+ ViÕt E díi d¹ng tÝch cña c¸c nh©n tö lµ tam thøc bËc hai hay nhÞ thøc bËc nhÊt.. BÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc.[r]
Trang 1Bài 1 Ph ơng trình bậc hai A.Tóm tắt kiến thức
1.Phơng trình bậc hai
1.1.Dạng của phơng trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 với a 0
1.2.Nghiệm của phơng trình bậc hai
Biểu thức : Δ= b2 -4ac ( hay Δ’=b’2 –ac với b’ = b/2)
* Δ< 0 : pt vô nghiệm
* Δ= 0: pt có nghiệm kép
* Δ > 0: pt có 2 nghiệm phân biệt ,
b x
a
1 2
2
Δ
ghi chú : nếu ac < 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1.3.Định lý viet
*Nếu phơng trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 có hai nghiệm x1 ,x2 thì
S = x1 +x2 =
b a
; x1x2 =
c
a.
*Nếu x1 +x2 = S , x1x2 = P và S2 -4P 0 thì x1,x2 là nghiệm của phơng trình :
x2 –Sx +P = 0
ghi chú:
Nếu a +b +c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm là x = 1 và x = c/a
Nếu a -b +c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = -c/a
Nếu pt có 2 nghiệm x1 và x2 thì ax2 +bx +c =a( x –x1)(x-x2)
2.Phơng trình bậc bốn đa về phơng trình bậc hai
2.1.Dạng 1
ax4 +bx2 +c = 0 ( a0) (phơng trình trùng phơng)
Đặt t = x2 với t 0 ta có phơng trình : at2 +bt +c = 0
2.2.Dạng 2
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = k trong đó a+b =c +d ; k 0.
đặt t = ( x+a)(x+b)
2.3.Dạng 3
(x +a)4 +(x+b)4 =k ( k>0)
Đặt t = x +
a b 2
2.4.Dạng 4
ax4 +bx3 +cx2 bx +a = 0 với a 0
Chia 2 vế cho x2 và đặt
t x
x
1
ta có phơng trình : at2 +bt +c +2a = 0
Ghi chú: nếu t = x +x
1 thì ta có đều kiện t 2
Giải tơng tự cho phơng trình : ax4 +bx3 +cx2 dx +e = 0 với
2
B.Phơng pháp giải toán
ví dụ 1: Tìm m để phơng trình : x2 -10x +9m = 0 (1)
a)có hai nghiệm
Trang 2b)x1- 9 x2 =0
Hớng dẫn:
a)
m 0 ;m 9
25
b) áp dụng định lí viet ta đợc m = 0; m = 1
Ví dụ 2.Tìm m để phơng trình : x2 +(m-1)x +m + 6 = 0 (1)
Có hai nghiệm thoả mãn x1+x2 = 10
Hớng dẫn: áp dụng định lí viet ,chú ý điều kịên để phơng có 2 nghiệm
Ta đợc m = -3 ; m = 7 so với điều kiện ta có m = -3
Ví dụ 3 định m để phơng trình : x2 -2(m+1)x –m- 1 = 0 (1)
Có hai nghiệm x1 ,x2 và A = x1 +x2 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Hớng dẫn:
*Điều kiện pt có 2 nghiệm là m2;m1
*A = …= 4[(m+2)2 -1] 4 khi m = -2 vạy A nhỏ nhất bằng -4 khi m = -2.
