Bài giảng toán 3 nhập môn đại số tuyến tín

Về sau để có thể hiểu rõ cấu trúc của tập nghiệm và điều kiện để một hệ phương trình bậc nhất có nghiệm, người ta xây dựng những khái niệm trừu tượng hơn như không gian vectơ và phép biế

TRẦN AN HẢI

BÀI GIẢNG TOÁN 3

HÀ NỘI - 2008

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Strang, Gilbert, Introduction to Linear Algebra, 3rd ed., Wellesley-Cambridge

press, 2005

[2] Strang, Gilbert, Linear Algebra and its Applications, Academic press, 1976

[3] Leon, Steven J., Linear Algebra with Applications, Upper Saddle River, N.J.:

Prentice Hall, 1998

[4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp - Tập 1,

Nhà xuất bản giáo dục, 2007

 TUẦN 1

GIỚI THIỆU MÔN HỌC

Theo dòng lịch sử, môn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải và biện luận các hệ phương trình bậc nhất Về sau để có thể hiểu rõ cấu trúc của tập nghiệm và điều kiện để một hệ phương trình bậc nhất có nghiệm, người ta xây dựng những khái niệm trừu tượng hơn như không gian vectơ và phép biến đổi tuyến tính Người ta cũng có nhu cầu khảo sát các không gian với nhiều thuộc tính hình học hơn, trong đó có thể có khái niệm độ dài và góc

Ngày nay Đại số tuyến tính được ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật, Kinh tế, Vì thế, nó trở thành một môn học cơ sở cho sinh viên các chuyên ngành khoa học cơ bản và công nghệ trong tất cả các trường đại học

Chương 1

TUYẾN TÍNH _

1.1



GIỚI THIỆU VECTƠ Các phép toán vectơ

Vectơ hình học là đoạn thẳng được định hướng

•

•→→→

gốc ngọn

Các vectơ hình học có hai phép toán cơ bản là phép cộng vectơ và phép nhân

vectơ với một vô hướng

ĐỊNH NGHĨA

1 Tổng v + w của hai vectơ v và w được xác định theo Quy tắc ba điểm hoặc Quy tắc

hình bình hành Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

2 Tích xv của vectơ v với số thực x, được xác định như sau:

* Nếu x ≥ 0 thì xv cùng hướng với v Nếu x < 0 thì xv ngược hướng với v;

* |xv| = |x|⋅|v|

x thường được gọi một vô hướng Phép toán tìm tích của một vectơ với một vô

hướng được gọi là phép nhân vectơ với một vô hướng

Ngoài ra, hiệu của hai vectơ v và w là v - w := v + (-w) Phép toán tìm hiệu của

hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

3) Khi ba vectơ v1, v2, v3 không đồng phẳng, tập tất cả các tổ hợp x1v1 +x2v2 +x3v3 lấp đầy không gian

ĐỊNH NGHĨA Tích vô hướng của hai vectơ v và w là số thực

v⋅w := |v|⋅|w|cosϕ,

trong đó ϕ là góc giữa hai vectơ v và w

Hermann Grassmann (1808-1877) cha đẻ của tích vô hướng

Biểu diễn vectơ hình học theo toạ độ

Việc tìm một tổ hợp tuyến tính của nhiều vectơ hình học theo định nghĩa của hai phép toán vectơ nói chung là cồng kềnh Tuy nhiên, việc này được giải quyết rất gọn khi biểu thị các vectơ hình học dưới dạng tọa độ.

