BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Phương trình lượng giác chứa tham số

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Phương trình lượng giác chứa tham số Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Hiên Mã sáng kiến kinh nghiệm: 10.52.01 Vĩnh Phúc, năm

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: Phương trình lượng giác chứa tham số Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Hiên

Mã sáng kiến kinh nghiệm: 10.52.01

Vĩnh Phúc, năm 2020

ĐƠN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ

Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến sở GD&ĐT Vĩnh PhúcTên tôi là: Nguyễn Thị Hiên

Chức vụ (nếu có): Tổ phó chuyên môn

Đơn vị: Trường THPT Tam Đảo

Điện thoại: 0987357084

Tôi làm đơn này trân trọng đề nghị Hội đồng Sáng kiến sở GD&ĐT Vĩnh Phúcxem xét và công nhận sáng kiến cấp cơ sở cho tôi đối với sáng kiến đã được Hộiđồng Sáng kiến cơ sở công nhận sau đây:

Tên sáng kiến: Phương trình lượng giác chứa tham số

(Có Báo cáo Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kèm theo)

Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật, khôngxâm phạm quyền sở hữu trí tuệ của người khác và hoàn toàn chịu trách nhiệm vềthông tin đã nêu trong đơn

Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị Tam Đảo, ngày 10 tháng 10 năm 2019

Người nộp đơn

Nguyễn Thị Hiên

Mục Lục

3 Tác giả sáng kiến 1

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 2

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 2

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu 2

7 Mô tả bản chất của sáng kiến 2

7.1 Về nội dung của sáng kiến……… 2

Chương I: Các kiến thức cơ bản 3

Chương II: Các dạng bài tập……… 10

Dạng 1: Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm……… 10

Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình lượng giác dựa vào đường tròn lượng giác………

16 Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm dựa vào tương giao đồ thị ………

22 Dạng 4: Biện luận nghiệm của phương trình bằng phương pháp: Sử dụng tam thức bậc hai………

31 7.2 Khả áp dụng của sáng kiến……… 39

8 Những thông tin cần được bảo mật 39

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 39

10 Đánh giá lợi ích thu được

39 11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng……… 41

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu:

Trong chương trình giải tích lớp 11 có một phần rất quan trọng của đại số trunghọc phổ thông đó là phương trình lượng giác Các dạng toán về phương trình lượnggiác có tham số rất phong phú và đa dạng, thường xuất hiện trong các đề thi họcsinh giỏi, thi THPTQG của bộ giáo dục hiện nay Chính vì vậy, để làm tốt các bàitập dạng phương trình lượng giác có tham số thì đòi hỏi học sinh phải nhận dạngcách làm từng loại toán thật tốt Dạng toán này học sinh thường gặp khó khăn, nhất

là với học sinh lớp 11 (khi chưa học đến công cụ đạo hàm) vì vậy nhiều học sinh rấtngại phần này, thường hay bỏ, nghĩ nó là một phần học mà mình không thể học nổi,một phần vì giáo viên khi dạy cũng không chú trọng khai thác hướng dẫn cho họcsinh Bên cạnh đó các bài tập liên quan đến đường tròn lượng giác cũng tạo cho họcsinh nhiều lúng túng khi làm bài tập Do đó hiệu quả giải toán không cao Vớimong muốn tạo cho giáo viên và các em học sinh, đặc biệt là học sinh lớp 11 cómột tài liệu tham khảo, để có cái nhìn tổng quan, một hệ thống các phương phápsuy luận giải toán bài toán phương trình lượng giác có tham số Với ý định đó,trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một số các định hướng tìm lời

giải bài toán phương trình lượng giác chứa tham số.