Ví dụ 4 Gải các phơng trình:
a) (x-1)(x+5)(x-3)(x+7) = 297 ĐS: x = 4 ; x = -8
b) x4 + ( x-1)4 = 97 ĐS: x = 3 ; x = -2
c) 6x4 -35x3 +62x2 -35x +6 = 0 ĐS: x =2;x=1/2 ;x = 3; x = 1/3
Ví dụ 5 Cho phơng trình :
mx2 -2(m-2) x +m -3 = 0 Tìm m để phơng trình :
a) Có hai nghiệm trái dấu ĐS: 0 < m < 3
b) Có hai nghiệm dơng phân biệt ĐS: m< 0; 3< m <4
c) Có đúng 1 nghiệm âm ĐS: 0 < m < 3
Ví dụ 6 Cho phơng trình
( m -1)x4 +2(m -3)x2 +m +3 = 0
Định m để phơng trình trên
a)có 4 nghiệm phân biệt
b)có 3 nghiệm phân biệt
c)có 2 nghiệm phân biệt
d)có 1 nghiệm phân biệt
Bài tập số 1 1.Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt
a) x2 -2mx +m2 -2m +1 = 0 ĐS: m > 1/2
m m
1 24 0
2.Cho phơng trình : x2 -2(1+2m)x+3+ 4m = 0 (1)
a) Định m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1,x2 ĐS:
b)Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm x1,x2 ĐS: P – S -1 = 0
c) Tính theo m,biểu thức A = x1 +x2 ĐS:A=2(1+2m)(16m2+4m-5)
6
e)viết pt bậc hai có nghiệm là x1 và x2 ĐS:X2-2(8m2+4m-1)X+(3+4m)2=0
3.Cho phơng trình : x2 -6x +m -2 = 0
Định m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt ĐS: 2 < m < 11
4.Cho phơng trình : mx2 +2(m +3)x +m = 0
Định m để phơng trình :
Trang 3a) Có hai nghiệm cùng dấu ĐS:
m m
3 2 0
5.Giải các phơng trình :
a) (x+2)(x-3)(x+1)(x+6) = -36 ĐS: 0;-3;
2
.b) (x+3)4 +( x+5)4 = 16 ĐS: -5;-3
c) x4 +x3 -4x2 +x +1 = 0 ĐS: 1;
2
d) x4 -5x3 +10x2 -10x +4 = 0.ĐS:1 ;2
Bài 2.Hệ ph ơng trình
Vấn đề 1:Hệ gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai.
Ph
ơng pháp giải :
+Từ phơng trình bậc nhất ,rút một ẩn theo ẩn kia
+Thế vào phơng trình bậc hai còn lại để đa về phơng trình bậc hai một ẩn
Ví dụ 1.giải hệ
x2 xy
2 3 1 (1)
24 (2)
Vấn đề 2:Hệ đối xứng loại 1.
-ta qui ớc gọi một hệ chứa 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu mỗi phơng trình của hệ là đối xứng đối với x,y.
Ph
ơng pháp giải :
+Đặt S = x +y; P = xy đa hệ về 1 hệ có 2 ẩn x,y là đối xứng loại 1 nếu mỗi phơng trình của hệ là đối xứng đối với x,y
+Tìm S,P x,y là nghiệm của phơng trình tổng tích
X2 –SX+P = 0
Chú ý : điều kiện để hệ trên có nghiệm là : S 2 - 4P 0
Ví dụ 2.Giải hệ
x y xy
x2 y2
5 5
Ví dụ 3 Giải hệ
x y
2 2
2 2
1 1
5
9 DS: 1; 1
Nhận xét: nếu hệ có nghiệm (x 0 ;y 0 ) thì hệ có nghiệm (y 0 ;x 0 ).
Vấn đề 3:Hệ đối xứng loại 2.
-Ta quy ớc gọi một hệ hai phơng trình với 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu trao đổi vai trò của x,y thì phơng trình này chuyển thành phơng trình kia.
Ph
ơng pháp giải :
+Trừ vế với vế các phơng trình đã cho
+Phơng trình trên sẽ đợc đa về phơng trình dạng tích ,đặc điểm là nó có nghiệm x = y
+ứng với từng trờng hợp xẩy ra ,kết hợp với 1 trong 2 phơng trình của hệ để có một hệ con,giải
hệ con này
+Tổng hợp nghiệm của hệ đã cho
Trang 4Ví dụ 4 Giải hệ
2
2
Vấn đề 4:Hệ đẳng cấp bậc hai.