Với mỗi vectơ hình học v trong mặt phẳng tọa độ Oxy luôn luôn tồn tại duy nhất hai số x và y sao cho v = x i + y j Ta gọi cặp số (x, y) là tọa độ của v Để tiện làm

việc về sau, cặp số này còn được viết ở dạng

Với mỗi vectơ hình học v trong không gian Oxyz luôn luôn tồn tại duy nhất ba

số x, y và z sao cho v = x i + y j + z k Ta gọi bộ ba số (x, y, z) là tọa độ của v Để tiện

làm việc về sau, bộ ba số này còn được viết ở dạng

x

Giả sử

+'

'

y y

x x

Mở rộng khái niệm vectơ

Từ biểu diễn toạ độ của vectơ hình học ta có thể mở rộng khái niệm vectơ hình học một cách tự nhiên như sau:

ĐỊNH NGHĨA Gọi dãy gồm n số thực

x x

M

2 1

là một vectơ cột n - thành phần Ta còn có thể viết như sau

(x1, x2, , xn),

nhưng không được hiểu là vectơ hàng

Tập các vectơ cột n - thành phần được ký hiệu là R n

Ta ký hiệu các vectơ cột bởi những chữ cái nhỏ viết nghiêng và đậm, còn các số thực bởi những chữ cái nhỏ viết nghiêng không đậm

Trên tập Rn ta định nghĩa các phép toán, tổ hợp tuyến tính, tích vô hướng, độ dài của vectơ theo các công thức tương tự với những công thức trong hình học nói trên

M

2 1

M

2 1

n

x

y x

y x

M

2 2

1 1

x x

M

2 1

cx cx

M

2 1

1 x , x

x

x

.Tập các vectơ hình học trong không gian, hay không gian 3-chiều, là

1

,

x x x

x

Ứng dụng Trong một siêu thị có n mặt hàng, ký hiệu qi là lượng mặt hàng thứ i

(qi dương khi bán và âm khi mua) Ký hiệu pi là giá của một đơn vị mặt hàng thứ i

Với hai vectơ q = (q1, q2, , qn) và p = (p1, p2, , pn), thì

doanh thu = q⋅p = q1p1 + q2p2 + ⋅⋅⋅ + qn p n

Khi q⋅p = 0 có nghĩa là "cân bằng về sổ sách"

1.2



ĐỊNH NGHĨA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Có lẽ bài toán quan trọng nhất trong toán học là giải một hệ phương trình tuyến tính

Có trên 75% vấn đề toán học gặp trong khoa học hay những áp dụng công nghiệp liên quan đến giải một hệ tuyến tính ở một giai đoạn nào đấy Bằng cách sử dụng những phương pháp của toán học hiện đại, thường có thể đạt được một bài toán phức tạp và quy nó về một hệ tuyến tính đơn giản Các hệ tuyến tính xuất hiện trong các áp dụng vào những lĩnh vực như thương mại, kinh tế, xã hội học, nhân khẩu học, di truyền học, điện học, kỹ thuật và vật lí

Một số bài toán dẫn đến

hệ phương trình tuyến tính

Bài toán Mạng điện Cho mạng điện

Hãy xác định dòng điện trong mỗi nhánh

Thiết lập hệ phương trình Áp dụng Định luật Kirchhoff về dòng điện "Tổng đại số

các dòng điện tại một nút bằng 0", ta có

i1 - i2 + i3 = 0 (nút A) -i1 + i2 - i3 = 0 (nút B)

Áp dụng Định luật Kirchhoff về điện thế "Tổng đại số hiệu điện thế theo một vòng kín

Thiết lập hệ phương trình Tại mỗi giao lộ, số xe vào phải bằng số xe ra Chẳng hạn, tại giao lộ A, số xe vào là x1+ 450 và số xe ra là x2 + 610 Như vậy

x1 + 450 = x2 + 610 (giao lộ A) Tương tự

Giải hệ gồm bốn phương trình này ta xác định được lưu lượng xe.☺

Ta sẽ nghiên cứu các hệ phương trình có dạng như trong hai bài toán trên

ĐỊNH NGHĨA Một phương trình tuyến tính n ẩn là một phương trình có dạng

a1x1 + a2x2 + ⋅⋅⋅ + a x = b,

trong đó a1, a2, , an và b là nhữ ng số thực , x1, x2, , xn là các ẩ n Mộ t hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn (hay hệ m×n) là một hệ có dạng

a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a 1n x n = b1

a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a 2n x n = b2

Những dạng khác của hệ phương trình tuyến tính

Đối với hệ phương trình

a

a a

M

2 1

b b

M

2 1

Theo các phép toán vectơ, hệ trên đưa được về dạng phương trình vectơ hay dạng cột

x1 v1+ x2 v2+ ⋅⋅⋅ + x n v n = b.Dạng này có hình dung hình học như sau: Nếu m = 3, phương trình vectơ có nghiệm khi và chỉ khi b là một tổ hợp tuyến tính của v j (j = 1, , n)

