PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH 7điểmCâu I 2 điểm.. Mỗi thí sinh chỉ chọn câu Va hoặc Vb Câu Va3 điểm.. Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục hoành
Trang 1PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH (7điểm)
Câu I (2 điểm).
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 4x2 + 3
2.Tìm a để phương trình : 4 4 2 log3 3 0
Câu II (2 điểm)
1.Giải phương trình: 2 3 cos 4 4 cos 1
4 cos
2.Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : x2 3x 2 x2 2mx 2m
Câu III (2 điểm)
1.Tính I =
8
15 1
dx
2.Cho đường cao khối chóp đều S.ABC bằng h không đổi, góc ở đáy của mặt bên bằng với
2
; 4
Tính thể tích của khối chóp đó theo h và .Với giá trị nào của thì thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất
Câu IV (1 điểm) Cho a 0 ;b 0 và ab 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2
2 2
M
b
b a
PHẦN TỰ CHỌN(3 điểm) Mỗi thí sinh chỉ chọn câu Va hoặc Vb
Câu Va(3 điểm).
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C x: 2y22x0 Viết phương trình tiếp tuyến của
C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục hoành bằng 60o
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau :
1
1
2
và 2:1 31 11
x d
Lập phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2
3.Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 2, tìm số phức z có modun nhỏ nhất.
Câu Vb (3 điểm)
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0, và điểm A(1; 3)
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C), tại B, C sao cho BA = BC
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
:
1
d
3
6 1
2 2
x
và 2: 2
1
x t
Lập phương trình đường thẳng d 1 là hình chiếu song song của d1 theo phương d2lên mặt phẳng
(Oyz)
3 Giải hệ phương trình :
4
x y
Hết
Trường THPT LêLợi Đề thi thử Đại Học lần 1 năm 2010.
Môn: TOÁN KHỐI A-B (Thời gian làm bài 180 phút)
Trang 2ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM THI THỬ ĐH -TRƯỜNG THPT LÊ LỢI LẦN 1 (Đáp án gồm có 04 trang)
+ TXĐ: D
Đạo hàm y’ = 4x3 - 8x
y’ = 0 x0,x 2 Giới hạn : limx
Hàm số đồng biến trên 2;0 ; 2;, nghịch biến trên ; 2 ; 0; 2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 3 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = - 1
+ Bảng biến thiên
+ Đồ thị
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2 Phương trình tương đương với x4 – 4x2 + 3 = log3a 0 0,25
Theo đồ thị câu 1 bài toán yêu cầu tương đương 1 log 3a < 3 0,25
log3a 1 1 log3a 1
3 3
1
a
0,25
Câu
II
1 Giải phương trình: 2 3 cos 4 4 cos 1
4 cos
Phương trình tương đương với 1 cos 4 3 cos 4 4cos2 1
sin 4 3 cos 4 2 2cos 1
sin 4 cos 4 cos 2
cos 4 cos 2
6
12
36 3
k k x
0,25
0,25
0,25
0,25
2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : x2 3x 2 x2 2mx 2m
(*) 1 1điểm
(*)
2
3 2 0
0,25
x
x x f
x x
x m
x
2 1
2 3 ) (
2 1
2 3 ) 1 ( 2
2
+ f(x) liên tục trên 1; 2 và có
5 ( ) 0, 1; 2
1
x
f (x) đồng biến trên 1 ; 2 0,25
Trang 3Bài toán yêu cầu (1) 2 (2) 1 2
0,25
Câu
III 1 Tính tích phân I =
8
15 1
dx
Đặt t = 1 2 1 22
1
dx tdt
Đổi cận : 15 4
0.5
3 2 4
2 (1 )
tdt I
t t
4 2 3
2 (1 )
tdt
t t
4 2 3
2 1
dt
t
4 3
1 1
1 1 dt
t t
4
3
t t
0,25
0,25
2 Xác định đúng góc SBA SBC và SA=SB=SC
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ S, ta có SH=h,
và H là tâm dáy
Gọi K là trung điểm BC ta có SK BC
Đặt cạnh đáy BC = 2x, khi đó BK = x
Ta có SK x tan (trong tam giác SBK)
Trong SHK:
2
3
x
SH HK SK h x
1 tan 3
3
2
2 2
h
x
4
3 ) 2 ( x 2
S ABC
1 tan 3
3 3 2 2
h
3
1 S
3
1
SH
1 tan 3
3 3 2 2
2
3 3tan 1
h
(đ.v.t.t)
0,25
0,25
0,25
2
; 4
tan 1 ; .Suy ra
2
3tan 1 3.1 1 2
V
Vậy,
3 3
h
Câu
IV
Cho a 0 ;b 0 và ab 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
