a, Chứng minh rằng các mặt còn lại của khối tứ diện là các tam giác vuông.[r]
Trang 1SỞ GD - ĐT THÁI BÌNH ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG GIỮA KÌ 1 NĂM HỌC 2009-2010 TRƯỜNG THPT BÌNH THANH
MÔN : TOÁN 12
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1(4,5 điểm):
Cho hàm số y = x4 – 2m 2 x2 + 1 có đồ thị là (Cm)
a, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = -1
b, Dựa vào đồ thị (C), tìm k để phương trình x4 – 2x2 = k có đúng 2 nghiệm
c, Tìm m để (Cm) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Câu 2(2,5 điểm):
a, Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
+) f(x) = x3 – 3x2 + 3 trên đoạn [1 ; 3];
+) g(x) = -2cos4x – 2cos2x + 1
b, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>1 và với | x | < 1 ta có: (1+x)n + (1-x)n < 2n
Câu 3(3,0 điểm):
Cho khối tứ diện ABCD có AB = a, AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) và BCD là tam giác vuông cân tại C có BD = a 2 Gọi M là trung điểm của AC và BN vuông góc với AD tại N
a, Chứng minh rằng các mặt còn lại của khối tứ diện là các tam giác vuông
b, Tính thể tích khối tứ diện ABCD
c, Mặt phẳng (BMN) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện.Tính thể tích khối đa diện không chứa điểm A
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 12
1
(4,5) a * Với m = -1, ta có: y = x
4 – 2x2 + 1 (C)
* TXĐ: D =
*Sự biến thiên:
0.5
Trang 2b.1,0
c.0,5 + y’ = 4x3 – 4x y’ = 0
0 1
x x
Bảng xét dấu y’:
y’ - 0 + 0 - 0 +
- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; +)
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ; -1) và (0;1) ………
*Cực trị:
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 1
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = 0
*Giới hạn:
4 2
………
*Bảng biến thiên:
y’ - 0 + 0 - 0 +
y +
0
1
0
+
*Đồ thị:
- Giao với Oy tại (0;1)
- Giao với Ox tại (-1;0) và (1;0)
-Ta có: x = 2 y(2) = 9
- Vì y = x4 – 2x2 + 1 là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng……
-Vẽ đồ thị:
12
10
8
6
4
2
-2
………
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
b Ta có: x4 – 2x2 = k x4 – 2x2 + 1 = k + 1 (*) ………
Số nghiệm pt (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = k + 1……
-Dựa vào đồ thị ta có: pt (*) có đúng 2 nghiệm
k +1=0
¿
k+1>1
¿
⇔
¿
k=−1
¿
k >0
¿
¿
¿
¿
¿
¿
0.25 0.25 0.5
c * Để (Cm) có 3 điểm cực trị thì điều kiện là pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt (1)
Ta có: y’ = 4x3 – 4m2x y’ = 0 2 2
0
(2)
x
Vậy (1) (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m 0 ………
* Với m 0 và a = 1>0 thì (Cm) có điểm cực đại là A(0;1) và 2 điểm cực tiểu là 0.25
Trang 3B(-m ; 1-m4) ; C(m ; 1-m4).
- Dễ thấy AB = AC và tam giác ABC chỉ có thể vuông tại A
Vậy ycbt
2 2
1
m
m m
AB AC
………
0.25 2
(2.5)
a.2,0
b.0,5
a * f(x) = x3 – 3x2 + 3 trên đoạn [1;3] Dễ thấy f(x) liên tục trên đoạn [1;3]
-Ta có: f ’(x) = 3x2 – 6x f ’(x) = 0 x = 2<TM> hoặc x = 0<loại> …………
- Mà: f(1) = 1, f(2) = -1, f(3) = 3 ………
Vậy: [1;3] [1;3]
max f(x) 3, min ( ) f x 1
………
* g(x) = -2cos4x – 2cos2x + 1 TXĐ: D =
- Đặt t = cos2x g(t) = -2t2 – 2t + 1, với t [0;1] Dễ thấy g(t) liên tục trên [0;1]…
- Ta có: g’(t) = -4t – 2 g’(t) = 0 t = -1/2 <loại> ………
-Mà: g(0) = 1, g(1) = -3 ………
max (x) max (t) 1,g g min ( ) min ( )g x g t 3
0.5 0.25 0.25
0.25 0.25
b Đặt f(x) = (1+x)n + (1-x)n, với |x| 1 và n>1, n . ………
- Ta có: f ’(x) = n.[(1+x)n-1 – (1-x)n-1] f ’(x) = 0 x = 0 ………
- Bảng biến thiên:
x -1 0 1
f(x) 2
n
2
2n
- Dựa vào bảng biến thiên ta có: f(x) < f(1) = 2n với |x| <1 n>1, n
0.25
0.25 3
(3,0)
a.1,5
b.1,0
c.0,5
a
a
a
a M
A
C N
* Vì
AB BC , AB BD Các tam giác ABD và ABC vuông tại B …………
- Vì
0.5
0.5 0.5
b
* Vì tam giác BCD vuông cân tại C nên CB = CD = BD.sin450 = a SBCD =
2 2
a
Vậy: VABCD =
3 1
a
AB S
0.5 0.5
c * Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa điểm A Ta có: V = VABCD - VABMN
ABMN
ABCD
Trang 4Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên BM AC AM.AC = AB2 = a2 và AC2 = 2a2
Vì BN AD nên trong tam giác vuông ABD ta có: AN.AD = AB2 = a2 và AD2 = 3a2
2 2
2 2
ABMN
ABMN ABCD ABCD
Vậy V =
0.25
0.25