Đối với phương trình tuyến tính

M

2 1

M

2 1

Dễ thấy vế trái của phương trình này là tích vô hướng h⋅x Do đó phương trình này có dạng mới là h⋅x = b

Bây giờ ta xét hệ

a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a 1n x n = b1 a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2nx n = b2

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

L

MM

M

LL

2 1

2 22

21

1 12

x x

M

2 1

b b

M

2 1

+++

+++

n mn m

m

n n

n n

x a x

a x a

x a x

a x a

x a x

a x a

LMLL

2 2 1 1

2 2

22 1 21

1 2

12 1 11

x h x h

m

2 1

1+ x2

2+ x3

6

* Dạng ma trận

x x

6

120

241

200

345

300

421

0004

000

(2) Nếu có các hàng gồm toàn 0, thì chúng nằm dưới những hàng chứa số khác 0

ĐỊNH NGHĨA Ma trận bậc thang là ma trận có đặc điểm (1) và (2) Số khác

không đầu tiên trong một hàng được gọi là trụ

120

241

300

421

am1x1 + am2x2 + ⋅⋅⋅ + amn x n = bm

ta gọi bảng số

n n

a a

a

a a

a

a a

a

L

LL

2 1

2 22

21

1 12

b b

2 1

là ma trận mở rộng của nó

ĐỊNH NGHĨA Hệ dạng bậc thang là hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở

rộng dạng bậc thang Ẩn có hệ số là trụđược gọi là biến trụ Những ẩn còn lại được

Ta thấy 3 trụ là 1 1 1 nên x1, x3, x5 là các biến trụ, x2 và x4 là các biến tự do

Một trường hợp đặc biệt của hệ dạng bậc thang là hệ dạng tam giác

Phương pháp giải hệ dạng bậc thang

Cách giải hệ dạng tam giác

Cách giải hệ dạng bậc thang có biến tự do

Trường hợp hệ chứa phương trình dạng 0 = b i vớ b i khác 0: hệ vô nghiệm

Trường hợp còn lại: Trước hết ta loại đi tất cả các phương trình dạng 0 = 0 (vì chúng

là hằng đẳng thức) Trong mỗi phương trình còn lại, chuyển những hạng tử chứa biến

tự do (nếu có) sang vế phải rồi gán cho các biến này giá trị thực tùy ý Ta có hệ dạng tam giác đối với những biến trụ Giải hệ dạng tam giác này, ta tìm được giá trị của những biến trụ

Ví dụ 4 Giải hệ

1x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1

1x3 + x4 + 2x5 = 0

1x5 = 3 Chuyển hệ về

Giải hệ phương trình tuyến tính bất kỳ

C.F.Gauss đã đề xuất ra phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính bất kỳ, có tên là

phép khử Gauss Đó là chuyển hệ cho trước về hệ phương trình tương đương có dạng bậc thang nhờ sử dụng những phép toán sau đây

I Đổi chỗ hai phương trình của hệ

II Lấy một phương trình của hệ trừ đi bội của một phương trình khác trong hệ III Nhân cả hai vế của một phương trình trong hệ với một số khác 0

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Chú ý Trong quá trình thực hiện phép khử, nếu xuất hiện phương trình dạng 0 = 0,

ta có thể loại nó khỏi hệ Còn nếu xuất hiện phương trình dạng 0 = b với b khác 0, thì

