Bài giảng xác suất thống kê

Hệ thống bài giảng Xác Suất Thống Kê bao gồm các công thức, các ví dụ và bài tập.Ngoài ra, còn giúp sinh viên có cái nhìn bao quát hơn về môn học

CHƯƠNG 1

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

C1 Không gian mẫu và biến có

Q Dinh nghĩa xác suất

Xác suất có điều kiện

Œ Công thức nhân xác suất

( Các biến cổ độc lập

C1 Công thức xác suất đầy đủ và Bayes

Trong thực tế, các hiện lượng được chia thành 2

loại: hiện tượng tắt nhiên và hiện tương ngẫu nhiên

+ Phép thử là một khái niệm cơ bản không định

nghĩa Ta hiểu phép thử là một thí nghiệm hay

quan sát nào đó

+ Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nêu ta không dự:

báo trước kết quả nào số xảy ra

+ Tập hợp gồm tắt cả các kết quả của phép thử được gọi là kindng gian mẫu của phép thử Ký hiệu: S

+ Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến có Ký hiệu: A, B, ,

+= Biến cổ chỉ gồm một kết quả được gọi là biển có

sơ cấp, Ký hiệu: ø

Ví dụ 1: Gieo một đồng tiền xu gồm hai mặt số và

hình 1 lần, Xác định không gian mẫu

Ví dụ 2: Gieo một đồng tiền xu hai làn, Xác định

không gian mẫu

Vi dy 3: Gieo một con xúc xắc một lần Xác định

không gian mẫu

Ví dụ 4: Gieo một con xúc xắc lên tiếp hai lần

Xác định không gian mẫu

thúc môn Xác suất thống kê ở trường Đại học

“Công nghiệp Thực phẩm TPHCM

+ Hãy xác định không gian mẫu

+ Gợi biến cổ A: "sinh viên này thí đậu" Hãy xác định các kết quả của A

* Cho phép thử có không gian mẫu S va bién ob A

Biến cổ A được gọi là xảy ra néu có một kết quả

nào đó của A xảy ra,

+ Khi sự xây ra của một biến cổ không thể được dự:

đoán chính xác thì ta gọi biển cổ tương ứng là in

sổ ngẫu nhiền

~ Biền có chắc chắn là biến cỗ bao giờ cũng xảy ra

khi thực hiện phép thử Ký hiệu: S

Biển cổ rỗng là biển cổ không bao giờ xảy ra khi

Khi đó, A là biển cổ chắc chắn, B là biển có rồng

và C là biến cổ ngẫu nhiên

Ví dụ 8: Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp học,

.GgiA: "Sinh viên được chọn giỏi Tiếng Anh”,

B: "Sinh viên được chọn giỏi Toán"

Hãy xác định biến ob: A+B: AB

`Vi dụ 9: Hai sinh viên thì hết môn xác suất thông kê

.GgiA: “Sinh viên thứ nhất thị đậu”, B: "Sinh viên thứ hai thị đậu”

©: "Có ítnhất một sinh viên ti dau"

Hãy biểu diễn C qua A, B

Vi dy 10: Kiểm tra 5 bóng đèn trong một lô bóng

đèn Gọi A: “Bong đèn thứ ¡ tốt (=1,2,3,4,5) Gọi B:

"Cả 5 bóng đèn đều tối” Hãy biểu diễn B qua các

biển cổ A,

Phép thử có không gian mẫu S = {o,,o,, ,o,}

trong đồ các bién cổ sơ cấp đồng khả năng

“Cho biển cổ A có kạ biển cổ sơ cấp Khi đó, xác suất của A được ký hiệu và cho bởi công thức

ka

n Pray

0 nữ Chọn ngẫu nhiên 3 người trực lớp Tính xác

suất của biến cổ trong 3 người được chọn có đúng

1 người nữ

Vi dy 13: Một hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm

1 Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp Tính xác

suất lầy được phế phẩm

2 Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp Tỉnh xác

suất lầy được 2 phê phẩm

3 Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sản

phẩm ra 2 sản phẩm Tỉnh xác suất lầy được 2

phố phẩm

Giả sử ta thực hiện n lần một phép thử, biến có A

xuất hiện k lần Ta gọi

k fay=8

là tân suắt xuất hiện của biến có A

+ Với n đủ lớn, ta định nghia: [P(A) = £,(A)]