ĐN: Hệ 2 ẩn x,y đợc gọi là hệ đẳng cấp bậc hai nếu nó có dạng
a 'x b'xy c'y d'
Ph
ơng pháp giải :
+Xét xem x =0 có là nghiệm của hệ hay không?
+ khi x 0,ta đặt y = kx
*Thế vào hệ ,khử x,ta đợc 1 phơng trình bậc hai theo k
*Giải tìm k,ứng với mỗi trờng hợp của k ta tìm đợc (x,y)
Ví dụ 5 Giải hệ
2 3 17 (2)
ĐS:
1 2 ; , 1 2 ; , 4 ; 5 , 4 ; 5
Bài tập số 2 1.Giải hệ :
a)
xy x y
0
2 3
b)
x y
2 4
2.Giải hệ :
a)
x y
2 2
10 4
ĐS: (3;1),(1;3) b)
x y xy
x2 y2 xy
5 7
c)
x y
13 6 5
x x y
3 3
2 2
ĐS: (1;1)
e)
x y xy
2 2
4 4
78 97
3.Giải hệ:
a)
2 2
2 2
b)
3
3
2 2
c)
Trang 52
4.Giải hệ:
a)
x y
2 2
2 2
1 1
5
9
ĐS:
; 3 5 , 3 5 ;
Bài 3: Giải bất phơng trình
Vấn đề 1: Xét dấu một biểu thức và áp dụng để giải bất phơng trình hữu tỉ.
A-Xét dấu biểu thức E
+ Viết E dới dạng tích của các nhân tử là tam thức bậc hai hay nhị thức bậc nhất
+ Lập bảng xét dấu
B- Giải bất phơng trình hữu tỉ
+ Chuyển tất cả các hạng tử sang 1 vế
+ Rút gọn biểu thức có đợc
+ Xét dấu biểu thức đó
+ Dựa vào bảng xét dấu, chọn miền nghiệm
Ví dụ 1: Xét dấu E = (x2 – 4) (x2 – 4x + 3)
x2 – 4 có 2 nghiệm là -2; 2
x2 – 4x + 3 có 2 nghiệm là 1; 3
Lập bảng xét dấu
Ví dụ 2: giải bất phơng trình :
2
2
0
Lập bảng xét dấu,ta đợc tập nghiệm x < -5; 1/2 < x < 6 ; x > 6
Bài tập
1.Giải các bất phơng trình:
a) x2 -7x +10 < 0 ĐS: 2 < x < 5 b) (-x2 +3x -2)(x2 -5x +6) 0. ĐS: 1 x 3.
c)
x
2
3 0
1 2
2
2
0
ĐS: x <1; 1< x <2 ; x 3 2.Giải các bất phơng trình sau :
a)
x x
2
1
3 2
c)
2
2
x x
2
3 Giải các bất phơng trình sau :
a) x(x+1) < x2 x
42 1
ĐS: -3 < x <2. b) x2 +(x+1)2 x2 x
15 1
ĐS: 2 x 1. c) x(x+1)(x+2)(x+3) < 24 ĐS: -4 < x< 1
Trang 6Vấn đề 2.Giải hệ bất phơng trình
*Giải từng bất phơng trình
*kết hợp nghiệm còn lại ta đợc nghiệm của hệ
Ví dụ 1 Giải hệ :
2
2
7 6 0 (1)
8 15 0 (2)
Giải : giải (1) :1 x 6
Giải (2) :x 3;x5
Kết hợp (1) và (2) ta đợc ĐS: 1 x 3 5; x 6
Bài tập:
1.Giải các hệ bất phơng trình
a)
x
2
12 0
ĐS: 1/2 < x < 4. b)
2
2
c)
x
2
2
1
5
Vấn đề 3.Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R.
Ví dụ 1.Định m để f(x) = mx2 +4x+m > 0 , x R
Giải:
m = 0 suy ra f(x) = 4x > 0 x 0 do đó m = 0 không nhận đợc.
m 0
f(x) > 0 , x R
2
Δ
Ví dụ 2.Định m để bất phơng trình sau vô nghiệm
(m +1)x2 -2mx –(m -3) < 0 (1) HD:
m
Bài tập
1) f(x) = x2-mx +m +3 0 x, R -2m6
2) f(x) = mx2 –mx -5 < 0 , x R 20 m 0
………
Bài 4 Phơng trình –Bất ph ơng trình chứa căn thức
Vấn đề1.Luỹ thừa các vế.