2 Tên sáng kiến: Phương trình lượng giác chứa tham số

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Nguyễn Thị Hiên

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo

- Số điện thoại: 0987357084

E_mail: nguyenthihien.gvtamdao@vinhphuc.edu.vn

Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư cho quá trình hoàn thiện sáng kiến

và quá trình đưa sáng kiến vào vận dụng thực tiễn

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Sáng kiến áp dụng trong lĩnh vực Toán THPT giải tích lớp 11,12 trong cả nước,dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, có nguyện vọng xét tuyển Đại học, thihọc sinh giỏi lớp 11,12 Qua sáng kiến tôi mong muốn được chia sẻ, học tập, traođổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạycủa giáo viên và hiệu quả học tập của học sinh nói chung, góp phần nâng cao chấtlượng giáo dục của nhà trường, của tỉnh nhà

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Áp dụng thử: Tháng 9 năm 2017

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Về nội dung của sáng kiến:

CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Đồ thị hàm số ycosx bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số ysinx

� Là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

� Hàm đồng biến trên mỗi khoảng ;

� Là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

� Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng k ; k

� Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k , k�� làm một đường tiệm cận.

� Đồ thị

II Cung lượng giác:

1 Đường tròn định hướng: là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều

chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm Ta quy ước chọnchiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương

2 Đường tròn lượng giác: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng

tâm O bán kính R = 1 Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại 4 điểm A(1;0); 1;0); B(0; 1); B’(0; -1) Ta lấy điểm A (1;0) làm điểm gốc của đường tròn đó

A’(-Đường tròn xác định như trên gọi là đường tròn lượng giác

Với mỗi số thực  , cung lượng giác có số đo được biểu diễn bởi một điểm

M trên đường tròn lượng giác sao cho Trên đường tròn luợng giác cho cung AM�

Các giá trị sin, cos , tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung 

Trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.

III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Giải phương trình lượng giác: Tìm tất cả các giá trị của ẩn số thỏa mãn phương

trình đã cho

Các phương trình lượng giác cơ bản:

sinx a ;cosx a ;tanx a ;cotx a  ; trong đó a là hằng số.

của phương trình sinx = a là: x x  k.2 ,k.2 ,k k

a) cosx = cos có nghiệm là: x  k.2 , k�� và x   k.2 , k��

b) cos x = cos0 có nghiệm là: x = 0 +k.360 0 , k�� và x =- 0 +k.360 0 , k��

c) nếu  thỏa mãn ���0co� �s  a thì ta viết  = arccosa (đọc là ac-côsin-a, cung có cosin bằng a )

khi đó nghiệm của phương trình cosx = a viết là: x x arccosarccossa k a k.2 ,.2 ,k k

a) Phương trình tanx = tan , với  là số cho trước có nghiệm là: x = +k , k��

b) Phương trình tanx = tan0 có nghiệm là: x =  0 +k.180 0, k��

4 Phương trình cot x a

Điều kiện: x k� , k Z�

Gọi x1 là hoành độ giao điểm thỏa mãn: 0 x  1 .

Kí hiệu: x 1 = arccot a (đọc là ac-côtang-a, nghĩa là cung có côtang bằng a) Khi đó nghiệm của phương trình cotx = a là: x = arccot a + k, k��

Chú ý:

a) Phương trình cotx = cot , với  là số cho trước có nghiệm là: x = +k , k��

b) Phương trình cotx = cot 0 có nghiệm là: x =  0 + k.180 0 , k��

CHƯƠNG II: NỘI DUNG CHÍNH Dạng 1: Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm:

1) Phương trình asinx b cosx c trong đó a, b, c�� và  a b2   2 0 được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

Kiểm tra: - Nếu a b2  2c2 phương trình vô nghiệm

- Nếu a b c phương trình có nghiệm 2 �2 2

2) Phương trình đẳng cấp bậc hai: a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d (1)

Cách 1:

 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?

Lưu ý: cosx = 0 �    � sin2 1� sin �1.

Ví dụ 3: Cho m nhận một giá trị tùy ý trong tập E    3, 2, 1,0,1, 2  Có bao nhiêu giá

trị của m để phương trình cosx m2 sinx 4cosx   1 m có nghiệm ?