0001

0621

0001

0021

0001

0

Ngoài ra, ta thấy các trụ là 1, 2, -19

Trụ dùng để khử những số cùng cột nằm bên dưới

Khi trụ thuộc cột j và ta muốn khử số cùng cột ở hàng i thì ta phải lấy hàng chứa

số này trừ đi tích của hàng chứa trụ với một số thích hợp Số thích hợp này được gọi

là số nhân, ký hiệu là l ij Chẳng hạn, trụ 2 thuộc cột 2 và ta muốn khử số 6 cùng cột thuộc hàng 3 thì ta lấy hàng 3 (chứa trụ) trừ đi 3 lần hàng 2 Số nhân l32 =

2

6

= 3

Số nhân l ij = (phần tử cần khử trong hàng i, cột j) chia cho (trụ trong cột j)

Phương pháp khử Gauss trừ phương trình thứ i đi l ij lần phương trình thứ j

Ví dụ 6 Giải hệ trong Bài toán Lưu lượng giao thông

0110

0011

1001

0110

1011

0001

→

0011

0001

0110

0011

0001

160

Hệ có vô số nghiệm

(x4 + 330, x4 + 170, x4 + 210, x4)

Sơ đồ lưu lượng giao thông đã không cho đủ thông tin để xác định duy nhất x1, x2, x3,

x4 Nếu biết thêm lưu lượng xe ở đường nối một cặp giao lộ bất kỳ, thì dễ dàng tính được lưu lượng xe ở các nhánh còn lại Chẳng hạn khi biết lưu lượng xe ở đường nối

giao lộ C và D là 200 xe/giờ, thì x4 = 200 Suy ra x1 = 530, x2 = 370, x3 = 410

42211

31100

30022

10011

11111

31100

31100

52200

21100

11111

10000

10000

10000

21100

11111

00000

00000

10000

21100

11111

Từ ma trận cuối suy ra hệ vô nghiệm

Chú ý

1) Hệ tuyến tính chỉ có một trong ba khả năng: duy nhất nghiệm, có vô số nghiệm, vô

nghiệm Hệ n×n mà có nghiệm duy nhất được gọi là hệ không suy biến, còn trong trường hợp ngược lại nó được gọi là hệ suy biến

2) Khi đưa được ma trận mở rộng về dạng bậc thang, để lấy ra nghiệm ta có thể không cần dùng phép thế ngược, mà đem chia mỗi hàng chứa trụ cho trụ ấy rồi dùng phép

khử biến đổi tiếp ma trận này về dạng bậc thang thu gọn, đó là ma trận bậc thang mà các trụ bằng 1 và trụ là phần tử khác 0 duy nhất trong cột chứa nó Ta quay lại Ví dụ 3

0 →

5.21

0011

0001

5.4

0011

0001

0010

0001

1

Từ ma trận bậc thang thu gọn cuối này, ta có nghiệm (1, 2, 1)

nghiệm tầm thường Nghiệm khác nghiệm này gọi là nghiệm không tầm thường

Ứng dụng Trong quá trình quang hợp, thực vật sử dụng năng lượng tỏa ra từ ánh sáng mặt trời để biến đổi carbon dioxide (CO2) và nước (H2O) thành glucose (C6H12O6) và oxygen (O2) Phương trình phản ứng hóa học có dạng

x1CO2 + x2H2O → x3O2 + x4C6H12O6

Để cân bằng phương trình ta phải chọn x1, x2, x3, x4 sao cho số nguyên tử của carbon, hydrogen, và oxygen ở hai vế bằng nhau Do carbon dioxide chứa một nguyên tử carbon và glucose chứa sáu nguyên tử carbon nên để cân bằng nguyên tử carbon ta đòi hỏi

x1 = 6x4 Tương tự, để cân bằng oxygen ta cần

Hệ có nghiệm không tầm thường (6x4, 6x4, 6x4, x4) với x4 là số nguyên dương Đặc

biệt nếu lấy x4 = 1, thì x1 = x2 = x3 = 6 và phương trình có dạng

6CO2 + 6H2O → 6O2 + C6H12O6

NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN 1

1 Không gian Rn và các phép toán

2 Tổ hợp tuyến tính trong Rn , tích vô hướng của Rn

3 Ba cách diễn đạt hệ phương trình tuyến tính: dạng hàng, dạng phương trình vectơ, dạng ma trận

4 Phương pháp khử Gauss

5 Hệ thuần nhất Nghiệm tầm thường và nghiệm không tầm thường

n n

a a

a

a a

a

a a

a

L

MM

M

LL

2 1

2 22

21

1 12

a

a a

M

2 1

là cột thứ j

Đôi khi ta viết tắt ma trận trên là (aij)