Chú ý:
B
A B
A B2
0
Ví dụ 1.Giải bất phơng trình : x2 x
Ví dụ 2.Giải phơng trình: x 1 8 3 x 1 ĐS: x = 8.
Vấn đề 2 Đổi biến đa về phơng trình hữu tỉ.
Ví dụ: (x + 1)(x + 4) – 3 x2 x
Vấn đề 3 Đa về hệ phơng trình hữu tỉ bằng cách đặt ẩn số phụ.
Vấn đề 4 Đa về phơng trình chứa trị tuyệt đối.
Ví dụ: x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2 ĐS: -1 x 0
Trang 7Vấn đề 5 Bất phơng trình chứa căn thức.
Các dạng căn bản
B
A B
A
0 0
B
A B2
0
B
A B
A B2
0 0
Ví dụ: Giải bất phơng trình : x2 1 x 2
Ví dụ: Giải bất phơng trình: x2 3 x 4 x
………
Bài tập tơng tự I.Giải các phơng trình :
1) x2 2 x 4 2 x ĐS: -2. 2) 3 x2 9 x 1 x 2 ĐS: 3.
3) 3x2 9x 1 x 2
ĐS: 3;-1/2 4) 3x 7 x 1 2 ĐS: 1;3.
5)3 x 5 3 x6 3 2x11 ĐS: -6;-5;-11/2. 6) 3 x 1 3 3x 1 3 x 1ĐS: -1. 7) 31 x 31 x 2.ĐS: 0. 8) 3 x2 2 x 15 3 x2 2 x 8 7 ĐS: 1;-1/3. 9) x2 9 x2 7 2 ĐS: 4;-4. 10) 4 47 2 x4 35 2 x 4ĐS: -17;23.
11) x 2 2 x 5 x 2 3 2 x 5 7 2 ĐS: 15.
II.Giải các bất phơng trình :
1) x2 x 12 7 xĐS:x 3 4 ; x 61
3 2) 21 4 x x 2 x 3ĐS: 1 x 3 3) x2 3 x 10 x 2 ĐS: x2;x14
4) x 3 7 x 2x 8 ĐS: 4 x 5 6; x7
5) 2x 3 x2 1 ĐS: 3 x 2 1 ( 3 )
2
Một số đề thi Đại học I.Phơng trình
1 Giải phơng trình: 2 x 2 2 x 1 x 1 4
2.Giải phơng trình : √3 x −2+√x − 1=4 x − 9+2√3 x2−5 x +2 (x ∈ R )
3.Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : √x2
+mx+ 2=2 x+1
4.Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực: 3 x 1 + m x 1 = 24 x 2 1
5.Chứng minh rằng với mọi giá trị dơng của tham số m ,phơng trình sau
có 2 nghiệm phân biệt: x2 +2x - 8 = m x ( 2)
II Bất phơng trình
Trang 83 2x2 +4x +3 3 2x x 2 > 1. 4 √x+12 ≥√x −3+√2 x +1
5 5x 1 x 1 2x 4 6 2x7 5 x 3x 2
7
2
3
9.Tìm m để bất phơng trình : m x2 2 x 2 1 x 2 x 0
có nghiệm x 0;1 3
III Hệ phơng trình
1
2 2
4
2 2
3
x,y
5
¿
x −1
x=y −
1
y
2 y =x3+1
¿{
¿
7
4 2
5
5 (1 2 )
4
x y
8.
2
x,y
9.
2 2 2
x,y
10.Tìm m để hệ phơng trình :
¿
2 x − y −m=0
x+√xy=1
¿{
¿
có nghiệm duy nhất
11.Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm
¿
√x +√y=1
x√x+ y√y=1 −3 m
¿{
¿
………