Giải: Chọn C

Phương trình trở thành: 2 sin cosm x x4cos2x  1 m

A  1 �m 2 B 0

4

m m

Do phương trình tan x t có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm

khi và chỉ khi  * có nghiệm 2 4 0 0

Cách 1 (Chuyển PT về dạng asinx b cosx c )

Áp dụng công thức hạ bậc cho cos x , PT trở thành2

m2   2 m2  2 cos 2 x 4 sin 2m x  2 04 sin 2m xm2  2 cos 2 x m 2  4

ĐK PT có nghiệm  2  2 2  2 2

4m  m  2 �m  4 m2 � 1m � 1

Cách 2 (Chuyển PT về dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác)

Ta có cosx 0 không là nghiệm PT Chia hai vế PT cho cos x2 ta được

Giải thích: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các họ nghiệm của phương

trình sinu sinv sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm đối xứng với nhau qua Oy , mà ở đây

đề bài chỉ cho trên 1 góc phần tư thứ IV nên chỉ có 1 nghiệm duy nhất.

Bài tập tương tự:

Câu 1 : Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 4 4

sin cos sin 2 3

nghiệm? A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình

2cos² x + m sin 2x = m + 3 có nghiệm:

Câu 3: Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình :

sin 2 x - 2.(m -1).sinx.cosx - (m -1).cos 2 x = m có nghiệm

A. 0 � �m 1 B m 1 C. 0  m 1 D m� 0

Câu 4:Cho phương trình:  2  2

2 cos 2 sin 2 1 0

m  x m x  Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số là:

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương

trình m 1 sin x m cosx  1 m có nghiệm

Câu 8: Để phương trình: 4sin cos 2 3 sin 2 cos2

1

m

m

C. 1 m 1 D m�� 4

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương

trình 11sin2xm2 sin 2 x3cos2x có nghiệm?2

Câu 12: Cho phương trình (m+ 1 cos) x+ -(m 1 sin) x= 2m+ 3. Có bao nhiêu giá trị

của tham số m để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn 1 2 2

3

Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình lượng giác

dựa vào đường tròn lượng giác.

Phương pháp: +  1 sinx 1; 1 cos � �  � x� 1.

+ Muốn tìm số nghiệm của phương trình sinx a ;cosx a dựa trên đường tròn

lượng giác; x K�

Vẽ đường tròn lượng giác đưa cung của tập K lên đường tròn

Ứng với phương trình:

+ sin x a , kẻ đường thẳng d vuông góc với trục sin tại điểm có tung độ bằng a

+ cos x a , kẻ đường thẳng d vuông góc với trục cos tại điểm có hoành độ bằng a Đường thẳng d cắt cung tròn lượng giác tại bao nhiêu điểm thì đó chính là số

nghiệm của phương trình lượng giác sinx a ;cosx a

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình cosx m   1 0có hai nghiệm

Phương trình trở thành: cosx  1 m cos

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

Ví dụ 3: Cho phương trình : cos2x(2m1)cosx m  1 0 (*) Tìm tất cả các

giá trị của tham số m để phương trình (*) có đúng hai nghiệm trong khoảng

Phương trình trở thành:

22cos x(2m1)cosx m 0

(2cosx 1)(cosx m) 0  

�

1cos

2cos

Yêu cầu bài toán tương đương với:

TH1: Phương trình  * có một nghiệm t1   1 (có một nghiệm x) và một nghiệm

TH2: Phương trình  * có một nghiệm t1 1 (có hai nghiệm x) và một nghiệm

t

Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

t  thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng

� � Do đó yêu cầu bài toán   1 t2 � � 0    1 m 2 0 � � 1 m� 2.

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình

3 2 2

2

cos 2 1;(1) cos 2 cos 2 cos 2 0 (cos 2 x 1)(2cos 2 x a) 0

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

sin 2x mc os2x2 sinm x2 osc x có nghiệm thuộc đoạn 0;

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2sin2x - (2m + 1)sinx + m = 0 có nghiệm x (�;0)

A. 1 �m 0 B 1  m 2 C    1 m 0 D 0  �m 1

Câu 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình:

cos2x - (2m - 1)cosx - m + 1 = 0 có đúng 2 nghiệm � �

Câu 5: Phương trình cos2x2m1 sin x m   có nghiệm trên 1 0 ;

A m�� B m��. C m� 1;1. D m� 1;1

Câu 6: Phương trình (2sinx 1)(sinx m) 0   (m là tham số) có nghiệm trên(0; ) khi:

Câu 7: Cho phương trình: cosx1 cos2  x m cosx msin2x Phương trình có

đúng hai nghiệm thuộc đoạn 0;2

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn hơn  10 của m để phương trình

2cosx1 2cos2  x2cosx m   3 4sin2x có hai nghiệm thuộc ;

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10���- ��� để số vị

trí biểu diễn các nghiệm của phương trình

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có

nghiệm dựa vào tương giao đồ thịPhương pháp 1: Bảng biến thiên

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x, m   0(phương trình ẩn x

tham số m)

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng m f(x)

+) Lập bảng biến thiên cho hàm số m f(x).