2 Ma trận n×n được gọi là ma trận vuông cấp n Các phần tử aii (i = 1, , n) lập

nên đường chéo của nó

3 Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có tất cả các phần tử phía dưới đường

chéo bằng 0

a a

a a

a

L

MOMM

LL

00

1 12

a

a a a

L

MOMM

LL

2 1

22 21

11

0

00

a a

L

MOMM

LL

00

00

00

22 11

0

01

0

00

1

L

MOMMLL

ĐỊNH NGHĨA Nếu A = (a ij) là ma trận m×n và c là một số, thì tích cA là ma trận

m×n mà phần tử hàng i, cột j là ca ij

Ma trận đối của A là ma trận (-1)A, ký hiệu là -A

1 =

2

Nhận xét Nhân một vectơ của Rn với một vô hướng chính là nhân một ma trận n×1

1 +

2 =

3

Nhận xét Cộng hai vectơ của Rn chính là cộng hai ma trận n×1

Phép nhân ma trận

ĐỊNH NGHĨA Giả sử A là ma trận m×n, B là ma trận n×p Ký hiệu các cột của B là

b1, , bp (thuộc R n ) Tích AB là ma trận m×p có cột j là Abj (thuộc R m ) với mọi j = 1, , p

312

⋅+

−

⋅

⋅+

⋅+

⋅

−

⋅+

⋅+

−

⋅

−

⋅+

⋅+

⋅

−

)3(641)2(4162134

)3(341)2(2132132

11

và

2

B B

30612

3114

43

1

thì không thể nhân A với B vì số cột của A không bằng số hàng của B Trong khi đó

43 =

21

30thì

50

00

j

j j

b

b b

A cỡ 4×5 B cỡ 5×6 AB cỡ 4×6

2) (hàng i của A) nhân B = hàng i của AB

3) Hai ma trận vuông có thể nhân với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cỡ

4) Nói chung AB ≠ BA

5) Nói chung từ AB = O không suy ra A = O hoặc B = O

15.030.010.0

240026002000

450045004000

381039403450

207021601870

,

ta suy ra bảng kê khai từng loại chi phí trong mỗi quý

Mùa

Chi phí

Chi phí về

hành chính

Ghi chú Do tính chất 2 và 9 ta có thể bỏ dấu ngoặc và viết A + B + C, ABC

Điều này cũng đúng với tổng và tích của nhiều ma trận hơn Với A là ma trận vuông

và p là số nguyên dương, ta ký hiệu AA⋅⋅⋅A (p lần) là A p

2.3



MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận

B sao cho AB = BA = I Ta gọi B là ma trận nghịch đảo của A

Một ma trận khả nghịch còn được gọi là ma trận không suy biến Một ma trận vuông không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến

Nếu B và C là đều là nghịch đảo của A, thì

12

12

Tổng quát hơn, ma trận

b a

khả nghịch nếu và chỉ nếu ad - bc khác không Khi ấy

b d bc ad d

c

b

Ví dụ 2 Một ma trận đường chéo A khả nghịch khi và chỉ khi tất cả các phần tử trên

đường chéo khác không Khi ấy

a

/1

1) Khi A khả nghịch, Ax = b có nghiệm duy nhất là x = A-1b

2) Giả sử tồn tại x khác vectơ-không sao cho Ax = 0 Khi ấy A không khả nghịch

3) Nếu A và B là các ma trận vuông, thì A khả nghịch khi và chỉ khi AB = I hoặc BA =