‘Vi dy 14: Quan sát 10.000 em bé mới sinh, thầy có

5097 bé trai Gọi A là biến cố em bé mới sinh là con trai Tinh P(A)

Cho miễn 2 Goi độ đo của 9

là độ đài, điện tích, thể tích

(ứng với © là đường cong,

miền phẳng, khối), Xét điểm

.M rơi ngẫu nhiên vào miễn ©

Vi dy 15: Tim xac suất của điểm M rơi vào hình tròn

nội tiếp tam giác đều có cạnh 2 cm

Giải Gọi 4: "điểm AM rơi vào hình tròn nội tiếp”, Điện tích của tam giác là:

Ví dụ 16: Một lớp có 100 sinh vién (SV) trong đó có

50 8V thích xem bóng đã, 20 8V thích nghe nhạc, 10

SV thích xem bóng đá và nghe nhạc Chọn ngẫu

nhiên 1 8V của lớp Tính xác suắt 8V này thích xem

bồng đá hay thích nghe nhạc

Vi dy 17: Một hộp đựng 20 bị, trong đó có 10 bi dé

Chọn ngẫu nhiên 8 bi từ hộp Tính xác suất có ít nhất

1 bị đỗ trong 8 bị được chọn

Giả sử Ava B la haibién cổ và P(B) >0, Xác suất

của biến có A với điều kiện biến cổ B đã xốy ra

được ký hiệu và cho bởi công thức:

Ví dụ 18: Một nhóm 10 sinh viên gồm 3 nam và 7

nữ, trong đồ có 2 nam 18 tubi và 3 nữ 18 tuổi

Chọn ngẫu nhiên một sinh viên từ nhóm đó Gọi

biến có A: "Sinh viên được chọn là nữ”, B: "Sinh

viên được chọn là 18 tuỗï, Tính P(AIB), P(BỊA)

Ví dụ 19: Một lớp có 50 sinh viên trong đó có 20 nữ

và 30 nam Trong ky thi môn Toán có 10 sinh viên đạt điểm gồi, gồm 6 nam và 4 nữ Gọi tên ngẫu nhiên † sinh viên trong danh sách lớp Tìm xác suất

gi được sinh viên giõi môn Toán biết rằng sinh viên đ6 là nữ

Vi dụ 20: Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh Từ hộp

này, lầy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 bị, mỗi lần lấy † bị,

lây không hoàn lại Tính xác suất lần thứ hai lẫy

được bì xanh biết rằng lần thứ nhất đã lấy được bỉ

phẩm tốt và 2 phế phẩm Một người lấy ngẫu nhiên

từng sản phẩm cho tới khi gặp phổ phẩm thỉ dừng

Tính xác suất để người này dùng lại ở lần thứ ba

‘Vi dy 22: Mét sinh viên học hệ niên chế được học

lại một tần nêu lần thứ nhắt bịrớt BiẾt rằng xác suất sinh viên này thị đỗ lần 1 và lần 2 tương ứng là 0,8

và 0/8, Tính xác suất sinh viên này hoàn thành môn học

Vi dy 23: Một sản phẩm xuất xưởng phải qua 3 lần

kiếm tra, Xác suất đẻ một phế phẩm bị loại ở lần

kiểm tra đầu là 0,8; nêu lần kiểm tra đầu không bỉ

loại thì xác suất nó bị loại ở lân kiểm tra thứ hai là

0,9; tương tự nếu lần thứ hai cũng không bỉ loại thì

xác suất nó bị loại ở lần kiểm tra thứ ba là 0,95

“nh xác suất để một phê phẩm bi loại khi kiểm tra

Đáp số: 0,999,

+ Hai biến cổ A và B được gợi là độc lập nếu

P(A|B)=P(A) hoặc P(B| A)=P(B)

Nói cách khác, A, B là độc lập nếu A có xảy ra hay

không thì cũng không ảnh hưởng đến khả năng xây

ra của B và ngược lại

Định lý: Hai biến có A, B độc lập nều và chỉ nều

[P(AB) = P(A).P(B))

Việc kiểm tra tính độc lập bằng định nghĩa trong

nhiều bài toán là khó Do đó, người ta thường dựa

vào thực tế để thừa nhận nó

Ví dụ 24: Tung 2 đồng xu Gọi

.A: "đồng xu thứ nhất xuất hiện mật số”,

B : "đồng xu thứ hai xuất hiện mặt hình”,

© :"oö t nhất một mất số xuất hiện"

Hỏi A và B có độc lập? A và C có độc lập?