b a
ab b
a b
a
M ( 2 2) 1 212 2 1 212 2 2
(dấu "=" xẩy ra khi a=b)
Theo Cô-si
4
1 0
2
1 ab ab ab Đặt t=ab ta có 0;1
4
t D
Do đó M f t( ) 2t 2,
t
t D
( ) 2 2( 1) 0,
4
1
; 0
min ( )
4 2
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 4Vậy min 17
2
M đạt được khi 1
2
a b
( Bài này còn nhiều cách giải khác)
Câu
Va 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C x: 2y22x0 Viết phương trình tiếp tuyến
với C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục hoành bằng 60o
1 1điểm
Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc 60o hệ số góc của tiếp tuyến bằng tan60o hoặc
tan120o
Do đó tiếp tuyến có dạng y 3x b hoặc y 3x b (d)
0,25 0.25
(d) tiếp xúc với đường tròn ( , ) 1 3.( 1) 1 2 3
d I d
b
0.25
Vậy ta có 4 tiếp tuyến :
, 0 3 2
3x y 3x y 2 3 0, 3x y 2 3 0, 3x y 2 3 0, 0.25
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau :
1
1 : 2
2
và
1
1 3
1 1
:
2
x d
Lập phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2
1 điểm
Đường thẳng d1 đi qua A(1; 0; -2) và có vectơ chỉ phương là u 1 ( 1;2;1)
, đường thẳng d2 đi qua B(0; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là u 2 (1;3; 1)
Gọi E trung điểm AB , và (P) là mặt phẳng qua )
2
1
; 2
1
; 2
1
E song song 2 đường thẳng d1,d2 thì
(P) là mặt phẳng phải tìm
Ta có u u1 , 2
= (-5;0;-5) nên n (1;0;1) là một véctơ pháp tuyến của (P)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là : 1 1 0 1 1 0 0
0,25
0,25
0,25
3.Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 2, tìm số phức z có modun nhỏ nhất. 1 1điểm
Gọi z = x + yi, M(x ; y ) là điểm biểu diễn số phức z.
2 2
1
0 0,25
Đường tròn (C) : x 12y 22 4 có tâm (1;2)
Đường thẳng OI có phương trình y=2x
Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm biểu
diễn số phức đó thuộc đường tròn (C) và gần gốc tọa độ O nhất, điểm đó chỉ là một trong hai giao
điểm của đường thẳng OI với (C), khi đó tọa độ của nó thỏa mãn hệ
0,25
2 2
2
y x
5
2
1
x hoặc x 1 25
Chọn x 1 25
5
4
2
y nên số phức 1 2 2 4
z i
0,25
0.25
Câu
Vb 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1; 3)
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C), tại B , C sao cho BA = BC
1 1điểm
Đường tròn có tâm I(3;-1) ; bán kính R = 2.và IA 2 5 2 R A ngoài đường tròn
Gọi d là đường thẳng qua A cắt (C) tại B,C sao cho AB=BC ta có :
16 4 20 2
AC
Với E là trung điểm BC BE 2 d(I,d) 2
0,25
0,25
Mà phương trình đường thẳng d qua A có hệ số góc k là: y = k(x-1)+3 hay kx–y+3-k =0 0,25
Trang 52 1
3 1 3 ) , (
k
k k
d I
Vậy có 2 đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toánxy 4 0 ; 7xy 10 0 0,25
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
:
1
d
3
6 1
2 2
x
và
t z
y
t x d
1
2 :
Lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu song song của 1 d1 theo phương d2lên mặt (Oyz)
1điểm
Ta có u1 ( 2 ; 1 ; 3 ) là VTCP d1 và u2 ( 1 ; 0 ; 1 ) là VTCP d2 không cùng phương
Gọi () là mặt phẳng qua d1và song song d2 d (nếu có) là giao tuyến của 1 ()và (Oyz). 0, 25
Ta có phương trình của (): x – 5y +z - 1 = 0 và phương trình mặt phẳng (Oyz) là: x = 0 0,5
Suy ra phương trình đường thẳngd là : 1
0
1 5
x
y t
3 Giải hệ phương trình :
4
x y
1điểm
Điều kiện : x > 0 ; y > 0 Ta có : 0
4
3 2
2 2 2
2
x x, y >0 0 0.25
Xét x > y 3 3
VT(*) 0
VP(*) 0
(*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm 0 0,25
Xét x < y 3 3
VT(*) 0
VP(*) 0
(*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
0 0,25
Khi x = y hệ cho ta 0 02 2
2x 2y 4
x = y = 2 ( do x, y > 0).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ; 2; 2 0,25
Chú ý: Các cách giải khác cho kết quả đúng vẫn đươc điểm tối đa.