21

không khả nghịch do Ax = 0 có nghiệm x = (-2, 1) khác (0, 0)

Tìm A-1 bằng phương pháp Gauss-Jordan

Ý tưởng của phương pháp Gauss-Jordan là giải AA-1 = I để tìm mỗi cột của A-1

Minh họa ý tưởng Cho A là ma trận 3×3 khả nghịch Ký hiệu cột thứ j của A-1 là

x j Ký hiệu cột thứ j của I là ej

AA-1 = A[x1 x2 x3] = [Ax1 Ax2 Ax3] = [e1 e2 e3] = I

Để tìm nghịch đảo của A ta phải giải ba hệ phương trình Axj = ej (j=1, 2, 3) Các hệ

này có ma trận mở rộng tương ứng là [A ej] (j=1, 2, 3) Khi giải những hệ này ta làm việc đồng thời với các ma trận mở rộng của chúng thông qua [A e1 e2 e3] (chính là

[A I]), và thực hiện những phép toán hàng để đưa ma trận này về dạng bậc thang thu

gọn Chẳng hạn, tìm nghịch đảo của

322

010

001121

011

322

100

010322

121

011

110

010340

110

011

110

010

351

010100

010

011

351

341100

010

001

Từ đây rút ra Axj = ej (j=1, 2, 3) có nghiệm tương ứng là

3

351

341

Tóm lại, sau phép khử Gauss-Jordan

[A I] → [I A-1]

2.4



PHÉP KHỬ DÙNG MA TRẬN

Trong mục này ta nhìn nhận quá trình giải Ax = b theo các phép nhân ma trận, thay

cho thực hiện những phép toán hàng trên ma trận mở rộng:

I Đổi chỗ hai hàng của ma trận

II Lấy một hàng của ma trận trừ đi bội của một hàng khác trong ma trận III Nhân một hàng của ma trận với một số khác 0

Ta có thể nhân ma trận mở rộng [A b] với một dãy những ma trận đặc biệt để được ma trận bậc thang, là ma trận của một hệ tương đương với Ax = b

Định nghĩa Một ma trận nhận được từ ma trận đơn vị I nhờ thực hiện một trong các phép toán hàng được gọi là ma trận sơ cấp.

Các ma trận sơ cấp được chia thành ba loại, tương ứng với ba phép toán hàng nói trên

Định nghĩa

* Ma trận sơ cấp loại 1 hay ma trận hoán vị là ma trận nhận được từ ma trận đơn vị

I khi hoán vị các hàng của I

* Ma trận sơ cấp loại 2 hay ma trận khử E ij (i ≠j) là ma trận nhận được từ ma trận I

bằng cách lấy hàng i trừ đi l×hàng j (hay thay (- l) vào vị trí (i, j) của I)

* Ma trận sơ cấp loại 3 là ma trận nhận được từ ma trận I bằng cách nhân hàng i với một số khác 0

001

010

100

010

010

100

100

001

001

100

0

01

3

00

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

100

001

100

001

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

33 32 31

13 12 11

a a a

a a a

a a a

PA cũng là ma trận nhận được từ A khi đổi chỗ các hàng 2 và 3

001

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

31

13 23 12 22 11 21

13 12

11

33

3

a a

a

a a a a a a

a a

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

23 22 21

13 12 11

333

a a a

a a a

a a a

Ma trận cuối này cũng nhận được từ I khi nhân hàng 2 với 3

Định lý 2.4.1 Giả sử I là ma trận đơn vị m×m và A là ma trận m×n Nếu ma trận

sơ cấp E nhận được từ I nhờ thực hiện phép toán hàng nào đó, thì ma trận EA cũng nhận được từ A khi thực hiện phép toán hàng đó

Ví dụ 3

2x + 4y - 2z = 2 4x + 9y - 3z = 8 -2x - 3y + 7z =10

012

001

100

001

394

242

001

110

242

1

Nhận xét Nếu A là ma trận m×n, thì AT là ma trận n×m và (AT)ij = Aji

21

01

Nhận xét A là ma trận n×n đối xứng khi và chỉ khi (A) ij = (A)ji với mọi i và j thuộc {1, , n}