Định lý: A, B độc lập <> Ä,B độc lập

=>A,B độc lập

A.B độc lập

'Ví dụ 25: Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc

lập nhau Xác suất các máy trong ngày bị hỏng lần lượt là: 0,1;0,2; 0,16, Tính xác suất

1 Có một đúng một máy hỏng trong ngày

2 C6 Lnhất hai máy hồng trong ngày

+ Hệ các biến cổ [A,},„ „được gọilà đổ/đủ

nếu có duy nhất một biển cổ trong hệ xây ra khi

thực hiện phép thử

Nội cách khác, hệ [A,},„„ đầy đủ nêu

A,DA,=Ø, Vizj, A,UA¿U UA, =6

Ví dụ 26: Trộn lẫn hai bao lúa vào nhau rồi từ đó

bốc ra 1 hạt lúa Gọi

.A¿: "Hạt lúa được chọn là của bao thứ nhát”,

‘Ag “Het lda được chọn là của bao thé hai’

"rong phép thử, cho hệ đầy đủ các biển có {A,},

từng lô tương ứng là 6%, 2%, 1% Chọn ngẫu

nhiên một lô, rồi từ lõ này chọn ngẫu nhiên một

sản phẩm

1 Tìm xác suất đễ lấy được phé phẩm

2 Biết lấy được phế phẩm Tìm xác suất được

chọn của từng lô hàng,

Ví dụ 28: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai

phân xưởng | va Il, Phan xưởng lI sản xuất gắp 4

lần phân xưởng I Tỷ lộ bóng hư của phân xưởng Ì

là 10%, của phân xưởng II là 20% Mua một bóng

.đèn do nhà máy này sản xuất

1 Tính xác suất để mua được bồng tốt

2 Biết rằng đã mua được bóng tốt, ính xác suất để bóng đèn này do phân xưởng | sản xuất

Vi dy 29: Một thùng phiêu gồm 10 phiều, trong đó

chỉ có 2 phiều trúng thưởng Có 2 người lần lượt

rút thăm, mỗi người chỉ rút 1 phiêu Tìm xác suất

trúng thưởng của người út lần thứ hai

Nội dung chính

{1 Biến số ngẫu nhiên

(1 Biến ngẫu nhiên rời rac

{ Biến ngẫu nhiên liên tục

Em

+ Một đại lượng mà giá trị của nó là ngẫu nhiên,

không dự đoán trước được, được gọi là một biển:

số ngẫu nhiên (hay biến ngẫu nhiên, đại lượng ngẫu nhiên)

+ Chúng ta thường kỹ hiệu biến số ngẫu nhiên bằng các chữ cái in hoa X, Y, Z,

Biéns Mi: in

Ví dụ 1: Một hộp có 7 bi trắng và 3 bi đen Lấy

ngẫu nhiên cùng lúc 4 bi từ hộp Gọi X là số bi

trắng có trong 4 bỉ lẫy ra Khi đó, X là một biển số

ngẫu nhiên

Vi dy 2: Tung một đồng xu cho đến khi được mặt

ngữa thì dừng Gọi X là số lần tung Khi đó, X cũng

là biến số ngẫu nhiên

Ví dụ 8: Gọi X à chiều cao của con người Khi đó,

.X cũng là biến số ngẫu nhiên

Ta chia cac bién ngẫu nhiên thành 2 loại

> Biến ngẫu nhiên X được gợi là rời rạc nếu nó chỉ

nhận hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm

được các giá tị

> Biến ngẫu nhiên X được gọi là iớn c nếu tập giá

tr của nó là một hay một số khoảng của trục số,

thậm chí là cả trục số thực

KE X= (Ky Kor aK WOE Xy SK See Sy

Ti

Ví dụ 4: Một hộp đựng 4 quả cầu giống nhau đánh

số 1,2, 3, 4 Chọn ngẫu nhiên 2 quả Gọi X là tổng

hai số ghi trên hai quả đó Lập bảng PPXS của X

Vi dy 5: Một hộp kín có chứa 10 bị, gồm: 7 bỉ đỏ, 3

biden, Chọn ngẫu nhiên 4 bi ừ hộp, Gọi X là số bị

.đen có trong 4 bi, Lap bảng PPXS cho X

Biến ngẫu nhiên rời rạc Cho BNN rời rạc X có bảng phân phổi xác suất

viên vào một mục tiêu một cách độc lập Xác suất

trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,8 Biết rằng nếu

có một viên trúng mục tiêu hay hết đạn thì dừng

Gọi X là số viên đạn xạ thủ đã bắn

1 Lập bảng PPXS cho X

2 Tính P(-1<X <3), P(X22), P(X<3)

+ Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rac Ham phan

phối xác suất của X là hàm số được ký hiệu và định

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ 7: Tung hai đồng xu cân đổi, đồng chất Gọi X