+) Dựa vào giả thiết và bảng biến thiên từ đó suy ra m.

Chiều biến thiên của các hàm số y ax 2 bx c;(a 0)�

1 Xác định toạ độ đỉnh I (

a a

b

4

; 2

Phương pháp 2: Đồ thị hàm số

+) Cô lập m hoặc đưa về hàm hằng y g (m) là đường thẳng vuông góc với trục

Oy

+) Từ đồ thị hàm số tìm cực đại, cực tiểu của hàm số (nếu có)

+) Dựa vào số giao điểm của hai đồ thị hàm số ta tìm được giá trị của m theo yêu

cầu của bài toán

*) Chú ý: Sử dụng PP bảng biến thiên và đồ thị hàm số khi m độc lập với x.

Ví dụ 2: Cho phương trình: sin cosx xsinxcosx m 0, trong đó m là tham số thực Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:

  � �

Ví dụ 3: Cho phương trình: 4 sin 4xcos4x 8 sin6xcos6x4sin 42 x m trong

đó m là tham số Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

4 � �m

Ví dụ 4: Cho phương trình: sin4xcos4xcos 42 x m ( m là tham số thực).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân

biệt thuộc đoạn ;

Xét g(t) = 4t2t với t���1;1 ��

ta có bảng biến thiên :

t

 1

8

 1 g(t) 3 5

1

16

 Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra  1 4 3 3

16 m

   �  4764  �m 32

Vậy giá trị m cần tìm là: 47 3

64  �m 2.

Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2sinx m cosx 1 m có nghiệm ;

( )

2 2

3

Vậy phương trình ( )f t =m có nghiệm ۣۣ� 2 2 m 3

Ví dụ 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2018 để phương trình

2 2

sin

Vậy có 2011 giá trị của m nhỏ hơn 2018

Câu 6 Cho phương trình sin cosx x6(sinxcosx m )=0

Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm

A 0 B.1 C 2 D 4

Câu 7 Cho phương trình cos3xsin3x m (1)Tìm tất cả các giá trị của tham số

m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ;

Câu 8 Cho phương trình 4(cosxsin ) sin 2x  x m Tìm số giá trị nguyên của

m để phương trình vô nghiệm

A 0 B.3 C 4 D 5

Câu 9. Cho phương trình sin6x+cos6x+3sin cosx x- m4+ = Có bao nhiêu giá2 0

trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm?

+ + + = Có bao nhiêu giá trị

nguyên m nhỏ hơn 2018 để phương trình có nghiệm?

Dạng 4: Biện luận nghiệm của phương trình bằng phương

pháp: Sử dụng tam thức bậc haiPhương pháp:

1 Dấu của tam thức bậc hai

*) Định lý: Cho tam thức bậc hai f (x) = ax 2 + bx + c

iii) Nếu > 0: Tam thức có hai nghiệm x 1 ,x 2

2 Điều kiện để tam thức bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho tam thức bậc hai f (x) = ax 2 + bx + c

a Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x x1 , 2 : x1   x2

c Điều kiện để tam thức có đúng một nghiệm nhỏ hơn 

h Điều kiện để hai nghiệm của tam thức thỏa mãn

 

 

0 0

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

tanx m cotx có nghiệm.8

Giải : Chọn D

Phương trình tan cot 8 tan 8 tan 2 8 tan 0

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình 1 có nghiệm

Đặt sin 2x t t  �1;1 .Khi đó phương trình trở thành:3t2  8mt  4 0 * 

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình * có nghiệmt� 1;1

TH1:  * có 1 nghiệm

1 8 1;1 1 1 0 8 1 8 1 0

1 8