2 (1 3 ) i 2
Câu 2 : ( Đề TN 2006, phân ban )
Giải phương trình sau trên tập số phức : 2 x2 5 x 4 0
Câu 3 : ( Đề TN 2007, phân ban L2)
Giải phương trình sau trên tập số phức : x2 6 x 25 0
Câu 4 ( Đề TN 2008, phân ban L2)
Giải phương trình sau trên tập số phức : x2 2 x 2 0
PHẦN IV.
MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ
Câu 1 Tìm môđun của số phức z 1 4 i (1 ) i 3.
Câu 2 Cho số phức 1
1
i z
i Tính giá trị của z2010 Câu 3 Cho số phức z 1 i 3 Tính z2( )z 2
Câu 4 Tính giá trị của biểu thức Q = ( 2 + 5i )2 + ( 2 - 5i )2.
Câu 5 Cho số phức: z 1 2 i 2 i Tính giá trị biểu thức 2 A z z
Câu 6 Thực hiện các phép tính sau:
a i(3 i)(3i) b 2 3 i (5 i )(6 i )
Câu 6 Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:(2+i)3- (3-i)3.
Câu 7 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z2 2 z 17 0
Câu 8 Giải phương trình : 2 1 3
z
Câu 9 Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: x2 6 x 10 0
Câu 10 Giải phương trình x3 8 0 trên tập số phức
Câu 11 Giải phương trình x2 3 x 3 0 trên tập số phức
Trang 9A Kiến thức cần nhớ:
o Số phức có dạng z = a +bi với a : phần thực ; b: phần ảo (a ,b R và i2 = -1)
o Số i: là đơn vị ảo ; z = bi gọi là số thuần ảo( số ảo )
' ' '
'
a a
a bi a b i
b b
o Số phức z = a +bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) trên mp tọa độ
o Độ dài của véctơ OM là mô đun của số phức z ,
tức là 2 2
o Số phức liên hợp của z = a + bi là số z a bi
o Chú ý : z z z z
B Bài tập :
Câu 1 : Tìm phần thực và phần ảo của số phức z , biết :
a) z = 1 + i b) z = 2 i c) z = 2 2 d) z = -7i d) z = i + 1 e) z = 2 1 2 i
Câu 2 : Tìm các số thực x, y thõa mãn
a) (3x-2 )+( 2y+1)i = (x+1)-(y-5)i b) 2x y 2y x i x 2y 3 x 2x 1i
Câu 3 : Tính z , biết a z) 2 3 )i b z 2 3 ) i c z 5 )d z i 3
Câu 4 : Tìm số phức z , biết a) |z| = 2 và z là số thuần ảo b) |z| = 5 và phần thực = 2 lần phần ảo
Câu 5 : Tìm z biết z 1 i 2 )b z 2 i 3 )c z 5 )d z 7i
Câu 6 : Cho các số phức 2 + 3i ; 1+2i ; 2-i.
a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó
Câu 7 : Trên măt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn đk
a) Phần thực = -2 b) Phần ảo = 3 c) Phần thực thuộc khoảng ( -2;2)
d) Phần ảo thuộc đoạn [1 ; 3] e) Phần thực và phần ảo thuộc đoạn [-2;2]
Câu 8 : Hãy biểu diễn các số phức z trên mp tọa độ , biết | z | 1 và phần ảo của z thuộc [-1/2;1/2]
VẤN ĐỀ 2 PHÉP CỘNG ,TRỪ VÀ PHÉP NHÂN ,CHIA SỐ PHỨC.