là số mặt ngửa xuất hiện Tim ham phân phối xác

suất của X

+ Cho X là một biển ngẫu nhiên rời rạc Hàm mật độ

xác suắt của X là hàm số được ký hiệu và định nghĩa

xIx % an 0N F[ Po

Biến ngẫu nhiên rời rạc

(Kỳ vọng là giá trị trung bình (hheo xác suất) của biến ngẫu nhiên X, nó phản ánh giá tị trung tâm phân phối xác suất của X

© Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nêu cần

chọn phương án cho năng suất (hay lợi nhuận) cao,

người ta chọn phương án sao cho năng suất kỳ vọng (hay lợi nhuận kỳ vọng) cao

Ví dụ 9: Một thống kẽ cho biết tỷ lệ tai nạn xe máy ở

thành phổ H là 0,001 Công ty bảo hiểm A đề nghị

bán loại bảo hiểm tai nạn xe máy cho ông B ở thành

phố H trong một năm với số tiền chỉ trả là 10 triệu

đồng, phí bảo hiểm là 0,1 triệu đồng Hỏi trung bình

công tyA lãi bao nhiêu khi bán bảo hiểm cho Ong B?

Vi dy 10: Ong A tham gia chơi một trò đồ, đen như sau: Trong một hộp có 4 bi đỗ và 6 bi đen Mỗi lẫn ông A lấy ra 1 bi: nếu là đồ thì được thưởng 100 ngàn đồng, nếu là đen thì bị mắt 70 ngàn đồng Hỏi trung bình mỗi lần lầy bị, ông A nhận được bao nhiêu

2 Cong tinh: E(X+Y)=E(X)+E(Y)

3.Đơn điệu: X>Y=E(X)>E(Y)

4 Nếu X, Y là hai biển ngẫu nhiên độc lập thì

E(XY)=E(XJE(Y)

\u nhiên rời rạc + Giả sử BNN rời rac X có bảng phân phối xác suất

War(x) =Š'p,œ, -EXỶ,

Ti

+ Mốt của X, ký hiệu bởi Mod(), là giá trị của X ma

tại đó xác suất cao nhất,

Vi dy 11: Cho X có bảng phân phi xác suất

{Do X- E(X) là độ lệch giữa giá trị của X so với

trung bình của nó nên phương sai là trung bình

của bình phương độ lệch đó Phương sai ding

để đo mức độ phân tân của X quanh kỳ vọng

Nghĩa là: phương sai nhỏ thì độ phân tần nhờ

nên độ tập trung lớn, và ngược lại

T1 Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho độ

sai số của thiết bị sản xuất, Trong kính doanh,

phương sai đặc trưng cho độ rủi ro đầu tư

Cho Xà một biến ngẫu nhi lên tục Hàm số

t:R ->R được gợi là hàm mật độ xác suất của X

nếu nó thỏa hai đều kiện sau

nhiên liên tụi

Vi dy 13: Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục

Goi X la số phần từ có tính chất A lẫn trong n phân,

tử ấy ra, Hãy lập bảng phân phối xác suất của X

13

ner Phân phối siêu bội

Binh nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân

phối siêu bội (hypergeometric distributlon) với ba

Ví dụ 1: Một hộp có 15 quả cam trong đó có 5 quả

hữ Từ hộp ta lấy ngẫu nhiên ra 3 quả, Gọi X là số

quả hư có trong 3 quả lầy ra

Lập bảng phân phối xác suất của X

2 Tinh ky vọng và phương sai của X

3 Tính xác suất để có ít nhất 1 quả hu trong 3 quả

Ví dụ 2: Từ một công trình xây dựng có 100 người

đang làm việc trong đó có 85 công nhân, chọn ra

một nhóm gồm 30 người Gọi X là số công nhân

chọn được

1 Tỉnh xác suất chọn được từ 20 đến 22 công

nhân

2 Tính trung bình số công nhân chọn được và

Một dãy gồm n phép thờ ngẫu nhiên được gọi là

“dãy phốp thử Bernouli nễu nỗ thỏa 3 đều kiện:

>_ Các phép thử phải độc lập với nhau

>_ Ở mỗi phép thử, ta chỉ quan tâm đến một biến

cố A nào đó Nếu A xây ra, ta nói phép thử là

"thành công" Nếu A không xảy ra, ta nói phép

EM

Ví dụ 3: Tung một đồng xu (gồm hai mặt là số và

hình) cân đổi, đồng chất 10 lần

© mdi in tung, ta xem biến cổ A: "mật số xuất

hiện" có xây ra hay không

Xác suất xuất hiện mặt số ở mỗi lần tung là 0,6

'Do đỏ, day là dây gồm 10 phép thử Bernouli

EM

Vi dy 4: Một sinh viên trả lời 20 câu hỏi trắc nghiệm một cách ngẫu nhiên Mỗi câu hỗi có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có † phương án đúng, Ở mỗi câu trả lời, ta chỉ quan tâm sinh viên này trả lời đúng hay không Đây là dãy phép thừ Bernoull

DI

#Bài toán: Thực hiện dây gồm n phép thir

Bemouli với xác suất “hành công” là p

Gọi X là biến số ngẫu nhiên chỉ số lần "

.công" trong n lần thử

Lập bảng phân phối xác suất cho X

Phân phối nhị thứ

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là

c6 phân phối nhị thức (binomial distribution) với hai

Ví dụ 5: Ông A trồng 100 cây Bạch Đàn với xác

suất cây chết là 2% Gọi X là số cay Bach Dan

chết

1) Tính xác suất có từ 3 đến 5 cây Bạch Đản chết

2) Tinh trung bình số cây Bach Đàn chết,

3) Hồi ông A cần phải trồng tối thiểu bao nhiêu cây

Bạch Đàn để xác suất có ít nhất một cây chết

lớn hơn 10% 2

BS: 1) 0,3078;

) 2 cay; 3) 6 cay

Phân phối P\

son + Bài toán: Ta quan tâm đến sự xuất hiện của biến

cố A trong khoảng thời gian (t; t,) Giả thiết rằng:

> Sự xuất hiện A trong khoảng thời gian (t; t;)

không ảnh hưởng đến cơ may xuất hiện A trong

các khoảng thời gian kế tiếp;

>_ Cơ may xuất hiện A trong khoảng thời gian (ty to)

tỷ lệ thuận với độ dai khong (ty; t)

Goi X la 6 lin xuất hiện biến cổ A trong khoảng thời

gian (t; ) Lập bảng phân phối cho X

P(x=k)=Sjˆ,wk=012

trong đó 2 > 0 là trung bình số lần xuất hiện biến

“cỗ mà ta quan tâm trong khoảng thời gian (t; t;)

để trung tâm này:

1) Nhận được 7 cuộc điện thoại trong 2 phút

2) Tinh số cuộc điện thoại chắc chắn nhất mà trung

tâm nhận được trong khoảng thời gian 4 phút

fiend

Vi dy 9: $6 khách đến mua hàng tại mot quay hàng

là biến ngẫu nhiên, trung bình cứ 3 phút có 1 người

Năng lực phục vụ khách của quay hàng thường

xuyên là: 2 người được phục vụ trong 5 phút (khách

không phải chờ một cách đáng kể, nghĩa là không

phải chờ quả 2 phút, Tính xác suất:

1) C6 2 khách hàng trong 30 giây

2) Có khách bị chờ một cách đáng kể Phan phéi Gaus:

Binh nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên lục Z được gọi là

có phân phối Gauss (hay phân phối chuẩn tắc) nếu

hàm mật độ xác suất của nó có dang

Phan phéi Gauss Phan phéi Gauss

+ Ham Laplace: là hàm số có dang

Phân phối Gauss

+Cho0<ú <1 Giả tị (, được gọi là phân vị mức œ của biến ngẫu nhiên Z ~ N(0;1) nu:

Phân phối chuẩn

‘Dinh nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là

có phân phối chuẩn nêu hàm mật độ xác suất của

+ Các số đặc trưng: E(X) =Mod(X) =q¿ Var(X) = øỶ

Phân phối chuẩn

17