Ứng dụng Quan sát hệ thống điện sau

Vectơ x = (x1, x2, x3) biểu thị điện áp tại 3 nút, còn hiệu điện thế giữa hai đầu của mỗi đoạn mạch được biểu thị bởi vec tơ

10

01

10

x x

2 1

x x

x x

y

y y

y

NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN 2

b a

b d

b a

bc ad

0

0

= (ad - bc)I

Từ đây suy ra: Nếu ad - bc ≠ 0, thì A khả nghịch Ta đã biết ad - bc là định thức cấp 2 (của ma trận

A ) Ta muốn mở rộng khái niệm định thức cho ma trận n×n bất kỳ để tìm được tiêu chuẩn khả nghịch cho ma trận n×n

3.1



ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

CƠ Ơ BẢN CỦA Đ Đ ĐỊNH THỨC

Để mở rộng khái niệm định thức cho ma trận n×n bất kỳ, ta nghiên cứu xem định thức cấp 2 được

xác định bởi các tính chất gì Ký hiệu định thức của ma trận A có cỡ 2×2 là detA, hoặc |A|, hoặc

det(c1, c2) (cj là cột thứ j của A)

Tính chất 3.1.1 detI = 1

detI =

10

01 = 1⋅1 - 0⋅0 = 1

Tính chất 3.1.2 Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai cột

det(c1, c2) =

d c

b a

= ad - bc, det(c2, c1) =

c d

a b

= bc -ad Suy ra det(c1, c2) = -det(c2, c1)

Định nghĩa Ta nói hàm số f : R n

→R là hàm tuyến tính , nếu với mọi v1, v2 ∈Rn và mọi x1, x2 ∈R

thì f(x1v1 + x2v2) = x1f(v1)+ x2f(v2)

Tính chất 3.1.3 Định thức là hàm tuyến tính đối với một cột khi cố định những cột còn lại

Ta xem det(c1, c2) như một hàm 2 biến, mỗi biến thuộc R2

2 1

b x b x

a x a x

, thì

det(x1c'1+x2c"1, c2) =

d c x c x

b a x a x

2 1

b a

'

'

+ x2

d c

b a

thì g(A) ≡ detA với mọi ma trận A cỡ 2×2

Thật vậy, ký hiệu e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) là hai cột của I, thì mọi ma trận

b a

có biểu diễn của hai cột qua e1, e2 là c1 = ae1+ce2, c2 = be1+de2

Theo Tính chất 3

g (A) = g(c1, c2) = g(ae1+ce2, be1+de2) = ag(e1, be1+de2) + cg(e2, be1+de2)

= a [bg(e1, e1) + dg(e1, e2)]+ c[bg(e2, e1) + dg(e2, e2)]

Hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh được:

Có duy nhất một hàm số từ tập các ma trận n×n vào R mà thỏa các Tính chất 1, 2, 3

Điều này cho phép tổng quát hóa khái niệm định thức cấp 2

Định nghĩa Hàm số, ký hiệu là det, từ tập các ma trận n×n vào R, thỏa mãn các Tính chất 1, 2, 3, được gọi là định thức cấp n Với A là ma trận n×n ta gọi detA là định thức của A

Định thức của ma trận A còn được ký hiệu là |A| hoặc det(c1, c2, , cn) với cj là cột thứ j của A

Từ ba tính chất cơ bản nói trên ta suy ra những tính chất sau đây

Tính chất 3.1.4 Nếu hai cột của A giống nhau, thì detA = 0

Ví dụ 1 Giả sử det(c1 , c2, c3) có c1 = c3 Do Tính chất 2

det(c1, c2, c3) = - det(c3, c2, c1) = - det(c1, c2, c3),

nên det(c1, c2, c3) = 0

Tính chất 3.1.5 detA không đổi khi trừ một cột của A đi một bội của cột khác của A