A Kiến thức cần nhớ:
* ( a + bi ) + ( c + di) = (a + c ) + (b + d)i * ( a + bi )( c + di) = (a c - bd ) + (ad +
bc)i
* ( a + bi ) - ( c + di) = (a - c ) + (b - d)i *
a bi c di
a bi
c di c di c di
Chú ý : z = a + bi thì z z 2a zzz2 a2b2
B Bài tập :
Câu 1 : Thực hiện các phép tính : a) 3 5 i 2 4 i b) 4 5 i 5 7 i c) 2 3i 1 7i
d) 2 3 i 5 4 i e) 3 -2i + 6i f) 5 – ( 3+2i) g) 5i – 7i
Câu 2: Thực hiện các phép tính : a) 3 5 i 2 4 i b) 1 i 3 7 i c) 5 3 5i
d) 3 5 4 i i e) 3 4i 2 f) 3 4i 3 g) i2008i2009i2010
Câu 3: Tính a) 2i b) 1i 2 c) 1 d) 5 2i e) 2i(2 3 ) i
g) 4 3 i5 4 i
a
b
x
y
M
O
Trang 10Câu 4: Cho 1 3
z i, Tính 1/z; z; z2 ; z ; 1+ z + z3 2
1
i z
i
b) z 4 i 48 2 i
Câu 6: Giải các pt : a) iz + 2- i = 0 b) ( 2 + 3i)z = z – 1; c) (2-i)z- 4 = 0; d)
3 2 i z 4 5 i 7 3i
e) 1 3 i z 2 5 i 2 3 i z f) 2 3 5 2
4 3
z
i
g) z 3 i2 6z 3 i13 0
h)
2
4 0
i) z212z32 0
VẤN ĐỀ 3: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Căn bậc hai của số phức :
Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0
Mỗi số phức khác 0 luôn có hai căn bậc hai đối nhau ( khác 0)
Đặc biệt ,số thực a > 0 có hai căn bậc 2 là ± (vì 2
số thực a< 0 có hai căn bậc 2 là ± i Cách giải phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 ; a, b, c R và a 0 ? trên tập số phức
Tính = b2 – 4ac , xét các trường hợp sau:
+ Δ = 0 : pt có nghiệm kép x1 = x2 = b/ 2a
+ Δ > 0 : pt có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =
+ Δ< 0: pt không có nghiệm thực.Nhưng có 2 nghiệm số phức phân biệt x1,2 =
Câu 1: Nghiệm của pt x4 + 4 = 0 trong tập hợp số phức là : A/ ±(1-i) B/ ±(1+i) C/ ±2i D/ A,B đều đúng
Câu 2:Tìm căn bậc 2 của các số :-2,-3,-5,-6,-8,-9,-10,-12
Câu 3 Giải các pt sau trong tập hợp số phức
a) x² + 4 = 0 b) -x² + 2x – 5 = 0 c) x4 – 3x2 – 4 = 0 d) x4 – 9 = 0
Câu 4 Giải pt sau trên tập số phức:
a/ z2 – z + 5 = 0 b / 3z2-2z = 0 c / 4z2-z+3=0 d / z3+2z-3= 0 0 e/ z4 – 1 = 0 f/ z4 – z2 – 6 =
0
Câu 5 Tìm 2 số phức biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4
Các đề thi tốt nghiệp :
Câu 6 Giải phương trình (S) :8z2 4z 1 0 trên tập số phức (TN năm 2009_Chuẩn)
Câu 7 Giải phương trình 2z2 iz 1 0 trên tập số phức (TN năm 2009_NC )
Câu 8 Cho z 1 2i 2i2 Tính A= z z.
Câu 9 Tìm nghiệm phức của pt : z2z 2 4i
Câu 10 Giải pt : a) x2 2 i 3x2 3 0i b) x2 + 4x +5 = 0 c) x3 + 8 = 0
Câu 11 Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên mp tọa độ thỏa mãn đk : z z 3 4
Câu 12 Tìm nghiệm của pt z z 2, trong đó z là số phức liên hợp của z
Câu 13: Tìm số phức z thỏa |z|= 5 và phần thực bằng hai lần phần ảo của nó
Trang 11Câu 14: Cho 1 3
z i, tính z 2 +z+3 Câu 15: Tính giá trị của P 1 i 2 2 1 i 22