Ví dụ 2 Đối với det(c1 , c2, c3) ta thay c2 bởi c2 - xc1, thì do Tính chất 3

det(c1, c2 - xc1, c3) = det(c1, c2, c3) - xdet(c1, c1, c3) = det(c1, c2, c3) - x0 = det(c1, c2, c3)

Tính chất 3.1.6 Ma trận vuông có cột toàn 0 thì định thức của nó bằng 0

Ví dụ 3 Giả sử det(c1 , c2, c3) có c2 = 0 = (0, 0, , 0), thì

det(c1, 0, c3) = det(c1, 00, c3) = 0det(c1, 0, c3) = 0

Tính chất 3.1.7 Nếu A là ma trận tam giác thì detA = tích các phần tử trên đường chéo =

13 12 11

00

0

a

a a

a a a

= a11a22a33

Tính chất 3.1.8 Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi detA ≠ 0

Tính chất 3.1.9 Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp, thì det(AB)= detAdetB

Tính chất 3.1.10 detAT= detA

Ví dụ 5

d c

b a

=

d b

c a

Nhận xét

1) Tính chất 10 thực chất đã nhân đôi bản liệt kê các tính chất của định thức Mọi tính chất của định

thức đã phát biểu với cột cũng có thể phát biểu cho hàng, chẳng hạn như: Định thức đổi dấu khi

hai hàng đổi chỗ Nếu ma trận vuông có hàng toàn 0 hoặc hai hàng giống nhau thì định thức của

nó bằng 0 Định thức là một hàm tuyến tính đối với mỗi hàng khi cố định các hàng còn lại

2) Từ Tính chất 3 và 4 suy ra nếu ma trận vuông có hai cột (hàng) tỷ lệ, thì định thức của nó bằng 0

3) Từ Tính chất 3 suy ra det(cA) = c n detA (với n là cấp của A)

4) AA-1=I nên từ Tính chất 9 suy ra detA-1 = 1/detA

Sử dụng những tính chất trên, ta có thể biến đổi ma trận vuông A để đơn giản hóa việc tính detA Chẳng hạn ta có thể đưa việc tính detA về việc tính định thức của một ma trận tam giác

Ví dụ 6 Ta ký hiệu Pαβω là ma trận hoán vị nhận được khi sắp xếp các hàng 1, 2, 3 của ma trận đơn

1

Tính định thức của các ma trận hoán vị này

Giải Mỗi cách sắp xếp 3 số 1, 2, 3 theo một thứ tự nào đó có dạng (α, β,ω) là một hoán vị của

chúng Có tất cả 3! hoán vị của như vậy

(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1)

Trừ hoán vị (1, 2, 3), mỗi hoán vị này có thể nhận được từ hoán vị (1, 2, 3) khi thực hiện liên tiếp một số phép đổi chỗ hai số trong (1, 2, 3):

(1, 2, 3)→(2, 1, 3)→(2, 3, 1) (1, 2, 3)→(1, 3, 2)→(3, 1, 2) (1, 2, 3)→(1, 3, 2) (1, 2, 3)→(2, 1, 3) (1, 2, 3)→(3, 2, 1)

Mặt khác, những ma trận trên nhận được khi sắp xếp lại các hàng 1, 2, 3 của I theo hoán vị tương

ứng như đã liệt kê ở trên, nên theo Tính chất 2

x c c

x b b

x a a

221

621

521

421

++

−++

Giải Theo Tính chất 3 và Nhận xét 2)

x d

x c

x b

x a

21

61

51

41

−

+

x d d

x c c

x b b

x a a

22

62

52

42

301

210

− Giải Đổi chỗ cột 2 với cột 1

D =

-433

310

201

−Lấy hàng 3 trừ đi (-3) lần hàng 1, ta có

D =

-1030

310

201

LÊy hµng 3 trõ ®i 3 lÇn hµng 2, ta cã

D =

-100

310

201

= -1

3.2



MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH ĐỊNH THỨC

Ta muốn tìm những công thức tính trực tiếp detA theo các phần tử của ma trận A